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时量：120分钟满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设i为虚数单位，则复数的虚部是
A．3iB．－3iC．3D．－3
【答案】D
考点：复数的概念．
2．记集合A＝，B＝，若0∈A∩B，则a的取值范围是
A.(－∞，0)B.(－∞，0]C.10，＋∞)D.(0，＋∞)
【答案】A
【解析】
试题分析：A＝(a，＋∞)，B＝1－1，1]，由0∈A∩B知a<0，故a的取值范围是(－∞，0)．选A.
考点：集合的运算．
3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是
A．圆柱B．圆锥C．棱锥D．棱柱
【答案】B
【解析】
试题分析：易知仅圆锥的三视图中一定不会出现正方形．选B.
考点：三视图．
4．二项式(x－2)5展开式中x的系数为
A．5B.16C．80D．－80
【答案】C
【解析】
试题分析：由二项式定理知，其展开式中含x的项为Cx(－2)4，故其系数为C(－2)4＝80.选C.
考点：二项式定理的应用．
5．在数列中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝
A．2＋lnnB．2＋lnn
C．2＋nlnnD．1＋n＋lnn
【答案】A
考点：由递推公式求通项公式．
6．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有
A．10种B．60种C．125种D．243种111]
【答案】B
【解析】
试题分析：易知不同的填法种数为A＝60.选B.
考点：排列的应用．
7．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：
使用智能手机 不使用智能手机 合计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16 2 18 合计 20 10 30 附表：
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 经计算K2＝10，则下列选项正确的是
A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响
D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响
【答案】A
【解析】
试题分析：因为7.879
考点：独立性检验．
8．函数y＝sin，x∈的单调递增区间是
A.B.
C.D.和
【答案】D
考点：三角函数的性质．
9．非负实数x、y满足ln(x＋y－1)≤0，则关于x－y的最大值和最小值分别为
A．2和1B．2和－1C．1和－1D．2和－2
【答案】D
【解析】
试题分析：依题意有，作出可行域，易求得x－y的最大值和最小值分别为2和－2，选D.
考点：简单的线性规划问题．
10．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是
A．0.7
B．0.75
C．0.8
D．0.9
【答案】A
考点：程序框图．
【名师点睛】本题考查程序框图，解题的关键是确定程序功能，本程序实质上是求数列的和S＝＋＋…＋的值，象这种数列求和，我们都是用裂项相消法求得，为此可令为选项值，反求，如求得不是正整数，则说明此值不可能出现.如果数列是等差数列，则数列，等等可用此法求和.
11．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x＋1.则下列命题中的假命题是
A．x∈R，f(x)>g(x)
B．x1，x2∈R，f(x1)
C．x0∈R，f(x0)＝g(x0)
D．x0∈R，使得x∈R，f(x0)－g(x0)≤f(x)－g(x)
【答案】A
考点：导数与函数的单调性、极值．
【名师点睛】本题可用数形结合思想解题，作出函数的图象，可知直线是函数在处的切线，从图象可知Ｂ，Ｃ，Ｄ都正确，只有Ａ是错误的.数形结合思想是中学数学的一个重要的数学思想，通过“形”能直观地得出结论，减少推理过程，减少计算.
12．将函数y＝ln(x＋1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为
A．πB.C.D.
【答案】D
【解析】
试题分析：因为x≥0时，y′＝是x的减函数且0
考点：函数的概念，导数的几何意义.
【名师点睛】本题考查函数的概念与导数的几何意义，根据函数的概念，一个图形能作为一个函数的图象只要满足对任意实数直线与之最多只有一个交点，对函数，求得导数为，它在上单调递减，因此在旋转过程中，只要图形的所有切线不超过轴即可.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
13.exdx＝________．
【答案】e－1.
【解析】
试题分析：exdx＝ex|＝e－1.
考点：微积分基本定理．
14．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________．
【答案】－7
考点：等比数列的性质．
15．M、N分别为双曲线－＝1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则的最小值为________．
【答案】4
【解析】
试题分析：由向量数量积的定义，即向量在向量上的投影与模长的乘积，故求的最小值，即求在x轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图像可知的最小值为4.
考点：向量的数量积．
【名师点睛】本题考查向量的数量积，可用数量积的几何意义求得其绝对值的最小值，也可设点的坐标，用坐标表示出向量，由数量积计算及双曲线的范围可得结论，设，其中，，，不妨设，则，最小值为４.
16．已知f(x)是定义在R上的偶函数，令F(x)＝(x－b)f(x－b)＋2016，若b是a、c的等差中项，则F(a)＋F(c)＝________．
【答案】4032
考点：函数的奇偶性．
【名师点睛】在涉及函数的计算问题时，函数的奇偶性可以帮助读者简化计算过程，因此有时题中函数虽然没有奇偶性，但我们可以构造具有奇偶性的函数进行辅助计算，本题设，则可利用函数为奇函数的特性进行简化计算.
三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.111.Com]
(1)求的值；
(2)若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.
【答案】（1）2；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由已知边角关系，可用正弦定理“化边为角”，然后交叉相乘后利用两角和与差的正弦公式可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，从而有sinC＝2sinA；（2）由（1）即得，利用余弦定理可得，再由可得面积．
考点：正弦定理，余弦定理，三角形面积．
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为这个结论，否则难以得出结论．
18.(本小题满分12分)
空气质量指数(AirQualityIndex，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染．
一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如下．
(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共30天计算)
(2)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．
【答案】（1）18；（2）分布列见解析，期望为1.8
考点：茎叶图，用样本数据估计总体数据，随机变量概率分布列，数学期望．
19.(本小题满分12分)
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)求二面角A－DF－B的大小；
(3)试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°.
【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）点P是AC的中点．
(2)由题设，平面ABCD⊥平面ACEF，
平面ABCD∩平面ACEF＝AC，
CE平面ACEF，CE⊥AC，
所以CE⊥平面ABCD，又CB⊥CD，故可以CD、CB、CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，
则相关各点的坐标为A(，，0)，B(0,，0)，D(，0,0)
F(，，1)，从而＝(0，，1)，＝(，－，0)，
＝(－，0，0)．1111]111]
注意到AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD＝A，∴AB⊥平面ADF.
所以＝(－，0，0)为平面ADF的一个法向量．
设n＝(x，y，z)是平面BDF的一个法向量，
则由得，
取y＝1，得n＝(1，1，－)，于是
cos〈n,〉＝＝－，所以〈n,〉＝120°，1111]
考点：线面平行的判断，二面角，异面直线所成的角．
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，P(－2，1)是C1上一点．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设A、B、Q是点P分别关于x轴、y轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l与C1相交于不同于P、Q的两点C、D.点C关于原点的对称点为E.证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
(2)由题设知A、B的坐标分别为(－2，－1)，(2，1)．
因此直线l的斜率为.
设直线l的方程为：y＝x＋t.
由得：x2＋2tx＋2t2－4＝0.
当Δ>0时，不妨设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
于是x1＋x2＝－2t，x1x2＝2t2－4.
设直线PD、PE的斜率分别为k1，k2，则要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，
考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合问题．
【名师点睛】解析几何中的，由直线方程与椭圆方程可得，然后计算相关量，象本题计算，并把用表示出来，把刚才所得代入可得结论．
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝alnx＋x2－ax(a为常数)有两个极值点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)设f(x)的两个极值点分别为x1，x2.若不等式f(x1)＋f(x2)<λ(x1＋x2)恒成立，求λ的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：(1)由极值的定义知在上有两个不等实根，求出
，即在上有两个不等实根，由一元二次方程根的分布知识可得的范围；（2）先求得，注意到（1）中以及，代入，可化为，因此研究的最值，由知在上是减函数，因此，且可无限接近，因此的最小值就是．
因此＝φ(a)<φ(4)＝ln4－3.
且可无限接近ln4－3.
又因为x1＋x2>0，故不等式f(x1)＋f(x2)<λ(x1＋x2)等价于<λ.
所以λ的最小值为ln4－3.
考点：导数与极值，不等式恒成立，一元二次方程根的分布．
选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，C、D是以AB为直径的半圆上两点，且＝.
(1)若CD∥AB.证明：直线AC平分∠DAB；
(2)作DE⊥AB交AC于E.证明：CD2＝AE·AC.
【答案】证明见解析．
考点：圆周角定理，相似三角形的证明与性质．
23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程1111]
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋3＝0,θ∈.
(1)求C1的直角坐标方程；
(2)曲线C2的参数方程为(t为参数)．求C1与C2的公共点的极坐标．
【答案】（1）；（2）．
考点：直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标系下曲线的交点．
24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设α，β，γ均为实数．
(1)证明：≤＋；
≤＋.
(2)若α＋β＋γ＝0.证明＋＋≥1.
【答案】证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）展开和，再由绝对值的性质，放缩可证得题设不等式；（2）由（1）可得，从而可证题设不等式．1111]
考点：两角和正弦（余弦）公式，绝对值的性质．
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