第九章统计与概率第32讲数据的收集、整理与描述考点一全面调查与抽样调查考察全体对象的调查叫做全面调查只抽取部分对象进行调查叫做抽样调查．抽样时必须保证每一个个体被抽取的机会是均等的而且抽取的样本要足够大对于一些科考点二统计的有关概念1．总体、个体、样本及样本容量在统计中我们把所要考察对象的全体叫做总体其中每一个考察对象叫做个体．当总体中个体数目较多时一般从总体中抽取一部分个体这一部分个体叫做总体的样本样本中个体的数目叫做样本容量．温馨提示：
总体、个体、样本中的“考察对象”是指我们所要考察的具体对象的属性．如为了了解某市中学生的身高情况从中抽取了500名学生进行调查这个问题中的总体是“该市中学生的身高”而不是“该市中学生”或“这500名学生”．2．平均数、加权平均数(1)如果有n个数x那么＝(x1＋＋＋＋x)叫做这n个数的算术平均数简称平均数．
(2)若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是ω1，ω2，ω3，…，ωn，则x＝叫做这n个数的加权平均数．数据的权能够反映数据的相对“重要程度”．
(3)总体中所有个体的平均数叫样本中所有个体的平均数叫做样本平均数．通常用样本平均数去估计总体平均数．用样本估计总体时样本容量越大对总体的估计也就越精确．3．众数与中位数(1)一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数(有时一组数据中含有多个众数)．(2)将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列如果数据的个数是奇数则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数．
(3)众数、中位数与平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．(4)当所给数据有单位时众数、中位数也要有单位且与原数据单位一致．4．方差(1)设有n个数据x它们的平x，则它们的方差s＝．(2)方差越大数据的波动越大；方差越小数据的波动越小．温馨提示：
若一组数据x的x，方差为s则(1)x＋b＋b＋b的平均数为＋b方差为s；(2)ax…，axn的平均数为a方差为a；(3)ax＋b＋b＋b的平均数为＋b方差为a考点一调查方式的选择例1(2016·重庆)下列调查中最适合采用全面调查(普查)方式的是()对重庆市直辖区内长江流域水质情况的调查对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查D．对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查
【点拨】中由于工作量大不便于全面调查应采用抽样调查故不合题意；中对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查为了安全考虑必须采用全面调查的方式故选项符合题意．【
方法总结：
全面调查得到的数据准确但费时费力；抽样调查得到的数据不够准确但省时省力．具有破坏性的调查要采用抽样调查．考点二平均数、中位数、众数的计算例2(2016·威海)某电脑公司销售部为了制订下个月的销售计划对20位销售员本月的销售量进行了统计绘制成如图所示的统计图．则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是()．．【点拨】x＝＝18.4.∵20位销售员中销售12台的有20×20＝(人)销售14台的有20×25＝5(人)销售2020×40%＝8(人)销售30台的有20×15＝(人)众数是20.而中位数是将数据按从大到小(或从小到大)排列后第10个人和第11个人的销售量的平均数为20.故选【答案】
考点三方差的计算例3(2016·达州)已知一组数据0的平均数是2则这组数据的方差是．【点拨】因为所给数据的平均数是2所以x＝6×2－1－2－2－3＝4所以方差s＝[(0－2)＋(1－2)＋(2－)2＋(2－2)＋(4－2)＋(3－2)]＝【答案】
方法总结：
计算方差的一般步骤：(1)先求平均数；(2)代入方差公式求方差．方差越大数据波动越大越不稳定或不整齐．1．(2016·抚顺)下列调查中最适合采用全面调查的是()调查某批次汽车的抗撞击能力端午节期间抚顺市食品安全检查部门调查市场上粽子的质量调查某班40名同学的视力情况调查某池塘中现有鱼的数量2．在一次中学生田径运动会上参加跳高的15名运动员的成绩如下表所示：成绩(米) 1．50 1．60 1．65 1．70 1．75 1．80 人数(人) 1 2 4 3 3 2那么这些运动员跳高成绩的众数是()3．为加快新农村试点示范建设某省开展了“美丽乡村”的评选活动下表是该省六个州(市)推荐候选的“美丽乡村”个数统计结果：州(市) 推荐数(个) 36 27 31 56 48 54在上表统计的数据中平均数和中位数分别为()
4．(2016·衢州)在某校“我的中国梦”演讲比赛中有7名学生参加决赛他们决赛的最终成绩各不相同其中一名学生想要知道自己能否进入前3名他不仅要了解自己的成绩还要了解这7名学生成绩的()众数B．方差C．平均数D．中位数5．(2016·随州)为了响应学校“书香校园”建设阳光班的同学们积极捐书其中宏志学习小组的同学捐书册数分别是56.已知他们平均每人捐5本则这组数据的众数、中位数和方差分别是()B．5，5，10
C．6，5.5，D．5，5，
6．(2016·潍坊)超市决定招聘广告策划人员一名某应聘者三项素质测试的成绩如下表：测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩(分) 70 80 92将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩则该应聘者的总成绩是分．7．(2016·呼和浩特)在一次男子马拉松长跑比赛中随机抽得12名选手所用的时间(单位：分钟)140146143175125164134155152168162148(1)计算该样本数据的中位数和平均数；(2)如果一名选手的成绩是147分钟请你依据该样本数据中位数推断他的成绩如何？
解：(1)中位数为＝150(分钟)．设基准数a＝140则新数据为－15－6＝140＋[0＋6＋3＋35＋(－15)＋24＋(－6)＋15＋12＋28＋22＋8]÷12＝151(分钟)．
(2)这名选手的成绩是147分钟快于中位数150分钟可以推断他的成绩比一半以上选手的成绩好．一、选择题(每小题4分，共48分)
1．(2016·山西)以下问题不适合全面调查的是(C)
A．调查某班学生每周课前预习的时间
B．调查某中学在职教师的身体健康状况
C．调查全国中小学生课外阅读情况
D．调查某篮球队队员的身高【解析】调查全国中小学生课外阅读情况，适合抽样调查．故选C．
2．电视剧《铁血将军》在聊城市拍摄，该剧展示了抗日英雄范筑先的光辉形象．某校为了了解学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况，从全校2400名学生中随机抽取了100名学生进行调查．在这次调查中，样本是()
A．2400名学生B．100名学生C．所抽取的100名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况
D．每一名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况3．(2016·丽水)某校对全体学生开展心理健康知识测试，七、八、九三个年级共有800名学生，各年级的合格人数如表所示，则下列说法正确的是()
年级 七年级 八年级 九年级 合格人数 270 262 254 A．七年级的合格率最高
B．八年级的学生人数为262名C．八年级的合格率高于全校的合格率
D．九年级的合格人数最少
【解析】∵七、八、九年级的人数不确定，∴无法求得七、八、九年级的合格率，∴选项A错误、选项C错误．由统计表可知八年级合格人数是262人，故B错误.∵270＞262＞254，∴九年级合格人数最少.故选D．
【答案】D
4．(2016·南宁)某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩(百分制)依次是80分、90分，则小明这学期的数学成绩是()
【导学号90280369】
A．80分B．82分C．84分D．86分
【解析】由加权平均数的公式可知：(80×40%＋90×60%)÷(40%＋60%)＝86(分)．故选D．
【答案】D
5．(2016·杭州)如图是某市2016年四月份每日的最低气温(℃)的统计图，则在四月份每日的最低气温这组数据中，中位数和众数分别是()
A．14℃，14℃B．15℃，15℃
C．14℃，15℃D．15℃，14℃
【解析】由条形统计图可以看出频数最大、条形最高的数据是在第三组，14℃，故众数是14℃；因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的数是14℃、14℃，故中位数是14℃.故选A．
【答案】A
6．下列是某校教学活动小组学生的年龄情况：13，15，15，16，13，15，14，15(单位：岁)．这组数据的中位数和极差分别是()
A．15，3B．14，15C．16，16D．14，3
【解析】按从小到大的顺序排列为13，13，14，15，15，15，15，16，故中位数为(15＋15)÷2＝15，极差为16－13＝3.故选A．
【答案】A
7．(2016·南京)若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为()
【导学号90280370】
A．1B．6C．1或6D．5或6
【解析】∵一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，∴这组数据可能是2，3，4，5，6或1，2，3，4，5，∴x＝1或6.故选C．
【答案】C
8．(2016·苏州)一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是()
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【解析】根据题意，得40－(12＋10＋6＋8)＝40－36＝4，则第5组的频率为4÷40＝0.1.故选A．
【答案】A
9．若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是()
A．0B．2.5C．3D．5
【解析】当x＝0时，平均数是2，中位数是2，符合题意；当x＝2.5时，平均数是2.5，中位数是2.5，符合题意；当x＝3时，平均数是2.6，中位数是3，不符合题意；当x＝5时，平均数是3，中位数是3，符合题意．故选C．
【答案】C
10．李华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：
平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是()
A．平均数B．众数C．方差D．中位数
【解析】平均数与方差的计算涉及所有数据，所以数据变化后，平均数与方差可能发生变化；中位数是9个数据中排在最中间的数据，去掉一个最高分和一个最低分，中位数不变；众数是出现次数是多的数据，可能变化.故选D．
【答案】D
11．下列说法错误的是(C)
A．某消费者服务热线是400－816－9999，这十个数的中位数为7
B．服装店老板最关心的是卖出服装的众数
C．要了解全市初三近4万名学生2016年中考数学成绩情况，适宜采用全面调查
D．条形统计图能够显示每组中的具体数据，易于比较数据之间的差别
12．(2016·福州)下表是某校合唱团成员的年龄分布：
年龄/岁 13 14 15 16 频数 5 15 x 10－x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是()
【导学号90280371】
A．平均数、中位数B．众数、中位数
C．平均数、方差D．中位数、方差
【解析】由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x＋10－x＝10，则总人数为5＋15＋10＝30,故该组数据的众数为14岁，中位数为(14＋14)÷2＝14岁，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数．故选B．
【答案】B
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．(2016·深圳)已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是5，则数据x1＋3，x2＋3，x3＋3，x4＋3的平均数是8．
【解析】∵x1，x2，x3，x4的平均数为5，∴x1＋x2＋x3＋x4＝4×5＝20，∴x1＋3，x2＋3，x3＋3，x4＋3的平均数＝(x1＋3＋x2＋3＋x3＋3＋x4＋3)÷4＝(20＋12)÷4＝8.
14．(2016·黄冈)需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，现抽取8个排球，通过检测所得数据如下(单位：克)：＋1，－2，＋1，0，＋2，－3，0，＋1，则这组数据的方差是．【导学号90280372】
【解析】平均数＝×(1－2＋1＋0＋2－3＋0＋1)＝0,方差＝×[3×(1－0)2＋(2－0)2＋(－2－0)2＋(－3－0)2]＝2.5.
【答案】2.5
15．已知一组数据1，2，3，…，n(从左往右数，第1个数是1，第2个数是2，第3个数是3，依此类推，第n个数是n)．设这组数据的各数之和是s，中位数是k，则s＝(用只含有k的代数式表示)．【导学号90280373】
【解析】∵一组数据1，2，3，…，n(从左往右数，第1个数是1，第2个数是2，第3个数是3，依此类推，第n个数是n)，∴这组数据的中位数与平均数相等．∵这组数据的各数之和是s，中位数是k，∴s＝nk.
【答案】nk
16．已知一组数据－3，x，－2，3，1，6的中位数为1，则其方差为9．
【解析】∵共6个数据，把已知的5个数据从小到大排列为－3，－2，1，3，6，由于中位数为1，∴x＝1.这6个×(－3－2＋1＋1＋3＋6)＝1.∴其方差为×[(－3－1)2＋(－2－1)2＋(1－1)2＋(1－1)2＋(3－1)2＋(6－1)2]＝9.
三、解答题(共36分)
17．(10分)某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核，甲、乙、丙各项得分如下表：
笔试 面试 体能 甲 83 79 90 乙 85 80 75 丙 80 90 73 (1)根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序；
解：x甲＝＝84，x乙＝＝80，
x丙＝＝81，
∴排名顺序为甲、丙、乙．
(2)该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分，根据规定，请你说明谁将被录用．
解：由题意可知，只有甲不符合规定．
∵x乙′＝85×60%＋80×30%＋75×10%＝82.5，
x丙′＝80×60%＋90×30%＋73×10%＝82.3，
∴乙将被录用．
18．(12分)(2016·大庆)为了了解某学校初四年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初四年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图(图1)和扇形统计图(图2)：【导学号90280374】
(1)根据以上信息回答下列问题：
①求m值．
②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数．
③补全条形统计图．
解：①∵课外阅读时间为2小时的扇形的圆心角的度数为90°，
∴其所占的百分比为＝.
∵课外阅读时间为2小时的有15人，
∴m＝15÷＝60；
②阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数为×360°＝30°.
③阅读时间为3小时的人数为60－10－15－10－5＝20，
补全条形统计图，如图所示．
(2)直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数．
解：∵课外阅读时间为3小时的有20人，最多，
∴众数为3小时；
∵调查的总人数一共60人，中位数应该是第30人和第31人的阅读时间的平均数，且第30人和第31人阅读时间均为3小时，
∴中位数为3小时；
平均数为＝2.75(小时)．
19．(14分)要从甲、乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛，如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图．【导学号90280375】
(1)已求得甲的平均成绩为8环，求乙的平均成绩；分析：根据平均数的计算公式和折线统计图给出的数据即可得出答案；解：乙的平均成绩：(8＋9＋8＋8＋7＋8＋9＋8＋8＋7)÷10＝8(环)．
(2)观察图形，直接写出甲、乙这10次射击成绩的方差s，s哪个大；解：根据图象可知，甲的波动小于乙的波动，则s＜s.
(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选乙参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选甲参赛更合适．7环左右的多少可得出乙参赛更合适；根据射击成绩都在9环左右的多少可得出甲参赛更合适．
解：如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选乙参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选甲参赛更合适．
点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，波动越小，数据越稳定．
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