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1．直线的两点式与截距式方程
(1)直线的两点式方程
已知直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则直线l的斜率k＝________，代入点斜式方程得y－y1＝(x－x1)，当y1≠y2时，方程可写为________________，这个方程是由直线l上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式．
说明：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)中有x1＝x2或y1＝y2时，直线P1P2没有两点式方程．当x1＝x2时，直线P1P2平行于y轴，直线方程为x－x1＝0或x＝x1；当y1＝y2时，直线P1P2平行于x轴，直线方程为y－y1＝0或y＝y1.
＝
(2)直线的截距式方程
已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则直线的两点式方程为＝，即为________，这个方程由直线l在两个坐标轴上的截距a和b确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式．
＋＝1
2．线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则
3．直线的一般式方程
把关于x，y的二元一次方程________________叫做直线的一般式方程，简称一般式．其中系数A，B满足________________A，B不同时为0
Ax＋By＋C＝0
自主探究
探究1：方程－＝1和＋＝－1都是直线的截距式方程吗？
【答案】都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.
探究2：当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？
【答案】(1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．
(2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．
(3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线．
预习测评
1．下列四个命题：经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示；经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(x－x1)＝(y2－y1)(y－y1)表示；不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示；经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．其中真命题的个数是()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
【答案】A
2．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有()
A．a＝2，b＝5B．a＝2，b＝－5
C．a＝－2，b＝5D．a＝－2，b＝－5
【答案】B
3．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1l2，则a＝________.
4．________．
【答案】7-4y-1=0
【答案】2
要点阐释
1．直线的两点式方程
(1)＝(x1≠x2，y1≠y2)不能表示斜率不存在以及斜率为零的直线．
(2)两点式方程可以变形为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)，在此方程中，不再有x1≠x2，y1≠y2的限制，因而此方程可以表示所有的直线．
2．直线的截距式方程
(1)由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距．
(2)由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x轴、y轴上的截距都存在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线．
(3)过原点的直线可以表示为y＝kx；与x轴垂直的直线可以表示为x＝x0；与y轴垂直的直线可以表示为y＝y0.
3．直线方程的几种形式典例剖析
题型一直线的两点式与截距式方程
【例1】(1)已知三角形的顶点A(－2，－1)，B(－1,5)，C(3，－3)，求BC边上中线所在直线的方程；
(2)求过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
思路点拨：判断直线满足的条件，选择适当的方程形式进行求解．
解(1)设线段BC的中点为D(x，y)，则即D(1,1)，
由两点式得AD所在直线的方程为＝，整理可得2x－3y＋1＝0.此即为BC边上的中线所在直线的方程．
(2)当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＋＝1，即x－y＝a.又l过点A(5，2)，5－2＝a，a＝3，l的方程为x－y－3＝0.综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
1．(1)三角形的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)(如图)，求这个三角形三边所在直线的方程．
(2)直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l的方程.
解：(1)直线AB过A(－5,0)，B(3，－3)两点，由两点式得＝，整理得3x＋8y＋15＝0，这就是直线AB的方程．
直线BC过B(3，－3)，C(0,2)，斜率是k＝＝－，由点斜式得y－2＝－(x－0)，
整理得5x＋3y－6＝0，这就是直线BC的方程．
直线AC过A(－5,0)，C(0,2)两点，由两点式得＝，整理得2x－5y＋10＝0，这就是直线AC的方程．
(2)由已知直线l不过原点，且在x轴，y轴上的截距都大于0，
可设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则由已知可得当a≥b时，式可化为解得或(舍)；当a
直线l的方程为＋y＝1或x＋＝1，即x＋4y－4＝0或4x＋y－4＝0.
题型二直线方程形式的互化
【例2】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率是且经过点A(5,3)；
(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.
思路点拨：分析条件，选择方程，代入条件，整理并写成一般式．
解：
(1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，
整理得x－y＋3－5＝0；
(2)由两点式方程得＝，
整理得2x＋y－3＝0；
(3)由截距式方程得＋＝1，
整理得x＋3y＋3＝0.
2.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.
(1)经过点B(4,2),平行于x轴；
(2)在x轴和y轴上的截距分别是,-3；
(3)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4)．
解：
(1)经过点B(4,2)且平行于x轴的直线上的点的纵坐标都是2,故直线方程为y=2,即y-2=0．
(2)由截距式,得,化为一般式方程,为2x-y-3=0．
(3)由两点式,得,化为一般式方程,为x+y-1=0．
题型三直线方程与位置关系的判断
【例3】(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
思路点拨：由平行或垂直可得到两直线斜率的关系式，然后可列方程求解，注意斜率不存在的情况．
解(1)法一：若m＋1＝0，即m＝－1时，直线l1：x＋2＝0与直线l2：x－3y＋2＝0显然不平行．
若m＋1≠0，即m≠－1时，直线l1，l2的斜率分别为k1＝－，k2＝－，若l1l2时，k1＝k2，即－＝－，解得m＝2或m＝－3，所以m的值为2或－3.
法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，
l1∥l2.同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
l1与l2不重合，l1∥l2，m的值为2或－3.
(2)法一：由题意，直线l1l2，
若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直．
若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－，
当l1l2时，k1·k2＝－1，即(－)·(－)＝－1，所以a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1l2.
法二：由直线l1l2，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝±1.
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1l2.
3．已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
【解析】直线l的方程为3x＋4y－20＝0，kl＝－.
(1)设过A且与l平行的直线为l1，kl＝kl1，kl1＝－.
l1的方程为y－2＝－(x－2)，即3x＋4y－14＝0.
(2)设过A且与l垂直的直线为l2，
kl·kl2＝－1，·kl2＝－1，kl2＝.
l2的方程为y－2＝(x－2)，即4x－3y－2＝0.
题型四直线方程的综合应用
【例4】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
思路点拨：证明：
（1）法一：将直线l的方程整理为y－＝a，
l的斜率为a，且过定点
A，
而点A在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限．
法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.
上式对任意的a总成立，
必有即
即l过定点A.以下同法一．
(2)直线OA的斜率为k＝＝3.
要使l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，即令x＝0时，y＝－≤0，a≥3.
方法点评：含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，这里对一般式灵活变形后发现问题是解决问题的关键，在变形后特点还不明显的情况，可采用法二的解法．
4．已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．
解：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，
所以解得
所以直线l经过定点M(1，－1)．
误区解密忽略截距为零，思维不严密致误
【例5】求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．
错解：直线的纵、横截距相等，可设直线方程为＋＝1.
又直线过点A(4,2)，＋＝1，a＝6，
直线方程为＋＝1，即x＋y－6＝0.
错因分析：本题做错的根本原因在于忽视了截距式方程的应用范围，除要求截距存在外，截距还不能为零，而纵、横截距均为零，也是本题成立的情况之一，故本题属于思维不严密造成失误．如果设斜截式方程则可避免失误．
正解：法一：当直线的截距不为零时，由错解过程可知方程为x＋y－6＝0.当直线过原点时，纵、横截距均为零，满足题意．此时直线过(0,0)，(4,2)两点，由两点式可得方程＝，即x－2y＝0.
综上所述，直线方程为x＋y－6＝0或x－2y＝0.
法二：由题设知，可设直线的方程为y＝kx＋b(k≠0)，当y＝0时，x＝－，纵、横截距相等，－＝b.
又直线过(4,2)，2＝4k＋b.
由得b＝2－4k，代入整理得2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝.k＝－1时，b＝6；k＝时，b＝0，直线方程为y＝－x＋6或y＝x，即x＋y－6＝0或x－2y＝0.
纠错心得：解决有关截距的问题时需要注意的两点：一要搞清楚截距的概念，即直线在x轴(或y轴)上的截距就是直线与该坐标轴交点的横坐标(或纵坐标)；二要明确截距式表示直线的限制条件，即截距式不能表示截距为0时的直线方程．因此解决这类问题时要进行分类讨论，不要漏掉截距为0时的情况．
课堂总结
1．直线的一般式方程能表示所有直线的方程，这是其他形式的方程不具备的．直线的一般式方程成立的条件是A，B不同时为0.
2．直线方程的其他形式都可以转化为一般式，因此在解题时若没有特殊的说明，应把最后的结果化为直线方程的一般式．
3．由一般式方程Ax＋By＋C＝0求直线的斜率时要考虑两种情况：
(1)若B≠0，则k＝－；
(2)若B＝0，则斜率不存在．
4．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式求它的方程，但把两点式化为整式形式：(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，就可以利用它来求过平面内任意两点的直线的方程. |
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