针对训练：1.《精炼案》P：11Ex7预习：2.《精炼案》P：13Ex10指数式与对数式及幂的运算
一、凸凹性：二、渐近性：§17函数的其他性质三、可导性：图像连续即连续四、连续性：五、有界性：形：
点点连续线连续数：二有二等点连续光滑连续暂如此形：点点可导线可导数：一差二比三极限1.凸凹性的定
义：2.凸凹性的判定：3.凸凹性的应用：①原函数与导函数的关联②增长速度③证明不等式数形作用周
期性奇偶性单调性升降性对称性重复性化负为正转换大小化大为小①背诵法②形法③数法f(x)±f(-
x)=0f(x+T)=f(x)x1＜x2y1＜y2↗概念判定单调性概念中的几个细节问题①
单调区间D是定义域I的子区间单调性是针对一个区间定义的②单调区间的描述，必须用区间形式③多个区间上单调性相同
，描述时切忌用“或、∪、……”联结中间用“，……”联结④要留意单调性的等价描述如f(x)在区间D上↗单
调性概念中的几个细节问题⑤要会区别:“f(x)的单调区间是D1”和“f(x)在区间D2上单调”D2?
D1-⑥单调区间的完整性与图像的连续性之间的关联区间I的完整图像的连续＜＝≠
＞即区间是完整的，但图像完全可以是分段的背诵法反函数：奇偶性：复合函数：基本函数：形法：数
法三反两同两公式奇同偶反同增异减有图就有一切和差函数：同加不变；异减看前从左到右持续升（降）单调性
的判定方法形法判定单调性的说明：从左到右持续升(降)①单调性区间必须是完整的(即连续的)②图像完全可以是分
段的对图像的要求，关键是：持续升(降)背诵法反函数：奇偶性：复合函数：基本函数：形法：数
法三反两同两公式奇同偶反同增异减有图就有一切和差函数：同加不变；异减看前从左到右持续升（降）增大减
小○驻点含参反用必须等具体函数比较法抽象函数配凑法导数法定义法单调性的判定方法注：导数法判定单调性：
第一确定定义域第二求导到显然注1：最终结果要显然乘积配方与○比注2：增大减小○驻点等号问题待大学含参
反用必须等其他情况暂忽略注3：书写格式要简明三解不等得结论书写格式要简明①②③①当f(x)单调时
②当f(x)不单调时因在Domain上恒成立故f(x)在Domain上↗（↘）当x∈
Domain时，解得f(x)在I1，I2…上↗当x∈Domain时，解得f
(x)在I1，I2…上↘2.引申应用：1.基本应用：x1＜x2;y1y2;↗(↘)单调性的应用
①形：单调性≈简图②数：知二有一①求极值②求最值③堪根④解证不等式⑤解等式1.背诵法2.形
法：3.数法奇偶性的判定方法注⑹：复合函数的奇偶性是“全奇为奇,内偶则偶”注⑵：若奇函数f(x)在x=0处有定
义,则一定有f(0)=0注⑶：f(x)为偶函数f(x)=f(-x)=f(|x|)注⑷：原函数为奇函
数反函数为奇函数注⑸：原函数为奇(偶)函数导函数为偶(奇)函数注⑴：若f(x)具有奇偶性,则其定义域一定关于原
点对称注⑺：个别函数的奇偶性，用下列证法可能更简f(x)±f(－x)=0；注⑻：定义在R上的f(x)，若对任意的x，y有
＋－，则f(x)为奇(偶)函数注⑼：同号相减周期性异号和半对称性适当取O左加
右减②若f(m+x)=±f(n+x),则f(x)具有周期性……①若f(m+x)=±f(n-x),则f(x)具有对称性……为对
称轴为偶函数为对称中心为奇函数若则有T=2|m-n|则有T=|m-n|若③类比和谐函数，两种对称性具有周期性……
求周期的方法①公式法：②形法：③定义法：弦式切式○②①○一般地,和谐函数才有周期公式迭代法：迭加
法：④类比法：①○○②○③直接观察法：图像的重复性f(x＋T)＝f(x)f(x＋a)＝－f(x)
；……f(x)＝f(x＋a)－f(x＋2a)类比和谐函数，两种对称性具有周期性……换元法：○④……f(x
＋a)＝f(x－a)……一、凸凹性：二、渐近性：§17函数的其他性质三、可导性：图像连续即连续四、
连续性：五、有界性：形：点点连续线连续数：二有二等点连续光滑连续暂如此形：点点可导线可导数：一
差二比三极限1.凸凹性的定义：2.凸凹性的判定：3.凸凹性的应用：①原函数与导函数的关联②增长速度③证明不等式1.
凸凹性的定义：若对(a，b)上任意两点，恒有：设函数为定义在区间I上的函数，(a，b)I,则称为(
a,b)上的凸函数(2)(A型),则称(1)为(a,b)上的凹函数(V型)一、凸凹性：2.凸凹性的判定：原函数凹
?一导增?二导正??…原函数凸?一导减?二导负??…
·····(x1,y1)(x1,f(x1))(x2,y2)(x2,f(x2))
为凹函数为凸函数(V型)(A型)凸凹性的几何特征1：··(x1,y1)(x1,f(x1))(x2,y2)
(x2,f(x2))凸凹性的几何特征2：原函数凹?图像总在切线的上方?一导增?二导正?…原函数凸?图像总在切
线的下方?一导减?二导负?…①设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的n个实数琴生(Jensen
)不等式:,有当且仅当时取等号②设f(x)是(a,b)内的凹函数,则对于(a,b)内
任意的n个实数,有当且仅当时取等号附：凸凹性与琴生(Jensen)不等式
3.凸凹性的应用：①原函数与导函数的关联②增长速度③证明不等式原函数凹一导增二导
正……原函数凸一导减二导负……若f(x)为凸函数,则x逐渐增大时f(x)的增长幅度会越
来越小若f(x)为凹函数,则x逐渐增大时f(x)的增长幅度会越来越大为凹函数为凸函数(V型)(A型)练习1.凸凹
性这四个函数中，时，使当恒成立的函数的个数是(1).(2005年湖北)在A.0B.1C.2
D.3析1：即考查在区间(0,1)内是凸函数的个数……析2：凸凹性的判定方法原函数凹一导
增二导正……原函数凸一导减二导负……可借用y=±x2来帮助记忆判定方法
【B】①f(x)在[1,3]上的图像是连续不断的；(2).(2012年福建)函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任
意的具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题：x1,x2∈[a,b],有,则称f(x)在[a,b]
上②f(x2)在上具有性质P；其中真命题的序号是③若f(x)在x=2上处取得最大值1，则f(x)=1,x
∈[1,3]④对任意的x1,x2,x3,x4∈[1,3]，有A.①②B.①③C.②④D
.③④【D】(3)(2008年福建)已知函数y=f(x)，y=g(x)的导函数的图象如左图，那么y=f(x)，y=g(x
)的图象可能是【D】(4).(2006年重庆)如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积
的2倍,则函数f(x)的图象是ABCD法1：先求出
f(x)的解析式，然后判定图象……法2：由凸凹性(增长速度)，易得【D】欲证凸凹性证明方法只需由于导数
的几何意义得，存在ξ、η且x1＜ξ＜＜η＜x2只需证即证,即证在(x
1,x2)上↗即证＞0在(x1,x2)上恒成立……——忽悠法二、渐近性：与某一直线l
的距离趋于0,1.定义：则称直线l为曲线C的渐近线若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点时,点M2.分类：①水平
渐近线③斜渐近线②铅直渐近线3.求法：②若,则曲线y=f(x)有铅直渐近线x=x0①若
,则曲线y=f(x)有水平渐近线y=b③若,则曲线y=f(x
)有斜渐近线y=kx+b(5)若函数有且只有一个零点,求k的取值范围0析：设,则解
得f(x)在(－∞,1)上↗解得f(x)在(1,＋∞)上↘
又因x→-∞时，f(x)→-∞；故x→+∞时，f(x)→0又因所以练习2.渐进性①判断f(x
)的奇偶性②若f(x)在[2,+∞)上是增函数，求a的取值范围析：①a=0时为偶函数；a≠0时为非奇非偶函数
(6)(2007年上海)已知函数析：②因即在[2,+∞)上恒成立故a≤16而
在[2,+∞)上恒成立依题意有在[2,+∞)上恒成立函数的图像——牛顿三叉戟
线a＞0a=0a＜0①铅直渐近线：y轴②曲线渐近线：抛物线y=x2三、可导性：光滑连续暂如此
形：点点可导线可导数：一差二比三极限一、凸凹性：二、渐近性：即称其为函数y=f(x)在x=x0处的导
数.(1)f(x)在x=x0处的导数函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是或记作(2)f(x)的导函
数f/(x)当x=x0变化时，称f/(x)为f(x)的导函数（简称导数）点点可导线可导一差二比三极限(点可导
)(线可导)图像连续即连续四、连续性：形：点点连续线连续数：二有二等点连续①f(x)在x0处有定义②f(x)在x0处有极限注1.二有：注2.二等：①②三、可导性：一、凸凹性：二、渐近性：四、连续性：五、有界性：如果函数f(x)在其定义域D内连续③当上述①，②中的两个条件同时满足时，则称函数f(x)在D内有界①若存在一个正数M，对任意的x∈D，都有|f(x)|≤M则称函数f(x)在D内有上界②若存在一个正数M，对任意的x∈D，都有|f(x)|≥M则称函数f(x)在D内有下界f(x＋a)＝－ |
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