2018中考数学试题分类汇编：考点30切线的性质和判定
一．选择题（共11小题）
1．（2018?哈尔滨）如图，点P为O外一点，PA为O的切线，A为切点，PO交O于点B，P=30°，OB=3，则线段BP的长为（）
A．3 B．3 C．6 D．9
【分析】直接利用切线的性质得出OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．
【解答】解：连接OA，
PA为O的切线，
OAP=90°，
P=30°，OB=3，
AO=3，则OP=6，
故BP=6﹣3=3．
故选：A．
2．（2018?眉山）如图所示，AB是O的直径，PA切O于点A，线段PO交O于点C，连结BC，若P=36°，则B等于（）
A．27° B．32° C．36° D．54°
【分析】直接利用切线的性质得出OAP=90°，再利用三角形内角和定理得出AOP=54°，结合圆周角定理得出答案．
【解答】解：PA切O于点A，
OAP=90°，
P=36°，
AOP=54°，
B=27°．
故选：A．
3．（2018?重庆）如图，已知AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD与O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若O的半径为4，BC=6，则PA的长为（）
A．4 B．2 C．3 D．2.5
【分析】直接利用切线的性质得出PDO=90°，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．
【解答】解：连接DO，
PD与O相切于点D，
PDO=90°，
C=90°，
DO∥BC，
PDO∽△PCB，
===，
设PA=x，则=，
解得：x=4，
故PA=4．
故选：A．
4．（2018?福建）如图，AB是O的直径，BC与O相切于点B，AC交O于点D，若ACB=50°，则BOD等于（）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【分析】根据切线的性质得到ABC=90°，根据直角三角形的性质求出A，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：BC是O的切线，
ABC=90°，
A=90°﹣ACB=40°，
由圆周角定理得，BOD=2∠A=80°，
故选：D．
5．（2018?泸州）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y=上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（）
A．3 B．2 C． D．
【分析】如图，直线y=x2与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OHCD于H，先利用一次解析式得到D（0，2），C（﹣2，0），再利用勾股定理可计算出CD=4，则利用面积法可计算出OH=，连接OA，如图，利用切线的性质得OAPA，则PA=，然后利用垂线段最短求PA的最小值．
【解答】解：如图，直线y=x2与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OHCD于H，
当x=0时，y=x2=2，则D（0，2），
当y=0时，x2=0，解得x=﹣2，则C（﹣2，0），
CD==4，
OH?CD=OC?OD，
OH==，
连接OA，如图，
PA为O的切线，
OA⊥PA，
PA==，
当OP的值最小时，PA的值最小，
而OP的最小值为OH的长，
PA的最小值为=．
故选：D．
6．（2018?泰安）如图，BM与O相切于点B，若MBA=140°，则ACB的度数为（）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】连接OA、OB，由切线的性质知OBM=90°，从而得ABO=∠BAO=50°，由内角和定理知AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
BM是O的切线，
OBM=90°，
MBA=140°，
ABO=50°，
OA=OB，
ABO=∠BAO=50°，
AOB=80°，
ACB=∠AOB=40°，
故选：A．
7．（2018?深圳）如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（）
A．3 B． C．6 D．
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB=AC=3、OAB=60°，根据OB=ABtanOAB可得答案．
【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB=AC=3，OA平分BAC，
OAB=60°，
在RtABO中，OB=ABtanOAB=3，
光盘的直径为6，
故选：D．
8．（2018?重庆）如图，ABC中，A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分ABC，AD=2，则线段CD的长是（）
A．2 B． C． D．
【分析】连接OD，得RtOAD，由A=30°，AD=2，可求出OD、AO的长；由BD平分ABC，OB=OD可得
OD与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．
【解答】解：连接OD
OD是O的半径，AC是O的切线，点D是切点，
OD⊥AC
在RtAOD中，A=30°，AD=2，
OD=OB=2，AO=4，
ODB=∠OBD，又BD平分ABC，
OBD=∠CBD
∴∠ODB=∠CBD
∴OD∥CB，
即
CD=．
故选：B．
9．（2018?湘西州）如图，直线AB与O相切于点A，AC、CD是O的两条弦，且CDAB，若O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（）
A．10 B．8 C．4 D．4
【分析】由AB是圆的切线知AOAB，结合CDAB知AOCD，从而得出CE=4，RtCOE中求得OE=3及AE=8，在RtACE中利用勾股定理可得答案．
【解答】解：直线AB与O相切于点A，
OA⊥AB，
又CD∥AB，
AO⊥CD，记垂足为E，
CD=8，
CE=DE=CD=4，
连接OC，则OC=OA=5，
在RtOCE中，OE===3，
AE=AO+OE=8，
则AC===4，
故选：D．
10．（2018?宜昌）如图，直线AB是O的切线，C为切点，ODAB交O于点D，点E在O上，连接OC，EC，ED，则CED的度数为（）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】由切线的性质知OCB=90°，再根据平行线的性质得COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．
【解答】解：直线AB是O的切线，C为切点，
OCB=90°，
OD∥AB，
COD=90°，
CED=∠COD=45°，
故选：D．
11．（2018?无锡）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】连接DG、AG，作GHAD于H，连接OD，如图，先确定AG=DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HGBC可判定BC与圆O相切；接着利用OG=OG可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．
【解答】解：连接DG、AG，作GHAD于H，连接OD，如图，
G是BC的中点，
AG=DG，
GH垂直平分AD，
点O在HG上，
AD∥BC，
HG⊥BC，
BC与圆O相切；
OG=OG，
点O不是HG的中点，
圆心O不是AC与BD的交点；
而四边形AEFD为O的内接矩形，
AF与DE的交点是圆O的圆心；
（1）错误，（2）（3）正确．
故选：C．
二．填空题（共14小题）
12．（2018?安徽）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与O相切于点D，E．若点D是AB的中点，则DOE=60°．
【分析】连接OA，根据菱形的性质得到AOB是等边三角形，根据切线的性质求出AOD，同理计算即可．
【解答】解：连接OA，
四边形ABOC是菱形，
BA=BO，
AB与O相切于点D，
OD⊥AB，
点D是AB的中点，
直线OD是线段AB的垂直平分线，
OA=OB，
AOB是等边三角形，
AB与O相切于点D，
OD⊥AB，
AOD=∠AOB=30°，
同理，AOE=30°，
DOE=∠AOD+∠AOE=60°，
故答案为：60．
13．（2018?连云港）如图，AB是O的弦，点C在过点B的切线上，且OCOA，OC交AB于点P，已知OAB=22°，则OCB=44°．
【分析】首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OCOA，根据等角的余角相等，易证得CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：连接OB，
BC是O的切线，
OB⊥BC，
OBA+∠CBP=90°，
OC⊥OA，
A+∠APO=90°，
OA=OB，OAB=22°，
OAB=∠OBA=22°，
APO=∠CBP=68°，
APO=∠CPB，
CPB=∠ABP=68°，
OCB=180°﹣68°﹣68°=44°，
故答案为：44°
14．（2018?泰州）如图，ABC中，ACB=90°，sinA=，AC=12，将ABC绕点C顺时针旋转90°得到A''B''C，P为线段A′B''上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作P，当P与ABC的边相切时，P的半径为或．
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当P与AB相切于点T时，
【解答】解：如图1中，当P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．
设PQ=PA′=r，
PQ∥CA′，
=，
=，
r=．
如图2中，当P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，
A′BT∽△ABC，
=，
=，
A′T=，
r=A′T=．
综上所述，P的半径为或．
15．（2018?宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作P．当P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4．
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当P与直线CD相切时；如图2中当P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PKAD，四边形PKDC是矩形；
【解答】解：如图1中，当P与直线CD相切时，设PC=PM=m．
在RtPBM中，PM2=BM2+PB2，
x2=42+（8﹣x）2，
x=5，
PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．
如图2中当P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PKAD，四边形PKDC是矩形．
PM=PK=CD=2BM，
BM=4，PM=8，
在RtPBM中，PB==4．
综上所述，BP的长为3或4．
16．（2018?台州）如图，AB是O的直径，C是O上的点，过点C作O的切线交AB的延长线于点D．若A=32°，则D=26度．
【分析】连接OC，根据圆周角定理得到COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．
【解答】解：连接OC，
由圆周角定理得，COD=2∠A=64°，
CD为O的切线，
OC⊥CD，
D=90°﹣COD=26°，
故答案为：26．
17．（2018?长沙）如图，点A，B，D在O上，A=20°，BC是O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则OCB=50度．
【分析】由圆周角定理易求BOC的度数，再根据切线的性质定理可得OBC=90°，进而可求出求出OCB的度°°
【解答】解：
A=20°，
BOC=40°，
BC是O的切线，B为切点，
OBC=90°，
OCB=90°﹣40°=50°，
故答案为：50．
18．（2018?香坊区）如图，BD是O的直径，BA是O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OEAB于E，且AB=AC，若CD=2，则OE的长为．
【分析】根据题意，利用三角形全等和切线的性质、中位线，直角三角形中30°角所对的直角边与斜边的关系、垂径定理可以求得OE的长．
【解答】解：连接OA、AD，如右图所示，
BD是O的直径，BA是O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OEAB于E，
DAB=90°，OAC=90°，
AB=AC，
B=∠C，
在ACO和BAD中，
，
ACO≌△BAD（ASA），
AO=AD，
AO=OD，
AO=OD=AD，
AOD是等边三角形，
ADO=∠DAO=60°，
B=∠C=30°，OAE=30°，DAC=30°，
AD=DC，
CD=2，
AD=2，
点O为AD的中点，OEAD，OEAB，
OE=，
故答案为：．
19．（2018?山西）如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作O，O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．
【分析】先利用勾股定理求出AB=10，进而求出CD=BD=5，再求出CF=4，进而求出DF=3，再判断出FGBD，利用面积即可得出结论．
【解答】解：如图，
在RtABC中，根据勾股定理得，AB=10，
点D是AB中点，
CD=BD=AB=5，
连接DF，
CD是O的直径，
CFD=90°，
BF=CF=BC=4，
DF==3，
连接OF，
OC=OD，CF=BF，
OF∥AB，
OFC=∠B，
FG是O的切线，
OFG=90°，
OFC+∠BFG=90°，
BFG+∠B=90°，
FG⊥AB，
S△BDF=DF×BF=BD×FG，
FG===，
故答案为．
20．（2018?包头）如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若D=40°，则BEC=115度．
【分析】连接OC，根据切线的性质求出DCO，求出COB，即可求出答案．
【解答】解：
连接OC，
DC切O于C，
DCO=90°，
D=40°，
COB=∠D+∠DCO=130°，
的度数是130°，
的度数是360°﹣130°=230°，
BEC==115°，
故答案为：115．
21．（2018?湘潭）如图，AB是O的切线，点B为切点，若A=30°，则AOB=60°．
【分析】根据切线的性质得到OBA=90°，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：AB是O的切线，
OBA=90°，
AOB=90°﹣A=60°，
故答案为：60°．
22．（2018?徐州）如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD与O相切于点D．若C=18°，则CDA=126度．
【分析】连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得ODA=36°，从而根据CDA=∠CDO+∠ODA计算求解．
【解答】解：连接OD，则ODC=90°，COD=72°；
OA=OD，
ODA=∠A=∠COD=36°，
CDA=∠CDO+∠ODA=90°+36°=126°．
23．（2018?青岛）如图，RtABC，B=90°，C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以
OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是﹣π．
【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．
【解答】解：B=90°，C=30°，
A=60°，
OA=OF，
AOF是等边三角形，
COF=120°，
OA=2，
扇形OGF的面积为：=
OA为半径的圆与CB相切于点E，
OEC=90°，
OC=2OE=4，
AC=OC+OA=6，
AB=AC=3，
由勾股定理可知：BC=3
ABC的面积为：×3×3=
∵△OAF的面积为：×2×=，
阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π
故答案为：﹣π
24．（2018?广东）如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为π．（结果保留π）
【分析】连接OE，如图，利用切线的性质得OD=2，OEBC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD﹣S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：连接OE，如图，
以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
OD=2，OEBC，
易得四边形OECD为正方形，
由弧DE、线段EC、CD所围成的面积=S正方形OECD﹣S扇形EOD=22﹣=4﹣π，
阴影部分的面积=×2×4﹣（4﹣π）=π．
故答案为π．
25．（2018?南京）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作O．将矩形ABCD绕点C
旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与O相切，切点为E，边CD′与O相交于点
F，则CF的长为4．
【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OHB′C，由旋转性质知B′=∠B′CD′=90°、AB=CD=5、BC=B′C=4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE=OD=OC=2.5，继而求得CG=B′E=OH===2，根据垂径定理可得CF的长．
【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OHB′C于点H，
则OEB′=∠OHB′=90°，
矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，
B′=∠B′CD′=90°，AB=CD=5、BC=B′C=4，
四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE=OD=OC=2.5，
B′H=OE=2.5，
CH=B′C﹣B′H=1.5，
CG=B′E=OH===2，
四边形EB′CG是矩形，
OGC=90°，即OGCD′，
CF=2CG=4，
故答案为：4．
三．解答题（共25小题）
26．（2018?柯桥区模拟）如图，已知三角形ABC的边AB是O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分ACE；
（2）若BE=3，CE=4，求O的半径．
【分析】（1）证明：如图1，连接OB，由AB是0的切线，得到OBAB，由于CE丄AB，的OBCE，于是得到1=∠3，根据等腰三角形的性质得到1=∠2，通过等量代换得到结果．
（2）如图2，连接BD通过DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得结果．
【解答】（1）证明：如图1，连接OB，
AB是0的切线，
OB⊥AB，
CE丄AB，
OB∥CE，
1=∠3，
OB=OC，
1=∠2
∴∠2=∠3，
CB平分ACE；
（2）如图2，连接BD，
CE丄AB，
E=90°，
BC===5，
CD是O的直径，
DBC=90°，
E=∠DBC，
DBC∽△CBE，
，
BC2=CD?CE，
CD==，
OC==，
O的半径=．
27．（2018?天津）已知AB是O的直径，弦CD与AB相交，BAC=38°，
（I）如图，若D为的中点，求ABC和ABD的大小；
（Ⅱ）如图，过点D作O的切线，与AB的延长线交于点P，若DPAC，求OCD的大小．
【分析】（Ⅰ）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得ABC和ABD的大小；
（Ⅱ）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得OCD的大小．
【解答】解：（Ⅰ）AB是O的直径，弦CD与AB相交，BAC=38°，
ACB=90°，
ABC=∠ACB﹣BAC=90°﹣38°=52°，
D为的中点，AOB=180°，
AOD=90°，
ACD=45°；
（Ⅱ）连接OD，
DP切O于点D，
OD⊥DP，即ODP=90°，
由DPAC，又BAC=38°，
P=∠BAC=38°，
AOD是ODP的一个外角，
AOD=∠P+∠ODP=128°，
ACD=64°，
OC=OA，BAC=38°，
OCA=∠BAC=38°，
OCD=∠ACD﹣OCA=64°﹣38°=26°．
28．（2018?荆门）如图，AB为O的直径，C为O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，ADEC交EC的延长线于点D，AD交O于F，FMAB于H，分别交O、AC于M、N，连接MB，BC．
（1）求证：AC平分DAE；
（2）若cosM=，BE=1，求O的半径；求FN的长．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OCDE，则判断OCAD得到1=∠3，加上2=∠3，从而得到1=∠2；
（2）利用圆周角定理和垂径定理得到=，则COE=∠FAB，所以FAB=∠M=∠COE，设O的半径为r，然后在RtOCE中利用余弦的定义得到=，从而解方程求出r即可；
连接BF，如图，先在RtAFB中利用余弦定义计算出AF=，再计算出OC=3，接着证明AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
直线DE与O相切于点C，
OC⊥DE，
又AD⊥DE，
OC∥AD．
1=∠3
∵OA=OC，
2=∠3，
1=∠2，
AC平方DAE；
（2）解：AB为直径，
AFB=90°，
而DEAD，
BF∥DE，
OC⊥BF，
=，
COE=∠FAB，
而FAB=∠M，
COE=∠M，
设O的半径为r，
在RtOCE中，cosCOE==，即=，解得r=4，
即O的半径为4；
连接BF，如图，
在RtAFB中，cosFAB=，
AF=8×=
在RtOCE中，OE=5，OC=4，
CE=3，
AB⊥FM，
，
5=∠4，
FB∥DE，
5=∠E=∠4，
=，
1=∠2，
AFN∽△AEC，
=，即=，
FN=．
29．（2018?随州）如图，AB是O的直径，点C为O上一点，CN为O的切线，OMAB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD=MC；
（2）若O的半径为5，AC=4，求MC的长．
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）连接OC，
CN为O的切线，
OC⊥CM，OCA+∠ACM=90°，
OM⊥AB，
OAC+∠ODA=90°，
OA=OC，
OAC=∠OCA，
ACM=∠ODA=∠CDM，
MD=MC；
（2）由题意可知AB=52=10，AC=4，
AB是O的直径，
ACB=90°，
BC=，
AOD=∠ACB，A=∠A，
AOD∽△ACB，
，即，
可得：OD=2.5，
设MC=MD=x，在RtOCM中，由勾股定理得：（x2.5）2=x252，
解得：x=，
即MC=．
30．（2018?黄冈）如图，AD是O的直径，AB为O的弦，OPAD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．
（1）求证：CBP=∠ADB．
（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长．
【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到ABD=90°，再根据切线的性质得到OBC=90°，然后利用等量代换进行证明；
（2）证明AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图，
AD是O的直径，
ABD=90°，
A+∠ADB=90°，
BC为切线，
OB⊥BC，
OBC=90°，
OBA+∠CBP=90°，
而OA=OB，
A=∠OBA，
CBP=∠ADB；
（2）解：OP⊥AD，
POA=90°，
P+∠A=90°，
P=∠D，
AOP∽△ABD，
=，即=，
BP=7．
31．（2018?襄阳）如图，AB是O的直径，AM和BN是O的两条切线，E为O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．
（1）求证：DA=DE；
（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OE．推知CD为O的切线，即可证明DA=DE；
（2）利用分割法求得阴影部分的面积．
【解答】解：（1）证明：连接OE、OC．
OB=OE，
OBE=∠OEB．
BC=EC，
CBE=∠CEB，
OBC=∠OEC．
BC为O的切线，
OEC=∠OBC=90°；
OE为半径，
CD为O的切线，
AD切O于点A，
DA=DE；
（2）如图，过点D作DFBC于点F，则四边形ABFD是矩形，
AD=BF，DF=AB=6，
DC=BC+AD=4．
FC==2，
BC﹣AD=2，
BC=3．
在直角OBC中，tanBOE==，
BOC=60°．
在OEC与OBC中，
，
OEC≌△OBC（SSS），
BOE=2∠BOC=120°．
S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2BC?OB﹣=9﹣3π．
32．（2018?长春）如图，AB是O的直径，AC切O于点A，BC交O于点D．已知O的半径为6，C=40°．
（1）求B的度数．
（2）求的长．（结果保留π）
【分析】（1）根据切线的性质求出A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据圆周角定理求出AOD，根据弧长公式求出即可．
【解答】解：（1）AC切O于点A，
BAC=90°，
C=40°，
B=50°；
（2）连接OD，
B=50°，
AOD=2∠B=100°，
的长为=π．
33．（2018?白银）如图，点O是ABC的边AB上一点，O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE=EF．
（1）求证：C=90°；
（2）当BC=3，sinA=时，求AF的长．
【分析】（1）连接OE，BE，因为DE=EF，所以，从而易证OEB=∠DBE，所以OEBC，从可证明BCAC；
（2）设O的半径为r，则AO=5﹣r，在RtAOE中，sinA===，从而可求出r的值．
【解答】解：（1）连接OE，BE，
DE=EF，
∴∠OBE=∠DBE
∵OE=OB，
OEB=∠OBE
∴∠OEB=∠DBE，
OE∥BC
∵⊙O与边AC相切于点E，
OE⊥AC
∴BC⊥AC
∴∠C=90°
（2）在ABC，C=90°，BC=3，sinA=
AB=5，
设O的半径为r，则AO=5﹣r，
在RtAOE中，sinA===
r=
∴AF=5﹣2=
34．（2018?绵阳）如图，AB是O的直径，点D在O上（点D不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于点C，过点D作O的切线DE交BC于点E．
（1）求证：BE=CE；
（2）若DEAB，求sinACO的值．
【分析】（1）证明：连接OD，如图，利用切线长定理得到EB=ED，利用切线的性质得ODDE，ABCB，再根据等角的余角相等得到CDE=∠ACB，则EC=ED，从而得到BE=CE；
（2）作OHAD于H，如图，设O的半径为r，先证明四边形OBED为正方形得DE=CE=r，再利用AOD和CDE都为等腰直角三角形得到OH=DH=r，CD=r，
接着根据勾股定理计算出OC=r，然后根据正弦的定义求解．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
EB、ED为O的切线，
EB=ED，ODDE，ABCB，
ADO+∠CDE=90°，A+∠ACB=90°，
OA=OD，
A=∠ADO，
CDE=∠ACB，
EC=ED，
BE=CE；
（2）解：作OHAD于H，如图，设O的半径为r，
DE∥AB，
DOB=∠DEB=90°，
四边形OBED为矩形，
而OB=OD，
四边形OBED为正方形，
DE=CE=r，
易得AOD和CDE都为等腰直角三角形，
OH=DH=r，CD=r，
在RtOCB中，OC==r，
在RtOCH中，sinOCH===，
即sinACO的值为．
35．（2018?德州）如图，AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是的中点．
（1）求证：ADCD；
（2）若CAD=30°，O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE﹣EC﹣爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（π3.14，≈1.73，结果保留一位小数）．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OCCD，证明OCAD，根据平行线的性质证明；
（2）根据圆周角定理得到COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
直线CD与O相切，
OC⊥CD，
点C是的中点，
DAC=∠EAC，
OA=OC，
OCA=∠EAC，
DAC=∠OCA，
OC∥AD，
AD⊥CD；
（2）解：CAD=30°，
CAE=∠CAD=30°，
由圆周角定理得，COE=60°，
OE=2OC=6，EC=OC=3，==π，
蚂蚁爬过的路程=33+π≈11.3．
36．（2018?北京）如图，AB是O的直径，过O外一点P作O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．
（1）求证：OPCD；
（2）连接AD，BC，若DAB=50°，CBA=70°，OA=2，求OP的长．
【分析】（1）先判断出RtODP≌Rt△OCP，得出DOP=∠COP，即可得出结论；
（2）先求出COD=60°，得出OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．
【解答】解：（1）连接OC，OD，
OC=OD，
PD，PC是O的切线，
ODP=∠OCP=90°，
在RtODP和RtOCP中，，
Rt△ODP≌Rt△OCP，
DOP=∠COP，
OD=OC，
OP⊥CD；
（2）如图，连接OD，OC，
OA=OD=OC=OB=2，
ADO=∠DAO=50°，BCO=∠CBO=70°，
AOD=80°，BOC=40°，
COD=60°，
OD=OC，
COD是等边三角形，
由（1）知，DOP=∠COP=30°，
在RtODP中，OP==．
37．（2018?铜仁市）如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．
（1）求证：DFAC；
（2）求tanE的值．
【分析】（1）连接OC，CD，根据圆周角定理得BDC=90°，由等腰三角形三线合一的性质得：D为AB的中点，所以OD是中位线，由三角形中位线性质得：ODAC，根据切线的性质可得结论；
（2）如图，连接BG，先证明EFBG，则CBG=∠E，求CBG的正切即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，CD，
BC是O的直径，
BDC=90°，
CD⊥AB，
AC=BC，
AD=BD，
OB=OC，
OD是ABC的中位线
OD∥AC，
DF为O的切线，
OD⊥DF，
DF⊥AC；
（2）解：如图，连接BG，
BC是O的直径，
BGC=90°，
EFC=90°=∠BGC，
EF∥BG，
CBG=∠E，
RtBDC中，BD=3，BC=5，
CD=4，
SABC=，
64=5BG，
BG=，
由勾股定理得：CG==，
tan∠CBG=tan∠E===．
38．（2018?昆明）如图，AB是O的直径，ED切O于点C，AD交O于点F，AC平分BAD，连接BF．
（1）求证：ADED；
（2）若CD=4，AF=2，求O的半径．
【分析】（1）连接OC，如图，先证明OCAD，然后利用切线的性质得OCDE，从而得到ADED；
（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到O的半径．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
AC平分BAD，
1=∠2，
OA=OC，
1=∠3，
2=∠3，
OC∥AD，
ED切O于点C，
OC⊥DE，
AD⊥ED；
（2）解：OC交BF于H，如图，
AB为直径，
AFB=90°，
易得四边形CDFH为矩形，
FH=CD=4，CHF=90°，
OH⊥BF，
BH=FH=4，
BF=8，
在RtABF中，AB===2，
O的半径为．
39．（2018?陕西）如图，在RtABC中，ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作O，分别与AC、BC交于点M、N．
（1）过点N作O的切线NE与AB相交于点E，求证：NEAB；
（2）连接MD，求证：MD=NB．
【分析】（1）连接ON，如图，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=DB，则1=∠B，再证明2=∠B得到ONDB，接着根据切线的性质得到ONNE，然后利用平行线的性质得到结论；
（2）连接DN，如图，根据圆周角定理得到CMD=∠CND=90°，则可判断四边形CMDN为矩形，所以DM=CN，然后证明CN=BN，从而得到MD=NB．
【解答】证明：（1）连接ON，如图，
CD为斜边AB上的中线，
CD=AD=DB，
1=∠B，
OC=ON，
1=∠2，
2=∠B，
ON∥DB，
NE为切线，
ON⊥NE，
NE⊥AB；
（2）连接DN，如图，
AD为直径，
CMD=∠CND=90°，
而MCB=90°，
四边形CMDN为矩形，
DM=CN，
DN⊥BC，1=∠B，
CN=BN，
MD=NB．
40．（2018?曲靖）如图，AB为O的直径，点C为O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作MPB=∠ADC．
（1）判断PM与O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC=，求四边形OCDB的面积．
【分析】（1）连接DO并延长交PM于E，如图，利用折叠的性质得OC=DC，BO=BD，则可判断四边形OBDC为菱形，所以ODBC，OCD和OBD都是等边三角形，从而计算出COP=∠EOP=60°，接着证明PMBC得到OEPM，所以OE=OP，根据切线的性质得到OCPC，则OC=OP，从而可判定PM是O的切线；
（2）先在RtOPC中计算出OC=1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边形OCDB的面积．
【解答】解：（1）PM与O相切．
理由如下：
连接DO并延长交PM于E，如图，
弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，
OC=DC，BO=BD，
OC=DC=BO=BD，
四边形OBDC为菱形，
OD⊥BC，
OCD和OBD都是等边三角形，
COD=∠BOD=60°，
COP=∠EOP=60°，
MPB=∠ADC，
而ADC=∠ABC，
ABC=∠MPB，
PM∥BC，
OE⊥PM，
OE=OP，
PC为O的切线，
OC⊥PC，
OC=OP，
OE=OC，
而OEPC，
PM是O的切线；
（2）在RtOPC中，OC=PC=×=1，
四边形OCDB的面积=2SOCD=2××12=．
41．（2018?邵阳）如图所示，AB是O的直径，点C为O上一点，过点B作BDCD，垂足为点D，连结BC．BC平分ABD．
求证：CD为O的切线．
【分析】先利用BC平分ABD得到OBC=∠DBC，再证明OCBD，从而得到OCCD，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】证明：BC平分ABD，
OBC=∠DBC，
OB=OC，
OBC=∠OCB，
OCB=∠DBC，
OC∥BD，
BD⊥CD，
OC⊥CD，
CD为O的切线．
42．（2018?黄石）如图，已知A、B、C、D、E是O上五点，O的直径BE=2，BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是O的切线．
【分析】（1）连接DB，如图，利用圆内接四边形的性质得DEB=60°，再根据圆周角定理得到BDE=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；
（2）连接EA，如图，根据圆周角定理得到BAE=90°，而A为的中点，则ABE=45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到BEP为等腰直角三角形，所以PEB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】（1）解：连接DB，如图，
BCD+∠DEB=180°，
DEB=180°﹣120°=60°，
BE为直径，
BDE=90°，
在RtBDE中，DE=BE=×2=，
BD=DE=×=3；
（2）证明：连接EA，如图，
BE为直径，
BAE=90°，
A为的中点，
ABE=45°，
BA=AP，
而EABA，
BEP为等腰直角三角形，
PEB=90°，
PE⊥BE，
直线PE是O的切线．
43．（2018?怀化）已知：如图，AB是O的直径，AB=4，点F，C是O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分FAB，BOC=60°，过点C作CDAF交AF的延长线于点D，垂足为点D．
（1）求扇形OBC的面积（结果保留）；
（2）求证：CD是O的切线．
【分析】（1）由扇形的面积公式即可求出答案．
（2）易证FAC=∠ACO，从而可知ADOC，由于CDAF，所以CDOC，所以CD是O的切线．
【解答】解：（1）AB=4，
OB=2
∵∠COB=60°，
S扇形OBC==
（2）AC平分FAB，
FAC=∠CAO，
AO=CO，
ACO=∠CAO
∴∠FAC=∠ACO
∴AD∥OC，
CD⊥AF，
CD⊥OC
∵C在圆上，
CD是O的切线
44．（2018?新疆）如图，PA与O相切于点A，过点A作ABOP，垂足为C，交O于点B．连接PB，AO，并延长AO交O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是O的切线；
（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．
【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OBB，证明OBPE即可．
（2）要求sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题
【解答】（1）证明：连接OBPO⊥AB，
AC=BC，
PA=PB
在PAO和PBO中
PAO和PBO
∴∠OBP=∠OAP=90°
∴PB是O的切线．
（2）连接BD，则BDPO，且BD=2OC=6
在RtACO中，OC=3，AC=4
AO=5
在RtACO与RtPAO中，
APO=∠APO，
PAO=∠ACO=90°
∴△ACO～△PAO
=
∴PO=，PA=
PB=PA=
在EPO与EBD中，
BDPO
∴△EPO∽△EBD
∴=，
解得EB=，
PE=，
sinE==
45．（2018?安顺）如图，在ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．
（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；
（2）若cosABC=，AB=12，求半圆O所在圆的半径．
【分析】（1）先判断出CAO=∠BAO，进而判断出OD=OE，即可得出结论；
（2）先求出OB，再用勾股定理求出OA，最后用三角形的面积即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，作OEAB于E，连接OD，OA，
AB=AC，点O是BC的中点，
CAO=∠BAO，
AC与半圆O相切于D，
OD⊥AC，
OE⊥AB，
OD=OE，
AB径半圆O的半径的外端点，
AB是半圆O所在圆的切线；
（2）AB=AC，O是BC的中点，
AO⊥BC，
在RtAOB中，OB=AB?cosABC=12×=8，
根据勾股定理得，OA==4，
由三角形的面积得，SAOB=AB?OE=OB?OA，
OE==，
即：半圆O所在圆的半径为．
46．（2018?衡阳）如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，BAC的平分线交O于点D，过点D作DEAC分别交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：EF是O的切线；
（2）若AC=4，CE=2，求的长度．（结果保留π）
【分析】（1）连接OD，由OA=OD知OAD=∠ODA，由AD平分EAF知DAE=∠DAO，据此可得DAE=∠ADO，继而知ODAE，根据AEEF即可得证；
（2）作OGAE，知AG=CG=AC=2，证四边形ODEG是矩形得OA=OB=OD=CGCE=4，再证ADE∽△ABD得AD2=48，据此得出BD的长及BAD的度数，利用弧长公式可得答案．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
OA=OD，
OAD=∠ODA，
AD平分EAF，
DAE=∠DAO，
DAE=∠ADO，
OD∥AE，
AE⊥EF，
OD⊥EF，
EF是O的切线；
（2）如图，作OGAE于点G，连接BD，
则AG=CG=AC=2，OGE=∠E=∠ODE=90°，
四边形ODEG是矩形，
OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4，DOG=90°，
DAE=∠BAD，AED=∠ADB=90°，
ADE∽△ABD，
=，即=，
AD2=48，
在RtABD中，BD==4，
在RtABD中，AB=2BD，
BAD=30°，
BOD=60°，
则的长度为=．
47．（2018?孝感）如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DFAC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：DF是O的切线；
（2）已知BD=2，CF=2，求AE和BG的长．
【分析】（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得ADBC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB知ODAC，从而由DGAC可得ODFG，即可得证；
（2）连接BE．BEGF，推出AEB∽△AFG，可得=，由此构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）连接OD，AD，
AB为O的直径，
ADB=90°，即ADBC，
AB=AC，
BD=CD，
又OA=OB，
OD∥AC，
DG⊥AC，
OD⊥FG，
直线FG与O相切；
（2）连接BE．BD=2，
，
CF=2，
DF==4，
BE=2DF=8，
cos∠C=cos∠ABC，
=，
=，
AB=10，
AE==6，
BE⊥AC，DFAC，
BE∥GF，
AEB∽△AFG，
=，
=，
BG=．
48．（2018?江西）如图，在ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C，过点A作ADBO交BO的廷长线于点D，且AOD=∠BAD．
（1）求证：AB为O的切线；
（2）若BC=6，tanABC=，求AD的长．
【分析】（1）作OEAB，先由AOD=∠BAD求得ABD=∠OAD，再由BOC=∠D=90°及BOC=∠AOD求得OBC=∠OAD=∠ABD，最后证BOC≌△BOE得OE=OC，依据切线的判定可得；
（2）先求得EOA=∠ABC，在RtABC中求得AC=8、AB=10，由切线长定理知BE=BC=6、AE=4、OE=3，继而得BO=3，再证ABD∽△OBC得=，据此可得答案．
【解答】解：（1）过点O作OEAB于点E，
AD⊥BO于点D，
D=90°，
BAD+∠ABD=90°，AOD+∠OAD=90°，
AOD=∠BAD，
ABD=∠OAD，
又BC为O的切线，
AC⊥BC，
BOC=∠D=90°，
BOC=∠AOD，
OBC=∠OAD=∠ABD，
在BOC和BOE中，
，
BOC≌△BOE（AAS），
OE=OC，
OE⊥AB，
AB是O的切线；
（2）ABC+∠BAC=90°，EOA+∠BAC=90°，
EOA=∠ABC，
tan∠ABC=、BC=6，
AC=BC?tan∠ABC=8，
则AB=10，
由（1）知BE=BC=6，
AE=4，
tan∠EOA=tan∠ABC=，
=，
OE=3，OB==3，
ABD=∠OBC，D=∠ACB=90°，
ABD∽△OBC，
=，即=，
AD=2．
49．（2018?金华）如图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知CAD=∠B．
（1）求证：AD是O的切线．
（2）若BC=8，tanB=，求O的半径．
【分析】（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到1=∠3，求出4为90°，即可得证；
（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】（1）证明：连接OD，
OB=OD，
3=∠B，
B=∠1，
1=∠3，
在RtACD中，1+∠2=90°，
4=180°﹣（2+∠3）=90°，
OD⊥AD，
则AD为圆O的切线；
（2）设圆O的半径为r，
在RtABC中，AC=BCtanB=4，
根据勾股定理得：AB==4，
OA=4﹣r，
在RtACD中，tan1=tanB=，
CD=ACtan∠1=2，
根据勾股定理得：AD2=AC2CD2=16+4=20，
在RtADO中，OA2=OD2AD2，即（4﹣r）2=r220，
解得：r=．
50．（2018?南充）如图，C是O上一点，点P在直径AB的延长线上，O的半径为3，PB=2，PC=4．
（1）求证：PC是O的切线．
（2）求tanCAB的值．
【分析】（1）可以证明OC2PC2=OP2得OCP是直角三角形，即OCPC，PC是O的切线
（2））AB是直径，得ACB=90°，通过角的关系可以证明PBC∽△PCA，进而，得出tanCAB=．
【解答】解：（1）如图，连接OC、BC
O的半径为3，PB=2
OC=OB=3，OP=OBPB=5
∵PC=4
∴OC2+PC2=OP2
∴△OCP是直角三角形，
OC⊥PC
∴PC是O的切线．
（2）AB是直径
ACB=90°
∴∠ACO+∠OCB=90°
∵OC⊥PC
∴∠BCP+∠OCB=90°
∴∠BCP=∠ACO
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∴∠A=∠BCP
在PBC和PCA中：
BCP=∠A，P=∠P
∴△PBC∽△PCA，
∴tan∠CAB=
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