8．(2017·咸宁)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若AE＝4，cosA＝，求DF的长．(1)证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，
∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B.又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，OD∥AC.∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90
°，∴∠ODF＝∠DFC＝90°.又∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线．第三节与圆有关的计算知识点一正多边形和圆
1．圆内接正多边形：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆．2．正多边形和圆的关系：把一个
圆n(n≥3)等分，依次连接各分点，就可以作出一个圆内接正n边形．3．正多边形的中心、半径、中心角、边心距(1)正多边形的中心
：正多边形外接圆的_______是这个正多边形的中心．(2)正多边形的半径：正多边形外接圆的_______是这个正多边形的半径．
圆心半径(3)正多边形的中心角：正多边形的每条边所对的________是正多边形的中心角．(4)正多边形的边心
距：中心到正多边形一边的_______是正多边形的边心距．圆心角距离知识点二弧长及扇形的面积1．弧长的计算公式
在半径为R的圆中，n°的弧的弧长计算公式：l＝______．2．扇形面积的计算公式(1)如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么
扇形面积的计算公式S扇形＝______．(2)比较扇形面积公式与弧长公式，用弧长来表示扇形的面积S扇形＝______．扇形
面积公式S扇形＝lR与三角形面积公式十分类似，可把扇形想象成曲边三角形，把弧长l看作底，R看作底边上的高．考点一正多边
形和圆(5年1考)例1(2014·济南)如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形BCDE
为矩形，这个矩形的面积是()【分析】连接BD，OC，根据圆周角定理求得BD，由△ABC为等边三角形求得∠A＝60°，进而
得到∠BOC，易得∠CBD，在Rt△BCD中，求得CD，BC，然后根据矩形的面积公式求解．【自主解答】如图，连接BD，OC，
∵四边形BCDE为矩形，∴∠BCD＝90°，∴BD为⊙O的直径，∴BD＝2.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠
BOC＝2∠A＝120°.而OB＝OC，∴∠CBD＝30°.解决正多边形与圆的问题通常是将正多边形分解成三角形，利用正多边
形的边长、外接圆半径、内切圆半径之间的关系来解决．1.(2017·沈阳)正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12
，则⊙O的半径是()B2．(2017·槐荫一模)如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，求正六边形的边
长．解：如图，连接OB，由正六边形的性质，可知∠COB＝360°÷6＝60°.∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝6
0°，∴OC＝BC＝4，∴正六边形的边长为4.考点二弧长的计算(5年0考)例2(2017·烟台)如图，?ABCD中，∠
B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为()【分析】连接OE，求出∠DOE的度数，再由弧长
公式求解．【自主解答】如图，连接OE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝70°，AD＝BC＝6，∴OA＝OD＝
3.∵OD＝OE，∴∠OED＝∠D＝70°，∴∠DOE＝180°－2×70°＝40°，3．(2017·南宁)如图，⊙O是△A
BC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于()A4．(2016·株洲)如图，正六边形ABCD
EF内接于半径为3的圆，则劣弧AB的长度为_____．π考点三扇形面积的计算(5年1考)例3(2017·济南)如
图，扇形纸扇完全打开后，扇形ABC的面积为300πcm2，∠BAC＝120°，BD＝2AD，则BD的长度为cm.【
分析】设AD＝x，则AB＝3x.根据扇形面积列方程求解即可．【自主解答】设AD＝x，则AB＝3x.由题意得300π＝
解得x＝10，∴BD＝2x＝20.故答案为20.计算扇形的面积有两个公式：S＝和S＝lr，其中n是圆心
角所对应的角度数，l是扇形的弧长，r是扇形的半径长，在求解扇形面积时，注意选用合理的公式．5．(2016·潍坊)如图，在Rt△A
BC中，∠A＝30°，BC＝2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是()A6．(
2017·槐荫一模)手机上常见的wifi标志如图所示，它由若干条圆心相同的圆弧组成，其圆心角为90°，最小的扇形半径为1，若每
两个相邻圆弧的半径之差为1，由里往外的阴影部分的面积依次记为S1，S2，S3，…，则S1＋S2＋S3＋…＋S20＝______
__．195π扫码新浪微博了解更多第二节与圆有关的位置关系知识点一点与圆、直线与圆的位置关系1．点与圆的位置关系
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：(1)点在圆外?d____r；(2)点在圆上?d_____r；(3)点在圆内?d_
___r.>＝<2．直线与圆的位置关系设圆的半径为r，圆心到直线的距离OP＝d，知识点二切线的性质与判定
1．切线：直线和圆有_______的公共点(即直线和圆相切)时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．2．切线的性
质：圆的切线_______于过切点的半径．唯一垂直3．切线的判定(1)定义判定：和圆有_______公共点的直线是
圆的切线．(2)数量关系：圆心到直线的距离等于_______的直线是圆的切线．(3)定理：过半径外端且_______于半径的直
线是圆的切线．唯一半径垂直4．切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．切
线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长_______．相等知识点三三角形的内切圆1．和三角形各边都_______的圆
叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心．2．三角形的内心是三角形的三条___________的交点，它到三角形三边
的距离相等．3．三角形的内心都在三角形的内部．相切角平分线若已知⊙O是△ABC的内切圆，三角形三边长分别为a，b，
c，面积为S，圆的半径为r，则r＝.特别地，当△ABC是直角三角形，∠C＝90°，则r＝(a＋b－c)．考
点一点、直线与圆的位置关系(5年0考)例1如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆相交，
则弦AB的取值范围是．【分析】先确定出当AB与小圆相切时的值，由弦AB与小圆相交，明确AB与小圆有两个交点，则AB应
大于这个值，再由大圆的直径确定出AB的最大值即可．【自主解答】如图，当AB向下移动到A′B′位置，恰好与小圆相切时有一个公
共点D，连接OA′，OD，则OD⊥A′B′.∵OD⊥A′B′，∴A′D＝B′D.在Rt△A′DO中，OD＝3，OA′＝5，∴
A′D＝4，∴A′B′＝2A′D＝8.当AB恰好是大圆的直径时，AB＝10，∴AB的取值范围是8＜AB≤10.故答案为8B≤10.1．(2017·枣庄)如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以A
为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为()B2．如图，已知点A，B在半径为
1的⊙O上，∠AOB＝60°，延长OB至点C，过点C作直线OA的垂线，记为l，则下列说法正确的是()A．当BC等
于0.5时，l与⊙O相离B．当BC等于2时，l与⊙O相切C．当BC等于1时，l与⊙O相交D．当BC不为1时，l与⊙O不
相切D3．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为
_______________．3＜r≤4或r＝考点二切线的性质与判定(5年5考)命题角度?切线的性质例2(2
016·济南)如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA＝40°，求∠ABC的度数.
【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．【自
主解答】∵PA是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°.∵∠OPA＝40°，∴∠POA＝50°，∴∠ABC＝∠POA＝25°
.利用切线的性质解决问题时，常连接切点与圆心，构造垂直，然后通过勾股定理、解直角三角形或相似解题．4．(2017·济南)把直尺
、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB＝60°，若量出AD＝6cm，则圆形螺母的外直径是()
A．12cmB．24cmC．6cmD．12cmD5．(2013·济南)如图，AB是⊙O
的直径，点D在⊙O上，∠BAD＝35°，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，则∠C＝_____度．206.(20
14·济南)如图，AB与⊙O相切于点C，∠A＝∠B，⊙O的半径为6，AB＝16，求OA的长．解：如图，连接OC，∵AB与
⊙O相切于点C，∴OC⊥AB.又∵∠A＝∠B，∴OA＝OB，∴AC＝AB＝×16＝8.在Rt△AOC中，OA＝命题
角度?切线的判定例3(2016·张家界)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂
足为点D，且∠BAC＝∠CAD.(1)求证：直线MN是⊙O的切线；(2)若CD＝3，∠CAD＝30°，求⊙O的半径．【分析】
(1)连接OC，根据角之间的关系得出AD∥OC，进而得出OC⊥MN，根据点C在圆上证得结论；(2)在Rt△ADC中，求出A
C的长，然后利用Rt△ABC求出AB的长即可．【自主解答】(1)如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD.∵AD⊥MN，∴OC⊥MN.又∵OC是⊙O的半
径，∴直线MN是⊙O的切线．(2)在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，CD＝3，∴AC＝2CD＝6.∵AB是直径，∴∠A
CB＝90°，∴△ABC是直角三角形．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD＝30°，讲：切线的判
定方法(1)“连半径，证垂直”：若直线与圆有公共点，则连接圆心与交点得到半径，证明半径与直线垂直；(2)“作垂直，证等径
”：若未给出直线与圆的公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径．在判定时，必须说明“是半径”或“点在圆上”，这是最容
易犯错的地方．练：链接变式训练87.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作D
F⊥AB，垂足为F，连接DE.(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE＝7，BC＝6，求AC的长．(1)证明：如图，连接
OD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠C，∴∠ODC＝∠B，∴OD∥AB.∵DF⊥AB，∴OD⊥D
F.∵点D在⊙O上，∴直线DF与⊙O相切．(2)解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED＋∠ACD＝180°.∵
∠AED＋∠BED＝180°，∴∠BED＝∠ACD.又∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BCA，第一节圆的有关概念及性质
第二节与圆有关的位置关系第三节与圆有关的计算第六章圆第一节圆的有关概念及性质知识点一圆的有关概念1．圆：
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．其中，定点称为_____，定长称为______．圆心半径2．与圆
有关的概念(1)弧：圆上任意_______的部分叫做圆弧，简称弧．(2)弦：连接圆上任意两点的_______叫做弦．(3)
直径：经过_______的弦叫做直径．(4)等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．两点间
线段圆心等弧只存在同圆或等圆中，大小不等圆中不存在等弧．(5)圆心角：顶点在_______的角叫做圆心角．(6)
圆周角：顶点在_______，两边分别与圆还有另一个交点．像这样的角，叫做圆周角．圆心圆上知识点二圆的有关性质
1．圆的对称性(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条_______的直线，有_______条对称轴．(2)圆是中心对称图
形，对称中心为______．过直径无数圆心根据圆的对称性可知，圆具有旋转不变性，即圆围绕它的圆心旋转任意角度
，所得的圆与原图重合．2．圆心角、弧、弦之间的关系(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_______，所对的弦____
___．(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别_______．
相等相等相等3．垂径定理及其推论(1)垂径定理：垂直于弦的直径_______这条弦，并且______弦
所对的弧．(2)推论：①平分弦(不是直径)的直径_______于弦，并且_______弦所对的弧；②弦的垂直平分线经过___
__，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且_______另一条弧．平分平分垂直
平分圆心平分垂径定理及其推论实质上是指满足下列结论的一条直线：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧
；⑤平分弦所对的劣弧．如果已知五个结论中的两个结论，那么可以推出另外三个结论．4．圆周角定理及其推论(1)定理：圆周角的度数
等于它所对弧上的圆心角度数的_______．(2)推论：①同弧或等弧所对的圆周角_______；②半圆(或直径)所对的圆周角
是_______；90°的圆周角所对的弦是_______；③圆内接四边形的对角_______．一半相等直角
直径互补知识点三确定圆的条件1．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．2．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三
角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三边_____________的交点，叫做三角形的外心．垂直平分线考点一圆心角、弧
、弦之间的关系(5年0考)例1(2016·兰州)如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝()A
．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再根据两条
弧相等则所对的圆心角相等求解．【自主解答】∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOB＝180
°－50°－50°＝80°.∵点C是的中点，∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB＝40°.故选A.在同圆或等圆中，两个圆
心角、两条弧、两条弦，其中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量也分别相等．1．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C
，D两点．已知，的度数别为88°，32°，则∠P的度数为()A．26°B．28°C．
30°D．32°B2．如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且
，则四边形ABCD的周长等于()A．4cmB．5cmC．6cmD．7
cmB考点二圆周角定理及其推论(5年5考)例2(2017·济南)如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的
度数．【分析】根据圆周角定理的推论求得∠ABD的度数，然后利用三角形内角和定理求得∠BAD的度数．【自主解答】∵∠ACD
＝25°，∴∠ABD＝25°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝180°－25
°－90°＝65°.讲：与圆周角有关的多解问题在求解与圆周角有关的问题时，注意其中的多解问题，常
常会因为漏解而导致错误．练：链接变式训练43．(2017·天桥二模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，OC.若OB＝B
C，则∠BAC等于()A．60°B．45°C．30°D．20°C4．如图，⊙O的半径为1，A
B是⊙O的一条弦，且AB＝1，则弦AB所对的圆周角的度数为____________．30°或150°5．(2015·济南)
如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD＝160°，求∠BCD的度数．解：∵∠BOD＝160°，∴∠BAD＝∠BOD＝80°.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＋∠BAD＝180°，∴∠BCD＝100°.考点三垂径定理(5年2考)例3(2013·济南)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AB＝10，AC＝6，OD⊥BC，垂足是D，则BD的长为()A．2B．3C．4D．6【分析】由AB是⊙O的直径，得∠C＝90°.由AB＝10，AC＝6，求得BC的长，根据垂径定理即可求得BD.【自主解答】∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝8，∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝4.故选C.6．(2017·长沙)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为____．57．(2017·遵义)如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为_______． |
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