(3)解：如图，设CE交AB于点G，∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，∴AP＝PG＝a－b，BG＝a－(2a－2b)＝2b－a.又
∵BG＝2b－a＝(2－)b，∴GH＝GB.又∵GH⊥AC，GB⊥BC，∴∠HCG＝∠BCG.∵PE∥CF，∴∠PE
G＝∠BCG，∴∠AEC＝∠ACB＝45°.扫码新浪微博了解更多3．菱形的判定(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(
2)四边_______的四边形是菱形；(3)对角线互相_______的平行四边形是菱形．相等垂直知识点三正方形的
性质与判定1．正方形：有一组邻边_______，并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形．相等直角2．正方
形的性质(1)正方形的四个角都是_______，四条边都_______；(2)正方形的对角线相等且_____________
，每条对角线_______一组对角；(3)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有____条对称轴．直角相等
互相垂直平分平分43．正方形的判定(1)有一组邻边_______的矩形是正方形；(2)对角线互相_______的
矩形是正方形；(3)有一个角是_______的菱形是正方形；(4)对角线_____的菱形是正方形．相等垂直直
角相等矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，正方形是特殊的菱形，还是特殊的矩形，它们之间的关系如图：考点一矩形的性质与
判定(5年4考)例1(2015·济南)如图，在矩形ABCD中，BF＝CE.求证：AE＝DF.【分析】根据矩形的性质得
出AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，求出BE＝CF，根据SAS证得△ABE≌△DCF.【自主解答】∵四边形ABCD是矩形，∴∠
ABE＝∠DCF＝90°，AB＝DC.∵BF＝CE，∴BF＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF.∴△ABE≌△DCF，∴AE＝
DF.(1)矩形性质的应用：从边上看，两组对边分别平行且相等；从角上看，矩形的四个角都是直角；从对角线上看，对角线互相平分且
相等，同时把矩形分为四个面积相等的等腰三角形．(2)矩形的判定方法：若四边形可以证为平行四边形，则还需证明一个角是直角或对角线
相等；若直角较多，可利用“三个角为直角的四边形是矩形”来证．1．(2013·济南)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交
于点O，AB＝4，∠AOD＝120°，求AC的长．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO.∵∠AOD＝120°
，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AO＝AB＝4，∴AC＝2AO＝8.2．(2014·济南)如图，四边形ABC
D是矩形，点E是边AD的中点．求证：EB＝EC.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC.∵点E是边A
D的中点，∴AE＝DE，∴△ABE≌△DCE，∴EB＝EC.考点二菱形的性质与判定(5年3考)例2(2016·济南)
如图，在菱形ABCD中，CE＝CF.求证：AE＝AF.【分析】根据菱形的性质，利用SAS判定△ABE≌△ADF，从而证得AE＝
AF.【自主解答】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝∠B.∵CE＝CF，∴BE＝DF.∴△ABE≌
△ADF，∴AE＝AF.(1)判定一个四边形是菱形时，一是证明四条边相等；二是先证明它是平行四边形，进而再证明它是菱形．(2)运
用菱形的性质时，要注意菱形的对角线互相垂直这个条件；此外，菱形的对角线所在的直线是菱形的对称轴，运用这一性质可以求出线段和的最小值
．3．(2017·商河一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E.若∠ADC＝120°，则
∠AOE＝_______．60°4．(2016·历城一模)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边的中线，过
点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF.若AB＝1
2，BC＝5，则四边形BDFG的周长为_____．265．如图，已知点E，F分别是?ABCD的边BC，AD上的中点，且∠B
AC＝90°.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若∠B＝30°，BC＝10，求菱形AECF面积．(1)证明：∵四边形A
BCD是平行四边形，∴AD＝BC.在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，点E是BC边的中点，∴AE＝BC＝CE，同理AF＝
AD＝CF，∴AE＝CE＝AF＝CF，∴四边形AECF是菱形．(2)解：如图，连接EF交AC于点O，考点三正方形的性质
与判定(5年3考)例3(2017·济南)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，E为OC上一点，
OE＝1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长为()【分析】根据正方形的性质得到OB，在Rt△
BOE中求出BE，然后根据△ABE面积公式求得AF，进而运用勾股定理求得BF.【自主解答】(1)证明一个四边形是正方形，
可以先判定四边形为矩形，再证邻边相等或者对角线互相垂直；或先判定四边形为菱形，再证有一个角是直角或者对角线相等．(2)正方形既是特
殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它们的所有性质．6．(2015·济南)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB
的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为()C7．(2017·历城二模)如图，正方形
ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE，AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG＝4GE；③S△BHE
＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．
4D8.(2017·枣庄)已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上
，连接EA，EC.(1)如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA＝EC；(2)如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC
，判断△ACE的形状，并说明理由；(3)如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB＝a，BP＝b，求
a∶b及∠AEC的度数．(1)证明：∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，∴AB＝BC，BP＝BF，∴AP＝CF.在△A
PE和△CFE中，∴△APE≌△CFE，∴EA＝EC.(2)解：△ACE是直角三角形．理由如下：∵P为AB的中点，∴PA
＝PB.又∵PB＝PE，∴PA＝PE，∴∠PAE＝45°.又∵∠BAC＝45°，∴∠CAE＝90°，即△ACE是直角三角形
．第一节多边形与平行四边形第二节矩形、菱形、正方形第五章四边形第一节多边形与平行四边形知识点一多边形1．
定义：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形．各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．2．多边形
的内、外角和：n(n≥3)边形的内角和是_______________；外角和是________．正n边形每个内角的度数是__
_______，每个外角的度数是______．3．多边形的对角线：连接多边形_______的两个顶点的线段叫做多边形的对角线
．从n(n≥4)边形的一个顶点可作_______条对角线，n边形对角线总条数为______条．(n－2)·180°360
°不相邻n－34．对称性：当n(n≥3)为奇数时，正n边形是轴对称图形，对称轴有____条；当n为偶数时，正n边形既
是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴有____条，对称中心是正多边形的中心．nn知识点二平面图形的镶嵌
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．根据镶嵌的
定义知，能够进行平面镶嵌的图形的内角度数能整除360°.则用大小相同的同一种正多边形镶嵌，这样的正多边形只能是正三角形、正四边形、
正六边形．知识点三平行四边形1．定义：两组对边分别_____的四边形叫做平行四边形．2．平行四边形的性质与判定平行性质
判定边平行四边形的对边_____________(1)两组对边分别_______的四边形是平行四边形；(2)两组对边分
别_______的四边形是平行四边形；(3)一组对边_____________的四边形是平行四边形平行且相等平行
相等平行且相等性质判定角平行四边形的对角_______两组对角_______的四边形是平行四边形对角线平行
四边形的对角线_________两条对角线_________的四边形是平行四边形对称性平行四边形是中心对称图形，它的对
称中心是_____________相等相等相互平分相互平分对角线的交点平行四边形的性质和判定是互逆的，
可对照记忆；平行四边形的定义既是性质，也是判定方法．3．平行四边形的面积(1)平行四边形的面积＝_______．(2)同底
(等底)同高(等高)的平行四边形面积_______．(3)如果两条直线相互平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相
等，这个距离称为平行线之间的距离．底×高相等考点一多边形的内外角和(5年0考)例1(2017·历下一模)一个多
边形的内角和是外角和的3倍，则该多边形的边数为()A．5B．6C．7D．8【分析】
利用多边形内角和公式与外角和定理，列出方程解决问题．【自主解答】由题意得(n－2)×180＝360×3，解得n＝8.故选D.
1．(2016·益阳)将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是()A．360°
B．540°C．720°D．900°2．正多边形的一个外角是72°，则这个多边形的内角和的度数是______．
D540°考点二平行四边形的性质与判定(5年4考)命题角度?平行四边形的性质例2(2014·济南)如图，在?ABC
D中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是()A．∠E＝∠CDFB
．EF＝DFC．AD＝2BFD．BE＝2CF【分析】结合平行四边形的性质及已知条件对每个选项分析即可．【
自主解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠E＝∠CDF，故A成立．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝A
B，CD∥BE，∴∠C＝∠CBE.∵BE＝AB，∴CD＝EB.又∵∠CFD＝∠BFE，∴△DCF≌△EBF，∴EF＝DF，故
B成立．∵△DCF≌△EBF，∴CF＝BF＝BC.∵AD＝BC，∴AD＝2BF，故C成立．∵AD≠BE，∴2CF≠BE，
故D不成立．故选D.3．(2016·济南)如图，在?ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延
长线于点E，CG⊥BE，垂足为G.若EF＝2，则线段CG的长为()C4．(2017·市中二模)如图，在平行四边形
ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于点E，交CD于点F.求证：OE＝OF.证明：∵四边形ABCD是平行四
边形，∴OA＝OC，AB∥CD，∴∠OAE＝∠OCF.又∵∠AOE＝∠COF，∴△OAE≌△OCF，∴OE＝OF.命题角度?
平行四边形的判定例3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是()
A．AB＝CDB．∠BAD＝∠DCBC．AC＝BDD．∠ABC＋∠BAD＝180°【分析】根据平行四边形的判定方法
一一判断即可．【自主解答】当四边形ABCD是等腰梯形时，A项满足条件，错误；∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°.∵
∠BAD＝∠DCB，∴∠DCB＋∠ABC＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，B正确；四边形ABCD是等腰梯
形时，C项满足条件，错误；∵∠ABC＋∠BAD＝180°，∴AD∥BC，与题目条件重复，无法判断四边形是平行四边形，D错误．
故选B.讲：平行四边形的判定方法(1)如果已知一组对边平行，常考虑另一组对边平行或证这组对边相等；(2)如果已知一组对边相等，
常考虑证另一组对边相等或者证这组对边平行；(3)如果已知条件与对角线有关，常考虑证对角线互相平分．需要注意的是，一组对边平行，另一
组对边相等的四边形不一定是平行四边形．练：链接变式训练55．如图，点E，F是?ABCD对角线上两点，在条件①DE＝BF；②∠
ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AEB＝∠CFD中，选择一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可选择的条件是()
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④D6．(2017·槐荫二模)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F
分别在边BC，AD上，连接AE，CF.若∠AEB＝∠CFD，求证：四边形AECF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边
形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D.∵∠AEB＝∠CFD，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∴AF＝CE.∵四边形
ABCD是平行四边形，∴AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．第二节矩形、菱形、正方形知识点一矩形的性质与判定1．
矩形：有一个角是_______的平行四边形叫做矩形．直角2．矩形的性质(1)矩形的对边___________；(2)矩形的四个角都是_______；(3)矩形的对角线_______；(4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有____条对称轴．平行且相等直角相等23．矩形的判定(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)对角线_______的平行四边形是矩形；(3)有三个角是_______的四边形是矩形．相等直角知识点二菱形的性质与判定1．菱形：有一组邻边_______的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质(1)菱形的四条边都_______；(2)菱形的对角_______；(3)菱形的对角线互相_______，每条对角线平分一组对角；(4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有____条对称轴．相等相等相等垂直2 |
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