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1．直线的点斜式方程和斜截式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 点斜式 点P(x0，y0)和斜率k _____________ 斜率存在 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b _____________ 斜率存在 y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
2．直线l在坐标轴上的截距
(1)直线在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的________．
(2)直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的________．
3．两直线平行、垂直的判断
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
(1)l1l2?________________；
(2)l1l2?____________.
横坐标a
k1·k2＝－1
纵坐标b
k1＝k2且b1≠b2
自主探究
探究1：平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程吗？
【答案】平面直角坐标系下，并不是所有的直线都存在点斜式方程．当直线与x轴垂直时(没有斜率)，不能用点斜式方程来表示．
探究2：y－y0＝k(x－x0)与＝k是等价的吗？
【答案】直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)与＝k不是等价的，后者表示的是直线上去掉点P0(x0，y0)后所剩下的部分，前者是整条直线．预习测评
1．过点P(－2,0)，斜率为3的直线方程是()
A．y＝3x－2B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2)D．y＝3(x＋2)
【答案】D
2.直线y=2x-4在y轴上的截距为（）
A.-2B.2C.-4D.4
【答案】C
3．方程y＋1＝－(x－)表示过点________，斜率是________，倾斜角是________，在y轴上的截距是________的直线．
－
2
(，－1)
120°
4．已知A(2,0)，B(4,8)，线段AB的垂直平分线的方程是________．【答案】y－4＝－(x－3)
要点阐释
1．直线的点斜式方程的三个注意点
方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一定点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
(1)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝并不一致，前者是直线的点斜式方程，表示直线；而后者由于x≠x0，因此表示的直线不包括P0(x0，y0)，并不是一条完整的直线．
(2)由于点斜式方程是用点的坐标和斜率表示的，因而它只能表示斜率存在的直线，斜率不存在的直线是不能用点斜式方程来表示的，即点斜式不能表示与x轴垂直的直线；过点P0(x0，y0)且垂直于x轴的直线可以表示为x＝x0的形式．
(3)点斜式方程可以表示平行于x轴的直线．过点P0(x0，y0)且平行于x轴的直线方程为y＝y0.特别地，x轴的方程为y＝0.
2．直线的斜截式方程的三个注意点
方程y＝kx＋b由直线l的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以该方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，应用的前提也是直线的斜率存在．
(2)直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距，截距不是距离，可正可负也可以为0.
(3)斜截式方程与一次函数的解析式的区别：当斜率不为0时，y＝kx＋b即为一次函数；当斜率为0时，y＝b不是一次函数；一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．
典例剖析
题型一求直线的点斜式方程
【例1】根据下列条件写出直线的方程．
(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为135°；
(2)经过点B(1，－2)，且与y轴平行；
(3)经过点C(－1,2)，且与x轴平行．
思路点拨：分析条件，确定直线的斜率是否存在．若直线的斜率不存在，直接写出方程；若斜率存在，代入公式，整理得方程．
解(1)∵倾斜角为135°，k＝tan135°＝－1，
直线方程为y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0.
(2)直线与y轴平行，倾斜角为90°，
直线的斜率不存在，直线方程为x＝1.
(3)直线与x轴平行，倾斜角为0°，
k＝tan0°＝0，直线方程为y－2＝0，即y＝2.
1．根据条件写出下列直线的点斜式方程．
(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为45°；
(2)经过点B(4,2)，倾斜角为90°；
(3)经过原点，倾斜角为60°；
(4)经过点D(－1,1)，与x轴平行．
解：
(1)直线斜率为tan45°＝1，
直线方程为y－4＝(x＋1)．
(2)直线斜率不存在，直线平行于y轴，
所求直线方程为x＝4.
(3)直线斜率为tan60°＝，
所求直线的方程为y＝x.
(4)直线斜率为0，直线方程为y＝1.
题型二直线的斜截式方程
【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
思路点拨：求出直线的斜率，然后分别用斜截式写出方程．
解：
(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)倾斜角α＝150°，斜率k＝tan150°＝－，
由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)直线的倾斜角为60°，其斜率k＝tan60°＝，
直线与y轴的交点到原点的距离为3，
直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
2．写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点(1,1)?
解：由直线方程的斜截式，得直线方程为y＝2x＋m.
直线过点(1,1)，将x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m,1＝2×1＋m，m＝－1即为所求．
题型三用平行或垂直的关系求直线方程
【例3】已知直线l过点A(2，－3)．
(1)若l与直线y＝－2x＋5平行，求其方程；
(2)若l与直线y＝－2x＋5垂直，求其方程．
思路点拨：由平行或垂直的关系求得所求直线的斜率，然后代入点求出直线方程．
解：
(1)法一：l与y＝－2x＋5平行，kl＝－2，
由直线的点斜式方程，知y＋3＝－2(x－2)，
方程为y＋3＝－2x＋4，即y＋2x－1＝0.
法二：已知直线方程为y＝－2x＋5，
而l与其平行，y＝－2x＋b，
又过点(2，－3)，b＝1，2x＋y－1＝0.
(2)
法一：l与y＝－2x＋5垂直，
kl＝，由直线的点斜式方程y－(－3)＝(x－2)，即x－2y－8＝0.
法二：直线y＝－2x＋5的斜率为－2，l与其垂直，
可设l的方程为y＝x＋c，
又过点(2，－3)，c＝－4，
l的方程为x－2y－8＝0.
方法点评：(1)充分利用直线平行、垂直的条件，求出所求直线的斜率，从而写出直线的点斜式方程．
(2)解答本题可利用待定系数法，由已知直线y＝kx＋b，当所求直线与已知直线平行时可设y＝kx＋b1，将点代入求b1，进而写方程，类似可求直线与已知直线垂直时的方程．
3．(1)求与直线y＝－2x＋10平行，且在y轴上的截距为的直线方程．
(2)求过点A(1，－4)且与直线＝平行的直线方程．
解：
（1）由平行关系，得所求直线斜率为-2.又直线在y轴上的截距为8,
∴所求直线方程为y=-2x+8.
（2）∵已知直线的斜率是-，
∴所求直线的斜率也是-.
根据点斜式，得所求直线的方程是
y+4=-(x-1).
(2)法一：已知直线的斜率是－，
又所求直线与已知直线平行，它的斜率也是－.
根据点斜式，得所求直线的方程是
y＋4＝－(x－1)，即2x＋3y＋10＝0.
法二：设所求直线的方程为2x＋3y＋b＝0，直线过点A(1，－4)，
有2×1＋3×(－4)＋b＝0，解得b＝10.
故所求直线的方程是2x＋3y＋10＝0.
误区解密因忽视斜率的不存在而致错
【例4】已知直线l的倾斜角为α，且经过点(1，－2)，求直线l的方程．
错解：由直线l的倾斜角为α，得该直线的斜率k＝tanα，又由点斜式得直线l的方程为y＋2＝tanα(x－1)．
错因分析：在使用点斜式求直线的方程时，应分“斜率存在”与“斜率不存在”两种情况考虑，以免丢解．
正解：当α≠90°时，由点斜式得直线l的方程为y＋2＝tanα(x－1)；当α＝90°时，直线l的方程为x＝1.
纠错心得：由于点斜式方程是用点的坐标和斜率表示的，因而它只能表示斜率存在的直线，斜率不存在的直线是不能用点斜式方程来表示的，即点斜式方程不能表示与x轴垂直的直线；过点P0(x0，y0)且垂直于x轴的直线可以表示为x＝x0的形式．
课堂总结
1．求直线方程的两种基本思路
目前已学直线方程的点斜式和斜截式，求直线方程常有以下两种思路：
思路一：直接法，若联想点斜式方程，可依据题设条件求斜率，直线上的某一点，写出点斜式方程；若利用斜截式方程，则要明确直线斜率及在y轴上的截距，进而写出方程．
思路二：待定系数法，先设出直线方程，利用条件建立待定字母的方程或方程组，求出待定字母，确定直线方程．
2．直线的点斜式、斜截式方程的局限性
已知直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1＝x2时，直线l与x轴垂直，斜率不存在；当x1≠x2时，斜率k＝.由于直线的点斜式及斜截式方程均涉及斜率，故用点斜式或斜截式不能表示与x轴垂直的直线. |
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