2018中考数学试题分类汇编：考点26正方形
一．选择题（共4小题）
1．（2018?无锡）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tanAFE的值（）
A．等于 B．等于
C．等于 D．随点E位置的变化而变化
【分析】根据题意推知EFAD，由该平行线的性质推知AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．
【解答】解：EF∥AD，
AFE=∠FAG，
AEH∽△ACD，
==．
设EH=3x，AH=4x，
HG=GF=3x，
tan∠AFE=tan∠FAG===．
故选：A．
2．（2018?宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EGAB．EIAD，FHAB，FJAD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）
A．1 B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；
【解答】解：四边形ABCD是正方形，
直线AC是正方形ABCD的对称轴，
EG⊥AB．EIAD，FHAB，FJAD，垂足分别为G，I，H，J．
根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，
S阴=S正方形ABCD=，
故选：B．
3．（2018?湘西州）下列说法中，正确个数有（）
对顶角相等；
两直线平行，同旁内角相等；
对角线互相垂直的四边形为菱形；
对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案．
【解答】解：对顶角相等，故正确；
两直线平行，同旁内角互补，故错误；
对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故错误；
对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故正确，
故选：B．
4．（2018?张家界）下列说法中，正确的是（）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．相等的角是对顶角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可．
【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；
D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
二．填空题（共7小题）
5．（2018?武汉）以正方形ABCD的边AD作等边ADE，则BEC的度数是30°或150°．
【分析】分等边ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．
【解答】解：如图1，
四边形ABCD为正方形，ADE为等边三角形，
AB=BC=CD=AD=AE=DE，BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AED=∠ADE=∠DAE=60°，
BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，
AEB=∠CED=15°，
则BEC=∠AED﹣AEB﹣CED=30°．
如图2，
ADE是等边三角形，
AD=DE，
四边形ABCD是正方形，
AD=DC，
DE=DC，
CED=∠ECD，
CDE=∠ADC﹣ADE=90°﹣60°=30°，
CED=∠ECD=（180°﹣30°）=75°，
BEC=360°﹣75°2﹣60°=150°．
故答案为：30°或150°．
6．（2018?呼和浩特）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AMAB，CBE由DAM平移得到．若过点E作EHAC，H为垂足，则有以下结论：点M位置变化，使得DHC=60°时，2BE=DM；无论点M运动到何处，都有DM=HM；无论点M运动到何处，CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为．
【分析】先判定MEH≌△DAH（SAS），即可得到DHM是等腰直角三角形，进而得出DM=HM；依据当DHC=60°时，ADH=60°﹣45°=15°，即可得到RtADM中，DM=2AM，即可得到DM=2BE；依据点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AMAB，可得AHM＜∠BAC=45°，即可得出CHM＞135°．
【解答】解：由题可得，AM=BE，
AB=EM=AD，
四边形ABCD是正方形，EHAC，
EM=AH，AHE=90°，MEH=∠DAH=45°=∠EAH，
EH=AH，
MEH≌△DAH（SAS），
MHE=∠DHA，MH=DH，
MHD=∠AHE=90°，DHM是等腰直角三角形，
DM=HM，故正确；
当DHC=60°时，ADH=60°﹣45°=15°，
ADM=45°﹣15°=30°，
Rt△ADM中，DM=2AM，
即DM=2BE，故正确；
点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AMAB，
AHM＜∠BAC=45°，
CHM＞135°，故正确；
故答案为：．
7．（2018?青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明ABE≌△DAF得ABE=∠DAF，进一步得AGE=∠BGF=90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
【解答】解：四边形ABCD为正方形，
BAE=∠D=90°，AB=AD，
在ABE和DAF中，
，
ABE≌△DAF（SAS），
ABE=∠DAF，
ABE+∠BEA=90°，
DAF+∠BEA=90°，
AGE=∠BGF=90°，
点H为BF的中点，
GH=BF，
BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3，
BF==，
GH=BF=，
故答案为：．
8．（2018?咸宁）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为（﹣1，5）．
【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．
【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线EG，垂足为G，连接GE、FO交于点O′．
四边形OEFG是正方形，
OG=EO，GOM=∠OEH，OGM=∠EOH，
在OGM与EOH中，
OGM≌△EOH（ASA）
GM=OH=2，OM=EH=3，
G（﹣3，2）．
O′（﹣，）．
点F与点O关于点O′对称，
点F的坐标为（﹣1，5）．
故答案是：（﹣1，5）．
9．（2018?江西）在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为2或2或﹣．
【分析】根据正方形的性质得出ACBD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，ABC=90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：四边形ABCD是正方形，AB=6，
AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，ABC=∠DAB=90°，
在RtABC中，由勾股定理得：AC===6，
OA=OB=OC=OD=3，
有三种情况：点P在AD上时，
AD=6，PD=2AP，
AP=2；
点P在AC上时，
设AP=x，则DP=2x，
在RtDPO中，由勾股定理得：DP2=DO2OP2，
（2x）2=（3）2（3﹣x）2，
解得：x=﹣（负数舍去），
即AP=﹣；
点P在AB上时，
设AP=y，则DP=2y，
在RtAPD中，由勾股定理得：AP2AD2=DP2，
y262=（2y）2，
解得：y=2（负数舍去），
即AP=2；
故答案为：2或2或﹣．
10．（2018?潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB''C′D′的位置，B''C′与CD相交于点M，则点M的坐标为（﹣1，）．
【分析】连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、BAB′=30°、B′AD=60°，证RtADM≌Rt△AB′M得DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtanDAM可得答案．
【解答】解：如图，连接AM，
将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB''C′D′，
AD=AB′=1，BAB′=30°，
B′AD=60°，
在Rt△ADM和Rt△AB′M中，
，
Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），
DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，
DM=ADtan∠DAM=1×=，
点M的坐标为（﹣1，），
故答案为：（﹣1，）．
11．（2018?台州）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则BCG的周长为+3．
【分析】根据面积之比得出BGC的面积等于正方形面积的，进而依据BCG的面积以及勾股定理，得出BGCG的长，进而得出其周长．
【解答】解：阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
阴影部分的面积为×9=6，
空白部分的面积为9﹣6=3，
由CE=DF，BC=CD，BCE=∠CDF=90°，可得BCE≌△CDF，
BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，
设BG=a，CG=b，则ab=，
又a2+b2=32，
a2+2ab+b2=9+6=15，
即（ab）2=15，
a+b=，即BGCG=，
BCG的周长=+3，
故答案为：+3．
三．解答题（共6小题）
12．（2018?盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；
【解答】证明：（1）正方形ABCD，
AB=AD，
ABD=∠ADB，
ABE=∠ADF，
在ABE与ADF中
，
ABE≌△ADF（SAS）；
（2）连接AC，
四边形AECF是菱形．
理由：正方形ABCD，
OA=OC，OB=OD，ACEF，
OB+BE=OD+DF，
即OE=OF，
OA=OC，OE=OF，
四边形AECF是平行四边形，
AC⊥EF，
四边形AECF是菱形．
13．（2018?吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：ABE≌△BCF．
【分析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明；
【解答】证明：四边形ABCD是正方形，
AB=BC，ABE=∠BCF=90°，
在ABE和BCF中，
，
ABE≌△BCF．
14．（2018?白银）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
（1）求证：BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；
（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，
FH∥BE，FH=BE，FH=BG，
CFH=∠CBG，
BF=CF，
BGF≌△FHC，
（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EFGH且EF=GH，
在BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，
GH=，且GHBC，
EF⊥BC，
AD∥BC，ABBC，
AB=EF=GH=a，
矩形ABCD的面积=．
15．（2018?潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DEAM于点E，BFAM于点F，连接BE．
（1）求证：AE=BF；
（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求EBF的正弦值．
【分析】（1）通过证明ABF≌△DEA得到BF=AE；
（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于ABE的面积与ADE的面积之和得到?x?x?x?2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x﹣2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．
【解答】（1）证明：四边形ABCD为正方形，
BA=AD，BAD=90°，
DE⊥AM于点E，BFAM于点F，
AFB=90°，DEA=90°，
ABF+∠BAF=90°，EAD+∠BAF=90°，
ABF=∠EAD，
在ABF和DEA中
，
ABF≌△DEA（AAS），
BF=AE；
（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，
四边形ABED的面积为24，
?x?x+?x?2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），
EF=x﹣2=4，
在RtBEF中，BE==2，
sin∠EBF===．
16．（2018?湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．
（1）求证：DAF≌△ABE；
（2）求AOD的度数．
【分析】（1）利用正方形的性质得出AD=AB，DAB=∠ABC=90°，即可得出结论；
（2）利用（1）的结论得出ADF=∠BAE，进而求出ADF+∠DAO=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，
DAB=∠ABC=90°，AD=AB，
在DAF和ABE中，，
DAF≌△ABE（SAS），
（2）由（1）知，DAF≌△ABE，
ADF=∠BAE，
ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，
AOD=180°﹣（ADF+DAO）=90°．
17．（2018?遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AEBE），且EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM=ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
【分析】（1）证OAM≌△OBN即可得；
（2）作OHAD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．
【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，
OA=OB，DAO=45°，OBA=45°，
OAM=∠OBN=135°，
EOF=90°，AOB=90°，
AOM=∠BON，
OAM≌△OBN（ASA），
OM=ON；
（2）如图，过点O作OHAD于点H，
正方形的边长为4，
OH=HA=2，
E为OM的中点，
HM=4，
则OM==2，
MN=OM=2．
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