第二讲直线的投影平面的投影几何元素间的平行问题复习：P.91-106(图3-14：侧面投影a’’与b’’颠倒)作业：P.7；P.9；P
.10：1(a,b,d,e)；P.11：1，2a；P.12：2，4(P.7:3.1-2(a)a应为a’)(P.8
：3a与a’颠倒)(P.12：4V面应为a’b’5CEF应为DEF)存在多解必须标出有几个解。下讲
内容：(P.106-117)几何元素间的相交问题几何元素间的垂直问题平面上的最大斜度线ABCEDFHHH§2.2
直线的投影一．直线在单一投影面上的投影?cea≡bdf直线垂直于投影面：直线在该投影面上的投影积聚为点直线平行于投影面：直线
在该投影面上的投影反映实长直线倾斜于投影面：直线在该投影面上的投影缩短二．直线在三投影面体系中的投影直线与投影面夹角的规定名称
相对于投影面名称HVW规定夹角的名称???1．投影面垂直线的投影在三投影面体系中，当直线垂直于某一个投影面时，则必同时平行于另
两个投影面，这样的直线称为投影面垂直线。共有三种投影面垂直线：直线⊥投影面V：正垂线直线⊥投影面H：铅垂线直线⊥投影
面W：侧垂线ZVYWXOWHYH以正垂线AB为例，讨论其投影特性：∵AB⊥V，∴AB∥H，AB∥W。a’≡
b’b”a”a''≡b''b”BbAa”baa①a’≡b’②ab=a”b”=AB=LAB投影特性：投影面
垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；另外两个投影反映实长，且垂直于相应的轴。③ab⊥OX,a”b”⊥OZ④?=
90°、?=?=0°2．投影面平行线的投影在三投影面体系中，当直线平行于某一个投影面，同时与另两个投影面倾斜，这样的直线
称为投影面平行线。共有三种投影面平行线：直线∥投影面V：正平线直线∥投影面H：水平线直线∥投影面W：侧平线ZVY
WXOWHYH以水平线CD为例，讨论其投影特性：CD∥H，与V、W倾斜。d”c”d’c’c''d''d”D?dC
c”?dcc投影特性：投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映实长，并反映与另外两个投影面的夹角实际大小；其它两个投影平行
于相应的轴，且缩短。①cd=CD=LCD②c’d’∥OX,c”d”∥OYW③c’d’”d”''??e’??Fe’f”e”e”Eff??ee投影特性：三个投影均与投影轴倾斜、投影缩短，与三个投影面的夹角都不
反映实际大小。V△ZEF△ZEFW....H△YEF△XEF三．线段的实长及其与投影面的夹角f’f''?‘e’Fe’
f”??FVFH?e”EFWff1fe?e直角三角形法：利用直线的一个已知投影和相对应的坐标差构建直角三角形，
斜边为实长，斜边与已知投影的夹角为线段与投影面的夹角。两条直线的夹角在投影中可变大也可变小吗？为什么?‘永远大于等于?？V
b’l’k’Wa’OXHblak四．属于直线的点同名投影（同面投影）：不同几何要素在同一投影面上的投影。几何条件：属于直
线上的点，其各个投影必在该直线的同名投影上，且将直线的各投影分割成和空间相同的比例。f''g’Fe’f”g”Ge”E
fgeZa’a’YWc''c''XOXOb’b’bbccYHaaa”c”b”b1kk1对于侧平线，有两种判断方法：
利用侧投影利用比例法。b’OXa’ba五．直线的迹点定义：直线与投影面的交点，称为该直线的迹点。迹点既在直线上（或延长线
上），又在投影面上。规定：直线与H面的交点—水平迹点（M）直线与V面的交点—正面迹点（N）直线与W面的交点—侧面迹点（
S）n’≡N分析：因为迹点是投影面上点，迹点的一个投影必在轴上！m’nm≡M??bd?c??aV?d?bX?Oc?aBabA
cDdCacbdH六．两直线的相对位置两直线的相对位置可分为三种情况：平行、相交(垂直）、交叉（异面）。⒈两直线平行几何条件：
空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。Za''d''d''b''b''c''c''c''a''a''b''d''OXOXYWX
OYHa”b”∥c”d”╲a”c”b”d”daacabb≡ccddba’b’∥c’d’,ab∥dc,平行平行不平
行注意：对一般位置直线，根据任意两对同名投影可判断是否平行。对某些投影面平行线，则要根据第三个同名投影。b?c?k?d?a?d
akbc⒉两直线相交b?c?Vk?a?d?BCDKAOXadkbcH几何条件：两相交直线各同名投影均相交，且交点符合点的投影规律
，即两直线只有一个公有点。c''c''b''b''d''d''a''a''OOXXk''k''bk1ccbk2ddkaa相交不相交两同名投影交
点不符合一点的投影规律。两同名投影交点符合一点的投影规律。c′′ba′d′dabc例：判断直线AB、CD的相对位置。相交吗？不相交
！为什么？交点不符合空间一个点的投影特性。判断方法？⒈应用定比定理⒉利用侧面投影′bV′′11′′3(4)′′3(4)●
c′′●d●●●′●2′ⅣⅠ2B′′ba●●●●AⅢD′cⅡC′da4′a●d4●●●OX3c1(2)●ba3Hdcb3.交叉●1
(2)投影特性：1.同名投影可能相交，但“交点”不符合一个点的投影规律。2.“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断
两直线的空间位置。PACPPPPBAAAADDCCCCa''a''a''a''a''c''c''c''c''BBBBc''b''b''b''b''b
''OOOOOXXXXXd''d''ddbbbbbcccccaaaaa§2.3平面的投影一.平面的表示方法1.几何元素表示不共线的三
点线及线外一点两平行线两相交直线平面图形VWZHXYWOYH2.迹线表示迹线：平面与投影面的交线。规定：平面P的正面、水平、
侧面迹线分别用PV、PH、PW表示。PZPZPWPVPVPXPYWPPWPXPHPHPYHPYPV与PH交OX轴于点PX(
P、H、V三面共点）3.无轴投影只强调形状、大小，不考虑其相对于投影面的位置。作图时，利用几何元素之间的相互位置关系。a”a’例：
完成△ABC的侧面投影。c”c''b’b”注意：几何元素间的方位关系几何元素间的度量关系bacP平面P二.平面的投影特性1.
平面在单一投影面上的投影特性平面//P平面?P积聚成直线类似图形反映实形类似性积聚性实形性2平面在三投影面体系中的投影特性投
影面平行面平行于某一个投影面的平面—投影面平行面。平面平行于V—正平面平面平行于H—水平面平面平行于W—侧
平面VVWWHHVWH//V//H正平面水平面//W侧平面ZXYWOYH例：a’a”c''c”b”b’abc投影面平行面
的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实形；在其它两个投影面上的投影平行于相应投影轴。VWZHXYWOYH投影面平行
面的实用迹线表示RWRRWRYHRHRYRH投影面垂直面垂直于某一个投影面、与另两个投影面倾斜的平面—投影面垂直面。平面
垂直于V—正垂面平面垂直于H—铅垂面平面垂直于W—侧垂面VVWWHHVWH?V?H正垂面铅垂面?W侧垂面ZXYWOYH
例：a’a”c''c”b”b’cba投影面垂直面的投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，且与轴倾斜；在其它两个投影面上的投
影是实际空间图形的类似图形。VWZHXYWOYH投影面垂直面的实用迹线表示QVQWQQVQYWQXQHQWQXQYHQHQY
VWH一般位置平面与三个投影面均倾斜的平面——一般位置平面。ZXYWOYH例：完成△ABC的侧面投影。a”a’c''c”b
”b’bac一般位置面的投影特性：与三个投影面均倾斜，所以三个投影都具类似性。b''b''a''a''??20?d''c''bbaa2010
cdOOXX距H面20三.平面上的直线和点1.平面上的直线定理①：若直线通过属于平面的两个点，则直线必在面上。e''d''c''1''
c1de例：在已知面上作一水平线，距H面20，长度10。de=10DC∥AB，且过面上点D,?DC在AB╳AD平面上BC
∥AD，且过面上点B,?BC在(AB╳AD)平面上定理②：若直线通过属于平面的一个点，且平行于属于该平面的一条已知直线，
则该直线必在面上。四边形ABCD即为所求直线DI在面上！DE为所求例：试完成平行四边形ABCD的投影。??15?b''b''a''a''
1015OOXXc''c''aa?cc10??bb2.平面上的点定理：若点在属于平面的直线上，则点必在该面上。例：①求属于△的点K的
水平投影；②求属于△的距H面15,距V面10的点L。①②l''k''1''2''1''面上画线线上找点lk14321a''a''b''b''d''d''
c''c''ccOOXXbbaa例：试完成四边形ABCD的投影。1''1''1dd1第三章几何元素间的相对位置相对位置包括平行、相交和垂
直。§3.1几何元素间的平行问题一．直线与平面平行定理1：若直线平行于平面上的任一直线，则该直线与该平面平行。反之，若直线平
行于平面，则在平面内必可作一直线与该直线平行。c''b''k''d''a''adkOXcb例：①过点K作一直线平行于面（AB╳
CD)。②过点K作一水平线平行于面（AB╳CD)。①解题步骤：作KE∥AB,即KE∥(AB╳CD)。1''f''
e''②解题步骤：先作面上任一水平线BIef再作KF∥IB,则水平线KF∥(AB╳CD)。1定理2：若一直线
与某一投影面垂直面平行，则该直线必有一个投影与平面具有积聚性的那个投影平行。如果直线的投影与投影面垂直面具有积聚性的投影相互平行，
则此直线与该平面平行。QABaQHb例：判断图中的直线与△平面平行否?(a)(b)(c)
(d)(e)c''b''k''f''e''d''a''OXeadkfcb二．平面与平面平行定理1：若两个
平面上的两条相交直线相互平行，则此二平面互相平行。推论：若一平面内的两条相交直线均平行于另一平面,则这两个平面互相平行.例:
(KE╳KF)∥(AB╳CD)?1''∵KE∥BAKF∥IB∴(KE╳KF)∥(AB╳CD)1定理2：若两个投影面垂直面具有积聚性的投影相互平行，则此二平面互相平行。QPQHPHPVRVQVPHRHQH例：判断下列线、面与面P平行否?∥∥∥∥∥∥(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)P∥(b,c,e,f,g,i)Thesensesdelightinwhatistrulyproportional.ThomasAquinas |
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