自学导引
1．圆的一般方程的概念
二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当________________时，方程叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的圆的圆心为______________，半径长为______________．
D2＋E2－4F>0
自主探究
探究：所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆吗？
【答案】不是，只有当D2＋E2－4F>0时才表示圆，D2＋E2－4F取值不同，对应图形如下表．
方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示坐标为的点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 预习测评
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为()
A．(4，－6)r＝16
B．(2，－3)r＝4
C．(－2,3)r＝4
D．(2，－3)r＝16
【答案】C
2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是()
A．k>1B．k<1
C．k≥1D．k≤1
【答案】B
3．以A(0,0)，B(4,3)点为直径的两个端点的圆的一般方程是____________．
4．________．
【答案】x22-4x-4y-2=0
【答案】x2＋y2－4x－3y＝0
要点阐释
1．圆的标准方程与一般方程的特点对比
标准方程 一般方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 指出了圆心坐标和半径大小，几何特征明显 是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显 二者都含有三个待定的系数，要确定方程，均需要三个独立条件 2.圆的方程的确定
(1)确定圆的标准方程和圆的一般方程分别需要确定三个量a，b，r和D，E，F.因此都需要三个独立的条件，在圆的标准方程中，圆心是定位条件，半径是定量条件，在圆的一般方程中，D2＋E2－4F>0是必须具备的先决条件．
(2)对于一般的二元二次方程，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，若表示圆必须有：A＝C≠0；B＝0；
2＋2－>0，即D2＋E2－4AF>0.
(3)求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
根据题意所给条件，选择标准方程或一般方程；
根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
(4)求圆的方程时要注意与平面几何知识相联系(如圆的几何性质)可使问题简单化．
3．点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系
(1)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0点P在圆外；
(2)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0点P在圆上；
(3)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0点P在圆内．
4．求轨迹方程的五个步骤
(1)设点：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)列式：写出适合条件p的点M的集合p＝{M|p(M)}；
(3)代换：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
典例剖析
题型一圆的方程的判断
【例1】方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小时的圆的方程．
思路点拨：化为标准方程，利用r2＞0求出a的取值范围，然后再求r2的最小值，即r的最小值．
解原方程化为2＋2＝.
a2－2a＋2>0，
当a≠0且aR时，原方程表示圆．
r2＝＝4＝4，
当＝，即a＝2时，圆的半径最小，它的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
1．判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．
(1)x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ay－1＝0；
(3)x2＋y2＋20x＋121＝0；(4)x2＋y2＋2ax＝0.
解：
(1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它表示点(－1,0)，不表示圆．
(2)原方程可化为x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆心为(0，－a)，半径为的圆，标准方程为x2＋(y＋a)2＝()2.
(3)原方程可化为：(x＋10)2＋y2＝－21<0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．
(4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.
当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆；
当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.
题型二求圆的一般方程
【例2】已知ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圆的一般式方程．
思路点拨：已知三点，直接代入到圆的一般方程式中求解．
解：
法一：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，由题意可得
解得
故圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
法二：由题意可求得弦AC的中垂线方程为x＝2，
BC的中垂线方程为x＋y－3＝0，由
解得
圆心P的坐标为(2,1)．
圆半径r＝|AP|＝＝5.
圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.
即x2＋y2－4x－2y－20＝0.
2．求经过两点A(4,2)，B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
解：
设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；
由题设，x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，
所以D＋E＝－2.
又A(4,2)，B(－1,3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
1＋9－D＋3E＋F＝0，
由可得D＝－2，E＝0，F＝－12，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
题型三轨迹问题
【例3】已知直角ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3，0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC中点M的轨迹方程．
思路点拨：(1)设出C点坐标，利用垂直关系直接由斜率之积为－1列出方程，注意A、B、C三点不能共线；(2)设出M点坐标，利用中点关系，建立M点与C点坐标之间的关系，求出轨迹方程．
解：
(1)法一：设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．
法二：同法一得x≠3且x≠－1.
由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．
法三：设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．
(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝(x≠3且x≠1)，y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．
方法点评：对于“双动点”问题，若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用代入法．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上漏掉的解.
3．已知定点A(2,0)，圆x2＋y2＝1上有一个动点Q，若AQ的中点为P，求动点P的轨迹．
解：如图所示，设动点P的坐标为(x，y)，Q(x1，y1)，利用中点坐标公式有即
x＋y＝1，(2x－2)2＋(2y)2＝1，
动点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝.
点P的轨迹为以(1,0)为圆心，以为半径的圆．
误区解密因忽略D2＋E2－4F>0致错
【例4】已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，求a的取值范围．
错解：点A在圆外，
a2＋4－2a2－3×2＋a2＋a＞0，a＞2.
错因分析：本题错解的根本原因在于没有把握住圆的一般式方程的定义．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，需D2＋E2－4F＞0，所以，本题除了点在圆外的条件以外，还应注意方程表示圆这一隐含条件．
正解：点A在圆外，
∴即2＜a＜，
a的取值范围是2＜a＜.
纠错心得：当圆的一般方程含有参数时，一定考虑D2＋E2－4F＞0这一条件，否则会导致错误．
课堂总结
1．探求圆的方程一般采用待定系数法，但所设方程的形式要由已知条件决定，若从已知条件中能容易地求出圆心和半径，则可设圆的标准方程，否则可设圆的一般式方程．
2．运用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件进行判断是否是圆．如果是，可利用写出圆心，利用求出半径．
3．求轨迹的方法很多，注意合理选取．在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质．在求出轨迹中要看是否所有的点都适合，不适合的要剔除. |
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