2018中考数学试题分类汇编：考点37锐角三角函数和解直角三角形
一．选择题（共15小题）
1．（2018?柳州）如图，在RtABC中，C=90°，BC=4，AC=3，则sinB==（）
A． B． C． D．
【分析】首先利用勾股定理计算出AB长，再计算sinB即可．
【解答】解：C=90°，BC=4，AC=3，
AB=5，
sinB==，
故选：A．
2．（2018?孝感）如图，在RtABC中，C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（）
A． B． C． D．
【分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．
【解答】解：在RtABC中，AB=10、AC=8，
BC===6，
sinA===，
故选：A．
3．（2018?大庆）2cos60°=（）
A．1 B． C． D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．
【解答】解：2cos60°=2=1．
故选：A．
4．（2018?天津）cos30°的值等于（）
A． B． C．1 D．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解答】解：cos30°=．
故选：B．
5．（2018?贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tanBAC的值为（）
A． B．1 C． D．
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
【解答】解：连接BC，
由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2BC2=AC2，
ABC为等腰直角三角形，
BAC=45°，
则tanBAC=1，
故选：B．
6．（2018?金华）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得ABC=α，ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）
A． B． C． D．
【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；
【解答】解：在RtABC中，AB=，
在RtACD中，AD=，
AB：AD=：=，
故选：B．
7．（2018?宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，PCA=35°，则小河宽PA等于（）
A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米
【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．
【解答】解：PA⊥PB，PC=100米，PCA=35°，
小河宽PA=PCtanPCA=100tan35°米．
故选：C．
8．（2018?威海）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（）
A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．小球落地点距O点水平距离为7米
D．斜坡的坡度为1：2
【分析】求出当y=7.5时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D．
【解答】解：当y=7.5时，7.5=4x﹣x2，
整理得x2﹣8x15=0，
解得，x1=3，x2=5，
当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5侧面cm，A错误，符合题意；
y=4x﹣x2
=﹣（x﹣4）28，
则抛物线的对称轴为x=4，
当x4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意；
，
解得，，，
则小球落地点距O点水平距离为7米，C正确，不符合题意；
斜坡可以用一次函数y=x刻画，
斜坡的坡度为1：2，D正确，不符合题意；
故选：A．
9．（2018?淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）
A． B． C． D．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．
【解答】解：sinA===0.15，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
10．（2018?重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58°0.85，cos58°0.53，tan58°1.6）
A．12.6米 B．13.1米 C．14.7米 D．16.3米
【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJDM于J．则四边形BMJC是矩形．在RtCDJ中求出CJ、DJ，再根据，tanAEM=构建方程即可解决问题；
【解答】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJDM于J．则四边形BMJC是矩形．
在RtCJD中，==，设CJ=4k，DJ=3k，
则有9k216k2=4，
k=，
BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJDJ+DE=，
在RtAEM中，tanAEM=，
1.6=，
解得AB13.1（米），
故选：B．
11．（2018?重庆）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°0.41，cos24°0.91，tan24°=0.45）（）
A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米
【分析】作BMED交ED的延长线于M，CNDM于N．首先解直角三角形RtCDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题；
【解答】解：作BMED交ED的延长线于M，CNDM于N．
在RtCDN中，==，设CN=4k，DN=3k，
CD=10，
（3k）2（4k）2=100，
k=2，
CN=8，DN=6，
四边形BMNC是矩形，
BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MNDN+DE=66，
在RtAEM中，tan24°=，
0.45=，
AB=21.7（米），
故选：A．
12．（2018?长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）
A．800sinα米 B．800tanα米 C．米 D．米
【分析】在RtABC中，CAB=90°，B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；
【解答】解：在RtABC中，CAB=90°，B=α，AC=800米，
tanα=，
AB==．
故选：D．
13．（2018?香坊区）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（）
A．160米 B．（60160） C．160米 D．360米
【分析】首先过点A作ADBC于点D，根据题意得BAD=30°，CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．
【解答】解：过点A作ADBC于点D，则BAD=30°，CAD=60°，AD=120m，
在RtABD中，BD=AD?tan30°=120=40（m），
在RtACD中，CD=AD?tan60°=120=120（m），
BC=BD+CD=160（m）．
故选：C．
14．（2018?绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）
A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里
【分析】根据题意画出图形，结合图形知BAC=30°、ACB=15°，作BDAC于点D，以点B为顶点、BC为边，在ABC内部作CBE=∠ACB=15°，设BD=x，则AB=BE=CE=2x、AD=DE=x，据此得出AC=2x2x，根据题意列出方程，求解可得．
【解答】解：如图所示，
由题意知，BAC=30°、ACB=15°，
作BDAC于点D，以点B为顶点、BC为边，在ABC内部作CBE=∠ACB=15°，
则BED=30°，BE=CE，
设BD=x，
则AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，
AC=AD+DE+CE=2x+2x，
AC=30，
2x+2x=30，
解得：x=≈5.49，
故选：B．
15．（2018?苏州）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）
A．40海里 B．60海里 C．20海里 D．40海里
【分析】首先证明PB=BC，推出C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题；
【解答】解：在RtPAB中，APB=30°，
PB=2AB，
由题意BC=2AB，
PB=BC，
C=∠CPB，
ABP=∠C+∠CPB=60°，
C=30°，
PC=2PA，
PA=AB?tan60°，
PC=2×20×=40（海里），
故选：D．
二．填空题（共17小题）
16．（2018?北京）如图所示的网格是正方形网格，BACDAE．（填“”，“=”或“”）
【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN=，再分别求BAC、DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．
【解答】解：连接NH，BC，过N作NPAD于P，
SANH=2×2﹣﹣×1×1=AH?NP，
=PN，
PN=，
RtANP中，sinNAP====0.6，
RtABC中，sinBAC===＞0.6，
正弦值随着角度的增大而增大，
BAC＞∠DAE，
故答案为：．
17．（2018?滨州）在ABC中，C=90°，若tanA=，则sinB=．
【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：如图所示：
C=90°，tanA=，
设BC=x，则AC=2x，故AB=x，
则sinB===．
故答案为：．
18．（2018?泰安）如图，在ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DEBC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为S=x2．
【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出BED的面积即可解决问题．
【解答】解：（1）在RtCDE中，tanC=，CD=x
DE=x，CE=x，
BE=10﹣x，
S△BED=×（10﹣x）?x=﹣x23x．
DF=BF，
S=S△BED=x2，
故答案为S=x2．
19．（2018?无锡）已知ABC中，AB=10，AC=2，B=30°，则ABC的面积等于15或10．
【分析】作ADBC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在RtABD中求得AD、BD的值，再在RtACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．
【解答】解：作ADBC交BC（或BC延长线）于点D，
如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在RtABD中，B=30°，AB=10，
AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，
在RtACD中，AC=2，
CD===，
则BC=BDCD=6，
S△ABC=?BC?AD=×6×5=15；
如图2，当AB、AC在AD的同侧时，
由知，BD=5，CD=，
则BC=BD﹣CD=4，
S△ABC=?BC?AD=×4×5=10．
综上，ABC的面积是15或10，
故答案为15或10．
20．（2018?香坊区）如图，在ABC中，AB=AC，tanACB=2，D在ABC内部，且AD=CD，ADC=90°，连接BD，若BCD的面积为10，则AD的长为5．
【分析】作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM=a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明ADG≌△CDH（AAS），可得DG=DH=MG=，AG=CH=a，根据AM=AGMG，列方程可得结论．
【解答】解：过D作DHBC于H，过A作AMBC于M，过D作DGAM于G，
设CM=a，
AB=AC，
BC=2CM=2a，
tan∠ACB=2，
=2，
AM=2a，
由勾股定理得：AC=a，
SBDC=BC?DH=10，
=10，
DH=，
DHM=∠HMG=∠MGD=90°，
四边形DHMG为矩形，
HDG=90°=∠HDC+∠CDG，DG=HM，DH=MG，
ADC=90°=∠ADG+∠CDG，
ADG=∠CDH，
在ADG和CDH中，
，
ADG≌△CDH（AAS），
DG=DH=MG=，AG=CH=a，
AM=AG+MG，
即2a=a++，
a2=20，
在Rt△ADC中，AD2CD2=AC2，
AD=CD，
2AD2=5a2=100，
AD=5或﹣5（舍），
故答案为：5．．
21．（2018?眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tanAOD=2．
【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在RtOBF中，即可求得tanBOF的值，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接BE，
四边形BCEK是正方形，
KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BECK，
BF=CF，
根据题意得：ACBK，
ACO∽△BKO，
KO：CO=BK：AC=1：3，
KO：KF=1：2，
KO=OF=CF=BF，
在RtPBF中，tanBOF==2，
AOD=∠BOF，
tan∠AOD=2．
故答案为：2
22．（2018?德州）如图，在44的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点都在格点上，则BAC的正弦值是．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：AB2=32+42=25、AC2=2242=20、BC2=1222=5，
AC2+BC2=AB2，
ABC为直角三角形，且ACB=90°，
则sinBAC==，
故答案为：．
23．（2018?齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，ABC=90°，tanABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=17．
【分析】作AHBD于H，CGBD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：作AHBD于H，CGBD于G，
tan∠ABD=，
=，
设AH=3x，则BH=4x，
由勾股定理得，（3x）2（4x）2=202，
解得，x=4，
则AH=12，BH=16，
在RtAHD中，HD==5，
BD=BH+HD=21，
ABD+∠CBD=90°，BCH+∠CBD=90°，
ABD=∠CBH，
=，又BC=10，
BG=6，CG=8，
DG=BD﹣BG=15，
CD==17，
故答案为：17．
24．（2018?广州）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=．
【分析】根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：旗杆高AB=8m，旗杆影子长BC=16m，
tanC=，
故答案为：
25．（2018?枣庄）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为6.2米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．
【解答】解：在RtABC中，
ACB=90°，
BC=AB?sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
故答案为：6.2．
26．（2018?广西）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是40m（结果保留根号）
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：由题意可得：BDA=45°，
则AB=AD=120m，
又CAD=30°，
在RtADC中，
tanCDA=tan30°==，
解得：CD=40（m），
故答案为：40．
27．（2018?宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为1200（﹣1）米（结果保留根号）．
【分析】在RtACH和RtHCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．
【解答】解：由于CDHB，
CAH=∠ACD=45°，B=∠BCD=30°
在RtACH中，CAH=45°
∴AH=CH=1200米，
在RtHCB，tan∠B=
∴HB==
==1200（米）．
AB=HB﹣HA
=1200﹣1200
=1200（﹣1）米
故答案为：1200（﹣1）
28．（2018?黄石）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是100（1）米．（结果保留根号）
【分析】如图，利用平行线的性质得A=60°，B=45°，在RtACD中利用正切定义可计算出AD=100，在RtBCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算ADBD即可．
【解答】解：如图，
无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，
A=60°，B=45°，
在RtACD中，tanA=，
AD==100，
在RtBCD中，BD=CD=100，
AB=AD+BD=100+100=100（1）．
答：A、B两点间的距离为100（1）米．
故答案为100（1）．
29．（2018?咸宁）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为300m（结果保留整数，≈1.73）．
【分析】在RtABD中，根据正切函数求得BD=AD?tanBAD，在RtACD中，求得CD=AD?tanCAD，再根据BC=BDCD，代入数据计算即可．
【解答】解：如图，在RtABD中，AD=90，BAD=45°，
BD=AD=110（m），
在RtACD中，CAD=60°，
CD=AD?tan60°=110×=190（m），
BC=BD+CD=110+190=300（m）
答：该建筑物的高度BC约为300米．
故答案为300．
30．（2018?天门）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1）nmile处，则海岛A，C之间的距离为18nmile．
【分析】作ADBC于D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD、CD，根据题意列式计算即可．
【解答】解：作ADBC于D，
设AC=x海里，
在RtACD中，AD=ACsin∠ACD=x，
则CD=x，
在RtABD中，BD=x，
则xx=18（1），解得，x=18，
答：A，C之间的距离为18海里．
故答案为：18
31．（2018?潍坊）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．（结果保留根号）
【分析】如图，过点P作PQAB交AB延长线于点Q，过点M作MNAB交AB延长线于点N，通过解直角AQP、直角BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角BMN求得BM的长度，则易得所需时间．
【解答】解：如图，过点P作PQAB交AB延长线于点Q，过点M作MNAB交AB延长线于点N，
在直角AQP中，PAQ=45°，则AQ=PQ=601.5+BQ=90+BQ（海里），
所以BQ=PQ﹣90．
在直角BPQ中，BPQ=30°，则BQ=PQ?tan30°=PQ（海里），
所以PQ﹣90=PQ，
所以PQ=45（3）（海里）
所以MN=PQ=45（3）（海里）
在直角BMN中，MBN=30°，
所以BM=2MN=90（3）（海里）
所以=（小时）
故答案是：．
32．（2018?济宁）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是km．
【分析】首先由题意可证得：ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在RtCBD中，CD=BC?sin60°，求得答案．
【解答】解：过点C作CDAB于点D，
根据题意得：CAD=90°﹣60°=30°，CBD=90°﹣30°=60°，
ACB=∠CBD﹣CAD=30°，
CAB=∠ACB，
BC=AB=2km，
在RtCBD中，CD=BC?sin60°=2=（km）．
故答案为：．
三．解答题（共18小题）
33．（2018?贵阳）如图，在RtABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
sinA=，sinB=
c=，c=
=
根据你掌握的三角函数知识．在图的锐角ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．
【分析】三式相等，理由为：过A作ADBC，BEAC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证．
【解答】解：==，理由为：
过A作ADBC，BEAC，
在RtABD中，sinB=，即AD=csinB，
在RtADC中，sinC=，即AD=bsinC，
csinB=bsinC，即=，
同理可得=，
则==．
34．（2018?上海）如图，已知ABC中，AB=BC=5，tanABC=．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
【分析】（1）过A作AEBC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．
【解答】解：（1）作A作AEBC，
在RtABE中，tanABC==，AB=5，
AE=3，BE=4，
CE=BC﹣BE=5﹣4=1，
在RtAEC中，根据勾股定理得：AC==；
（2）DF垂直平分BC，
BD=CD，BF=CF=，
tan∠DBF==，
DF=，
在RtBFD中，根据勾股定理得：BD==，
AD=5﹣=，
则=．
35．（2018?自贡）如图，在ABC中，BC=12，tanA=，B=30°；求AC和AB的长．
【分析】如图作CHAB于H．在Rt求出CH、BH，这种RtACH中求出AH、AC即可解决问题；
【解答】解：如图作CHAB于H．
在RtBCH中，BC=12，B=30°，
CH=BC=6，BH==6，
在RtACH中，tanA==，
AH=8，
AC==10，
AB=AH+BH=8+6．
36．（2018?烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PCl，垂足为点C．测得PC=30米，APC=71°，BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°0.57，cos35°0.82，tan35°0.70，sin71°0.95，cos71°0.33，tan71°2.90）
【分析】先求得AC=PCtanAPC=87、BC=PCtanBPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．
【解答】解：在RtAPC中，AC=PCtanAPC=30tan71°≈30×2.90=87，
在RtBPC中，BC=PCtanBPC=30tan35°≈30×0.70=21，
则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，
该汽车的实际速度为=11m/s，
又40km/h≈11.1m/s，
该车没有超速．
37．（2018?绍兴）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm．
（1）窗扇完全打开，张角CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角DFB的度数；
（2）窗扇部分打开，张角CAB=60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．
（参考数据：≈1.732，≈2.449）
【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质可以解答本题；
（2）根据锐角三角函数和题意可以求得AB的长，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，
四边形ACDE是平行四边形，
AC∥DE，
DFB=∠CAB，
CAB=85°，
DFB=85°；
（2）作CGAB于点G，
AC=20，CGA=90°，CAB=60°，
CG=，AG=10，
BD=40，CD=10，
CB=30，
BG==，
AB=AG+BG=10+10≈10+10×2.449=34.49≈34.5cm，
即A、B之间的距离为34.5cm．
38．（2018?临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，A=30°，C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？
【分析】过B作BDAC于D，解直角三角形求出AD=xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：
工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门，
理由是：过B作BDAC于D，
AB＞BD，BCBD，ACAB，
求出DB长和2.1m比较即可，
设BD=xm，
A=30°，C=45°，
DC=BD=xm，AD=BD=xm，
AC=2（+1）m，
x+x=2（+1），
x=2，
即BD=2m2.1m，
工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门．
39．（2018?长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，A=45°，B=30°．
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈141，≈1.73）
【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；
（2）在直角CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．
【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，
CD=BC?sin30°=80×（千米），
AC=（千米），
ACBC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），
答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；
（2）cos30°=，BC=80（千米），
BD=BC?cos30°=80×（千米），
tan45°=，CD=40（千米），
AD=（千米），
AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），
汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：ACBC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．
答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．
40．（2018?白银）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：CAB=30°，CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）
【分析】过点C作CDAB于点D，利用锐角三角函数的定义求出CD及AD的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点C作CDAB于点D，
在RtADC和RtBCD中，
CAB=30°，CBA=45°，AC=640，
CD=320，AD=320，
BD=CD=320，BC=320，
AC+BC=640+320≈1088，
AB=AD+BD=320+320≈864，
1088﹣864=224（公里），
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．
41．（2018?随州）随州市新?水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知ABC=∠DEB=45°，ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．
（1）求最短的斜拉索DE的长；
（2）求最长的斜拉索AC的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长；
（2）作AHBC于H，如图2，由于BD=DE=3，则AB=3BD=15，在RtABH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在RtACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长．
【解答】解：（1）ABC=∠DEB=45°，
BDE为等腰直角三角形，
DE=BE=×6=3．
答：最短的斜拉索DE的长为3m；
（2）作AHBC于H，如图2，
BD=DE=3，
AB=3BD=5×3=15，
在RtABH中，B=45°，
BH=AH=AB=×15=15，
在RtACH中，C=30°，
AC=2AH=30．
答：最长的斜拉索AC的长为30m．
42．（2018?遵义）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°0.90，cos64°0.44，tan64°2.05）
（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为11.4m．
（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）
【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；
（2）过点D作DH地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．
【解答】解：（1）在RtABC中，
BAC=64°，AC=5m，
AB=（m）；
故答案为：11.4；
（2）过点D作DH地面于H，交水平线于点E，
在RtADE中，
AD=20m，DAE=64°，EH=1.5m，
DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），
即DH=DEEH=18+1.5=19.5（m），
答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．
43．（2018?资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．
（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；
（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．
【分析】（1）在RtACD中，由AD=可得答案；
（2）设AF=x米，则BF=ABAF=9+x，在RtBEF中求得AD=BE==18x，由cosCAD=可建立关于x的方程，解之求得x的值，即可得出AD的长，继而根据CD=ADsinCAD求得CD从而得出答案．
【解答】解：（1）在RtACD中，cosCAD=，AC=18、CAD=30°，
AD====12（米），
答：此时风筝线AD的长度为12米；
（2）设AF=x米，则BF=ABAF=9+x（米），
在RtBEF中，BE===18x（米），
由题意知AD=BE=18x（米），
CF=10，
AC=AF+CF=10+x，
由cosCAD=可得=，
解得：x=3+2，
则AD=18（3+2）=243，
CD=ADsin∠CAD=（243）=，
则C1D=CDC1C=+=，
答：风筝原来的高度C1D为米．
44．（2018?山西）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．
项目 内容 课题 测量斜拉索顶端到桥面的距离 测量示意图 说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内． 测量数据 A的度数 B的度数 AB的长度 38° 28° 234米 … … （1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°0.6，cos38°0.8，tan38°0.8，sin28°0.5，cos28°0.9，tan28°0.5）
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．
【分析】（1）过点C作CDAB于点D．解直角三角形求出DC即可；
（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等
【解答】解：（1）过点C作CDAB于点D．
设CD=x米，在RtADC中，ADC=90°，A=38°．
，．
在RtBDC中，BDC=90°，B=28°．
，．
AD+BD=AB=234，．
解得x=72．
答：斜拉索顶端点C到AB的距离为72米．
（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一）
45．（2018?常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°0.6，cos37°0.8，≈1.4）
【分析】作BEAD于点E，作CFAD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在RtABE、RtCDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在RtMEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．
【解答】解：作BEAD于点E，作CFAD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．
AB=CD，ABCD=AD=2，
AB=CD=1．
在RtABE中，AB=1，A=37°，
BE=AB?sin∠A≈0.6，AE=AB?cosA≈0.8．
在RtCDF中，CD=1，D=45°，
CF=CD?sin∠D≈0.7，DF=CD?cosD≈0.7．
BE⊥AD，CFAD，
BE∥CM，
又BE=CM，
四边形BEMC为平行四边形，
BC=EM，CM=BE．
在RtMEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CFCM=1.3，
EM=≈1.4，
B与C之间的距离约为1.4米．
46．（2018?台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°0.47，cos28°0.88，tan28°0.53）
【分析】作CEBD于F，AFCE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，HAF=90°，再计算出CAF=28°，则在RtACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CFEF即可．
【解答】解：作CEBD于F，AFCE于F，如图2，
易得四边形AHEF为矩形，
EF=AH=3.4m，HAF=90°，
CAF=∠CAH﹣HAF=118°﹣90°=28°，
在RtACF中，sin∠CAF=，
CF=9sin28°=9×0.47=4.23，
CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），
答：操作平台C离地面的高度为7.6m．
47．（2018?岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），AOM=60°．
（1）求点M到地面的距离；
（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）
【分析】（1）构建直角OMN，求ON的长，相加可得BN的长，即点M到地面的距离；
（2）左边根据要求留0.65米的安全距离，即取CE=0.65，车宽EH=2.55，计算高GH的长即可，与3.5作比较，可得结论．
【解答】解：（1）如图，过M作MNAB于N，交BA的延长线于N，
RtOMN中，NOM=60°，OM=1.2，
M=30°，
ON=OM=0.6，
NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9；
即点M到地面的距离是3.9米；
（2）取CE=0.65，EH=2.55，
HB=3.9﹣2.55﹣0.65=0.7，
过H作GHBC，交OM于G，过O作OPGH于P，
GOP=30°，
tan30°==，
GP=OP=≈0.404，
GH=3.3+0.404=3.704≈3.70＞3.5，
货车能安全通过．
48．（2018?徐州）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：≈1.414，≈1.732
【分析】利用锐角三角函数，在RtCDE中计算出坝高DE及CE的长，通过矩形ADEF．利用等腰直角三角形的边角关系，求出BF的长，得到坝底的宽．
【解答】解：在RtCDE中，
sin∠C=，cosC=
∴DE=sin30°×DC=×14=7（m），
CE=cos30°DC=×14=7≈12.124≈12.12，
四边形AFED是矩形，
EF=AD=6m，AF=DE=7m
在RtABF中，
B=45°
∴DE=AF=7m，
BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1（m）
答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．
49．（2018?河南）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°0.991，cos82.4°0.132，tan82.4°7.500，sin80.3°0.983，cos80.3°0.168，tan80.3°5.850）
【分析】利用锐角三角函数，在RtACE和RtDBF中，分别求出AE、BF的长．计算出EF．通过矩形CEFH得到CH的长．
【解答】解：在RtACE中，
tan∠CAE=，
AE==≈≈21（cm）
在RtDBF中，
tan∠DBF=，
BF==≈=40（cm）
EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm）
CE⊥EF，CHDF，DFEF
∴四边形CEFH是矩形，
CH=EF=151cm
答：高、低杠间的水平距离CH的长为151cm．
50．（2018?嘉兴）如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，DPE=20°，当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2）．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．
（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）
（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°0.94，cos70°0.34，tan70°2.75，≈1.41，≈1.73）
【分析】（1）只要证明CFP1是等腰直角三角形，即可解决问题；
（2）解直角三角形求出CP2的长即可解决问题；
【解答】解：（1）如图2中，当P位于初始位置时，CP0=2m，
如图3中，上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，上调的距离为P0P1．
1=90°，CAB=90°，ABE=65°，
AP1E=115°，
CP1E=65°，
DP1E=20°，
CP1F=45°，
CF=P1F=1m，
C=∠CP1F=45°，
CP1F是等腰直角三角形，
P1C=m，
P0P1=CP0﹣P1C=2﹣≈0.6m，
即为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调0.6m．
（2）如图4中，中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P调到P2处．
P2E∥AB，
CP2E=∠CAB=90°，
DP2E=20°，
CP2F=70°，作FGAC于G，则CP2=2CG=1cos70°≈0.68m，
P1P2=CP1﹣CP2=﹣0.680.7m，
即点P在（1）的基础上还需上调0.7m．
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