§3四个二——一元二次方程二、根与系数的关系：一、求根：三、堪根：1.验根法（蒙）2.公式法3.配方
法4.因式分解法5.变换法1.一元二次方程2.一元n次方程1.知方程，确定根的个数:2.知方程，确定隔根区间：3.知
根的个数或隔根区间，求参数(根的分布):高中数学研究的主要内容关系确定关系随机关系数数关系：形形关系：立体
几何解析几何代数数形关系：函数方程不等式解析式上述4个板块中，再加上函数的特例：数列，三角函数概率与统计在
高考的22道题中，要占到12个小题6个大题二次函数f(x)=ax2+bx+c①解析式：②值域：③图象：④性质：
⑤堪根⑥求根⑦根与系数的关系⑧根的分布一元二次方程ax2+bx+c=0一元二次不等式ax2+bx+c
0二次三项式ax2+bx+c⑨根与解的关系⑩解一元二次不等式配方因式分解1112○○四
个二(四系统、四合一)总述含参型的“人为”最值(值域)二次函数f(x)=ax2+bx+c①解析式：一般式顶点
式两根式三种解析式:求解析式：②值域：③图象：④性质:单调性对称性凸凹性与三次函数的关联原函数导函数积
分函数作图；识图；用图两根的和差商积…与系数的关系(伟大定理)一元二次方程ax2+bx+c=0⑤堪根⑥求根
⑦根与系数的关系⑧根的分布形法：图象交点方程解数法：⊿法；零点存在定理验根法（蒙）公式法配方法因式分解法变换法
已知含参型一元二次方程根的个数或隔根区间，求参量的取值范围。○○
○□□1232＋＋一般的特指：ax2+bx+c(a≠0)a2+b+c□□广义
的二次三项式：○○○□□1232＋＋ax2+
bx+c=a(x-x1)(x-x2)二次三项式的两个基本功配方11○因式分解一提二半三还原ax2+bx+
c=a(x-x0)2+y012○二次三项式的概念一元二次不等式ax2+bx+c0⑨根与解的关系
一般地，不等式解集的端点值是方程的根⑩解一元二次不等式口诀1：大于号要两头小于号要中间口诀2：
一正二方三大头无根大全小为空§3四个二——一元二次方程二、根与系数的关系：一、求根：三、堪根：
1.验根法（蒙）2.公式法3.配方法4.因式分解法5.变换法1.一元二次方程2.一元n次方程1.知方程，确定根的
个数:2.知方程，确定隔根区间：3.知根的个数或隔根区间，求参数(根的分布):一、求根：1.验根法（蒙）2.公式法
3.配方法4.因式分解法5.变换法练习1.求根(1)方程3x2－2x－1=0的根是___________(2
)方程x2－(2a+1)x+a2+a=0的根是_______(3)已知方程ax2＋bx＋c＝0有两个非零的根α，β则
方程cx2＋bx＋a＝0的根是________解：解：解：二、根与系数的关系：1.一元二次方程若x1,x2是一
元二次方程ax2+bx+c=0的两实根，则若直线与圆锥曲线C:两点，则交于弦长公式解析几何两技巧：①设而不求
②定义要当性质用如果一元n次方程的根是x1，x2，……，xn，那么二、
根与系数的关系：2.一元n次方程二、根与系数的关系：2.一元n次方程注：实际上，我们碰到的比较多的是一元三次方程若
x1,x2,x3是一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0的三个实根则ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-
x2)(x-x3)故=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x1x3)x-ax1x2
x3练习2.根与系数的关系(伟大定理)：(4)解：(5)(2012年山东)设函数A.当a＜0时，x1+x2＜0,
y1+y2＞0B.当a＜0时，x1+x2＞0,y1+y2＜0C.当a＞0时，x1+x2＜0,y1+y2＜0
D.当a＞0时，x1+x2＞0,y1+y2＞0若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A（
x1,y1）,B(x2,y2),则下列判断正确的是【B】法1：形法、f(x)、g(x)的图像……法2：三次方程；韦达定理
……法3：，观察的图像……三、堪根：1.知方程，确定根的个
数:3.知根的个数或隔根区间，求参数(根的分布):2.知方程，确定隔根区间：①△法②形法①零点存在定理法②形法②
伟大定理法：①求根公式法：③图象法：通法④参量分离法：特法ⅰ：通常是构造1个二次函数……ⅱ：个别题，构造二次函数一次函数
各1个，更简捷.要注意:(m,n)内有根;至少有一根;至多有一根;恰好有一根的区分.思路显然，但一般的操作量较大.一般的，
只适用于两根同(异)号.mx2x1x1x2mx1x2mx2x1nmΔ＞０f(m)＜０Δ＝b2
－４ac＞０，(x1－m)(x2－m)＞０，(x1－m)＋(x2－m)＜０Δ＝b2－４ac＞０，(x1－m)(x2－m)
＞０，(x1－m)＋(x2－m)>０(x1－m)(x2－m)＜０函数图像根的分布韦达定理法形法x
2>x1>mx1＜x２＜mx1＜m＜x2m＜x1＜x2＜n表示较繁琐f(m)＞０Δ＞０f(m)＞０Δ＞０
f(m)＞０f(n)＞０(6)关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时解：当a=0时，由原方程可化为
，符合题意.极易误解为：Δ=0②方程有一正一负根求根公式法1：伟大定理法2：①方程有一根谁
为大根，谁为小根需分类讨论……解分式,根式不等式需分类讨论……③两个根都大于1解：可知该解法有误，正确的解法是：需重
新配凑辅助方程，再用伟大定理法求根公式法1：伟大定理法2：极易误解为(6)关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,
求a为何值时；分式、根式不等式如何解？……易得这样的a不存在图象法3(构造2个辅助函数)：③两个根都大于1(6)关
于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时；即a∈φ故选与
为辅助函数图象法4(利用f(x)本身(1个)作为辅助函数)：11解得a∈φ③两个根都
大于1(6)关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时；一般的，该解法是通法参量分离法5：③两个根都大于
1(6)关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时；因两个根都大于1隐含了x＞1即x-1＞0参量分离
法5：③两个根都大于1(6)关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时；关于t的方程a=3t2+2t有2个正根，求a的取值故原命题等价于：易得a∈φ④一根大于1一根小于1解：设f(x)=ax2-2(a+1)x+a-111解得a>0(6)关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时； |
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