第六章图形的相似与解直角三角形第22讲图形的相似与位似
考点一成比例线段与比例的性质1．对于四条线段a＝那么这四条线段叫做成比例线段简称比例线段．2．表示两个比相等的式子叫做比例式简称比例．
3．比例的基本性质如果＝那么＝bc反之也成立．其中a与d叫做比例外项与c叫做比例内项．特别地＝＝ac.4．比例的合比性质如果＝那么＝5．比例的等比性质如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)那么＝
考点二平行线分线段成比例定理1．定理三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等．2．几何语言叙述如图当l时有＝＝＝等．3．平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．考点三黄金分割如图点C把线段AB分成两条线段AC和BC如果＝则称线段AB被点C黄金分割点CAB的黄金分割点与AB的比叫做黄金比＝
注意：一条线段有两个黄金分割点．
考点四相似多边形的定义及1．定义各角对应相等各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形的对应边的比称为相似比．
2．性质(1)相似多边形对应角相等对应边的比相等；(2)相似多边形周长的比等于相似比；(3)相似多边形面积的比等于相似比的平方．
考点五位似图形的定义及性质1．如果两个多边形不仅相似而且对应顶点的连线相交于一点对应边互相平行像这样的图形叫做位似图形这个点叫做位似中心．2．性质(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．(2)在平面直角坐标系中如果是以原点为位似中心相似比为k那么位似图形对应点的坐标的比等于或－k．3．利用位似可以将一个图形放大或缩小．
温馨提示：
两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部、边上或在顶点上．考点一成比例线段与比例的基本性质例1若＝则的值为()
【点拨】由＝可设x＝4k＝3k(k≠0)则＝＝故选【答案】
方法总结：
利用比例的基本性质将比例转化为用一个字母表示另一个字母的形式也可以设参数表示然后代入约分求值．考点二平行线分线段成比例定理例2(2016·济宁)如图与BE相交于点G且AG＝2＝1＝5那么的值等于．【点拨】∵AG＝2＝1＝3＝＝【答案】由平行线分线段成比例定理可得多组线段的比相等利用比例的性质可进行比例之间的转化．考点三相似多边形的定义与性质例3如果两个相似多边形面积的比为则它们的相似比为()
【点拨】相似多边形面积的比等于相似比的平方面积的比为1∶5相似比为1∶故选【答案】
方法总结：
两个多边形相似如果已知相似比、周长比、面积比中的任何一个就能求出另外两个．考点四位似例4(2016·东营)如图在平面直角坐标系中已知点A(－3)，B(－9－3)以原点O为位似中心相似比为把△ABO缩小则点A的对应点A′的坐标是()
A．(－1)
B．(－9)
C．(－9)或(9－18)．(－1)或(1－2)【点拨】∵A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标为或，即A′点的坐标为(－1，2)或(1，－2)．故选D．
【答案】
方法总结：
若位似变换是以原点为位似中心相似比为k则位似图形对应点的k或－k.
1．已知2x＝5y(y≠0)则下列比例式成立的是()＝＝＝＝2．如图已知DE∥BC则下列比例式中错误的是()＝＝＝＝
3．美是一种感觉当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160下半身长与身高的比值是0.60为尽可能达到好的效果她应穿的高跟鞋的()．．4．(2016·三明)如图在平面直角坐标系中已知(1，0)，D(3，0)，△ABC与△DEF位似原点O是若AB＝1．5则DE＝．
【解析】∵△ABC与△DEF是位似图形它们的位似中心恰好为原点已知A点的坐标为(1)，D点的坐标为(3)，∴AO＝1＝3＝＝B＝15，∴DE＝4.5.4.5
5．(2016·柳州)如图以原点O为位似中心把△OAB放大后得到△OCD求△OAB与△OCD的相似比．
解：∵点B的坐标是(4)，点D的坐标是(6)，
∴OB＝4＝6＝＝与△OCD关于点O位似与△OCD的相似比为
一、选择题(每小题4分，共48分)
1．(2016·牡丹江)若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则的值是()
A．－5B．－C．D．5
【解析】∵x∶y＝1∶3，∴设x＝k，y＝3k，∵2y＝3z，∴z＝2k，∴＝＝－5.故选A．
【答案】A
2．(2016·杭州)如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若＝，则＝(B)
A．B．C．D．1
3．(2016·烟台)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为()
【导学号90280246】
A．(3，2)B．(3，1)C．(2，2)D．(4，2)
【解析】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴＝.∵BG＝6，∴AD＝BC＝2.∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴＝，∴＝，解得OA＝1，∴OB＝3，∴C点坐标为(3，2)．故选A．
【答案】A
4．如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，则边C1D1的长是(C)
A．10B．12C．D．
5．若两个相似多边形的面积的比为1∶4，则它们的周长的比为(B)
A．1∶4B．1∶2C．2∶1D．4∶1
6．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC＝2，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD等于()
A．－1B．C．1D．
【解析】∵AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠A)＝(180°－36°)＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∴DA＝DB．而∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC．∵∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD，∴＝，即＝.
∴点D为AC的黄金分割点，∴AD＝AC＝－1.故选A．
【答案】A
7．(2016·威海)如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE.则下列结论错误的是()
【导学号90280247】
A．＝
B．AD，AE将∠BAC三等分
C．△ABE≌△ACD
D．S△ADH＝S△CEG
【解析】∵∠B＝∠C＝36°，∴AB＝AC，∠BAC＝108°.∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，∴DB＝DA，EA＝EC，∴∠B＝∠DAB＝∠C＝∠CAE＝36°，∴△BDA∽△BAC，∴＝.又∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝72°，∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝72°，∴∠ADC＝∠DAC，∴CD＝CA＝BA，∴BD＝BC－CD＝BC－AB，则＝，∴＝＝，故选项A错误；∵∠BAC＝108°，∠B＝∠DAB＝∠C＝∠CAE＝36°，∴∠DAE＝∠BAC－∠DAB－∠CAE＝36°，即∠DAB＝∠DAE＝∠CAE＝36°，∴AD，AE将∠BAC三等分，故选项B正确；∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝72°，∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝72°，∴∠BAE＝∠CAD．又∵AB＝AC，∠B＝∠C，∴△BAE≌△CAD，故选项C正确；由△BAE≌△CAD可得S△BAE＝S△CAD，即S△BAD＋S△ADE＝S△CAE＋S△ADE，∴S△BAD＝S△CAE.又∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，∴S△ADH＝S△ABD，S△CEG＝S△CAE，∴S△ADH＝S△CEG，故D正确．故选A．
【答案】A
8．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD．若B(1，0)，则点C的坐标为()
A．(1，2)B．(1，1)C．(，)D．(2，1)
【解析】连接BC，∵∠OCD＝90°，CO＝CD，∴△OCD是等腰直角三角形．∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∴BC⊥OD，且点B是OD的中点．∵△OCD是等腰直角三角形，∴OB＝BC．∵B(1，0)，∴C(1，1)．故选B．
【答案】B
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，4)，B(－8，－2)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是()
A．(－1，2)B．(－4，8)
C．(－4，8)或(4，－8)D．(－1，2)或(1，－2)
【解析】∵A(－2，4)，B(－8，－2)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标为或，即A′点的坐标为(－1，2)或(1，－2)．故选D．
【答案】D
10．(2016·山西)宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H.则图中下列矩形是黄金矩形的是()【导学号90280248】
A．矩形ABFEB．矩形EFCD
C．矩形EFGHD．矩形DCGH
【解析】设DC＝2，则FC＝1，DF＝＝，CG＝－1，则＝，∴矩形DCGH是黄金矩形．故选D．
【答案】D
11．如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A(3，4)、点C(2，2)、点D(3，1)，则点D的对应点B的坐标是()
A．(4，2)B．(4，1)C．(5，2)D．(5，1)
【解析】把坐标系沿x轴向右平移1个单位，则点A(3，4)的坐标变为(2，4)，点C(2，2)的坐标变为(1，2)，由关于原点位似的坐标的特点可知，△CDE与△ABE的相似比为.点D(3，1)在新坐标系中的坐标为(2，1)，则对应的点B的新坐标为(4，2)．再将x轴向左平移1个单位，可得点B的坐标为(5，2)．故选C．
【答案】C
12．(2016·淄博)如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D．已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3.则的值为()
【导学号90280249】
A．B．C．D．
【解析】如图，过点B作BE⊥l3于点E，过点A作AF⊥l3于点F交l2于点G，∴∠BEC＝∠CFA＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACF＝90°，∴∠EBC＝∠ACF.∵BC＝AC，∴可证△BEC≌△CFA，
∴BE＝CF＝3.∴BG＝EF＝4＋3＝7，BC＝AC＝5.∴AB＝5.∵l2∥l3，∴△ADG∽△ACF，∴＝，∴＝，∴DG＝.∴BD＝7－＝.∴＝＝.故选A．
【答案】A
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．已知＝＝≠0，则的值为．
14．(2016·威海)如图，直线y＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点B′的坐标为．【导学号90280250】
【解析】∵直线y＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，令x＝0可得y＝1；令y＝0可得x＝－2，∴点A和点B的坐标分别为(－2，0)，(0，1)．∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，∴＝＝，∴O′B′＝3，AO′＝6，∴B′的坐标为(－8，－3)或(4，3)．
【答案】(－8，－3)或(4，3)
15．把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形的边平行，或小矩形的边在原矩形纸的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是．
【导学号90280251】
【解析】如图，要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大，则这两个小矩形纸片长与宽的和最大．
∵矩形纸片的长与宽的比为2∶1，∴剪得的两个小矩形中，矩形ABGH的长AB为1，宽BG为＝.
∴矩形CGFE的长CG为2－＝，宽CE为＝，∴所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是2＝4＋.
【答案】4＋
16．如图，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1∶4，矩形ABCO的边AB＝4，BC＝4.将矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC，EA，则在整个旋转过程中△ACE的最大面积为．【导学号90280252】
【解析】∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1∶4，矩形ABCO的边AB＝4，BC＝4，∴OF＝，OD＝1.∴OE＝＝＝2.∴点E的轨迹为以点O为圆心、2为半径的圆．设点O到AC的距离为h，AC＝＝＝8，∴由面积相等可得8h＝4×4，解得h＝2.
∴当点E到AC的距离为2＋2时，△ACE的面积有最大值，S最大＝×8×(2＋2)＝8＋8.
【答案】8＋8
三、解答题(共36分)
17．(8分)(2016·玉林)如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1.
(1)△A1B1C1与△ABC的位似比是；
解：△ABC与△A1B1C1的位似比等于＝＝＝.
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
如图所示．
(3)设点P(a，b)为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是(－2a，2b)．
点P(a，b)为△ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点的坐标为(－2a，2b)．
18．(8分)如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
【导学号90280253】
(1)求证：EB＝GD；
证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAB＝∠GAD．
又∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△EAB≌△GAD(SAS)．∴EB＝GD．
(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．
解：如图，连接BD，设BD交AC于点O，则AC⊥BD．
∵∠DAB＝60°，∴BD＝AB＝2.
∴BO＝BD＝1，AO＝.
又∵AE＝AG＝，∴EO＝2.
∴EB＝＝.
由(1)知EB＝GD，∴GD＝.
19．(10分)已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE，AF分别交BD与点G和点H，BD＝12，EF＝8.求：
(1)的值；
解：∵EF∥BD，
∴＝.
∵BD＝12，EF＝8，∴＝，∴＝.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∴＝.
(2)线段GH的长．
解：∵DF∥AB，∴＝＝.∴＝.
∵EF∥BD，∴＝＝.∴＝.∴GH＝6.
20．(10分)(2016·崇左)如图1，菱形ABCD对角线AC，BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A，B，C，D分别在四边形EFGH的边EF，FG，GH，HE上．【导学号90280254】
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
证明：∵点O是菱形ABCD对角线AC，BD的交点，
∴OA＝OC，OD＝OB．
∵点O是线段FH的中点，∴OF＝OH.
在△AOF和△COH中，
∴△AOF≌△COH(SAS)，
∴∠AFO＝∠CHO，∴AF∥CH.
同理可得DH∥BF.
∴四边形EFGH是平行四边形．
(2)如图2，若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，已知＝2，且菱形ABCD的面积是20，求矩形EFGH的长与宽．
解：设矩形EFGH的长为a、宽为b，则AC＝.
∵＝2，∴BD＝AC＝，OB＝BD＝，OA＝AC＝.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°.∵四边形EFGH是矩形，∴∠AGH＝90°，∴∠AOB＝∠AGH＝90°.又∵∠BAO＝∠CAG，∴△BAO∽△CAG，∴＝，即＝，解得a＝2b①.∵S菱形ABCD＝AC·BD＝··＝20，∴a2＋b2＝80②.联立①②，得解得或(舍去)．∴矩形EFGH的长为8，宽为4.
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