返回一、知识体系全览三、模块验收评估第2部分二、高频考点聚焦考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点七直线方程与两直线的位置关系圆的方程返回主要以选择、填空题的形式考查直线方程的求法，及由直线方程研究两直线的位置关系，在解答题中常与其他曲线结合考查直线与曲线的位置关系．
掌握直线方程的各种形式及转化关系，能根据直线方程求斜率、截距，并会判断两直线的平行、垂直关系．
(2)设所求直线的方程为
(3x－2y＋1)＋λ(x＋3y＋4)＝0，
即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋(1＋4λ)＝0.
由所求直线垂直于直线x＋3y＋4＝0，得
－·＝－1，解得λ＝.
故所求直线的方程是3x－y＋2＝0.
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答案：B
考向直线的倾斜角与斜率
例1直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________________________．
解析：整理曲线C1方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲线C1为以点C1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C2则表示两条直线，即x轴与直线l：y＝m(x＋1)，显然x轴与圆C1有两个交点，知直线l与x轴相交，故有圆心C1到直线l的距离d＝
[必会结论]
直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系
θ 0° 0°<θ<90° 90° 90°<θ<180° k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀：
“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
若将题中条件改为“经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角α的范围．
解析如图，
kAP＝＝1,kBP＝＝－，
k∈(－∞，－][1，＋∞)．
解P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP＝＝，kBP＝＝.
如图可知，直线l斜率的取值范围为.
若将题中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
(－∞，－][1，＋∞)
解如图所示，kPA＝＝－1，kPB＝＝1，由图可观察出：直线l倾斜角α的范围是.
[例6]根据下列条件，求直线方程：
(1)已知直线过点P(－2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1；
(2)过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0.
[解](1)设所求直线的方程为＋＝1.
依题意，得解得或
故所求直线方程是＋y＝1或＋＝1，
即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.
10．已知直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1l2，求m的值．
解：当直线l1和l2都有斜率时，
即m≠0且m≠3时，由＝≠，
解得m＝－4，经验证可知两直线平行．
当直线l1和l2都无斜率时，l1：x＝－，l2：x＝，
显然l1l2，此时m＝3.
综上所述m＝－4或m＝3.
11．求经过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且与原点的距离为1的直线方程．
解：由方程组
解得两条直线的交点A(1,3)．
当斜率存在时，
设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y＋3－k＝0.
∵原点到直线的距离为1，
即＝1，即|3－k|＝，
两边平方，整理，得k＝.
故直线方程为y－3＝(x－1)，
即4x－3y＋5＝0.
当斜率不存在时，直线方程为x＝1，符合题意．
故所求直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0.
【点评】两直线位置关系的判定方法：
(1)给定两条直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，则有下列结论：
l1l2?k1＝k2且b1≠b2；l1l2?k1·k2＝－1.
(2)若给定的方程是一般式，即l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有下列结论：
l1l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0；
l1l2?A1A2＋B1B2＝0.
考向对称问题
命题角度1点关于点的对称
例3过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
解设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
命题角度2点关于线的对称
例4若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是
解得故m＋n＝.
命题角度3直线关于直线的对称
例5直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是()
A．x－2y＋3＝0B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－1＝0
解析设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由得
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
则2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
(1)设mR，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
(2)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是________．
(1)5(2)x＋y－＝0[(1)直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A，B，
A(0,0)，B(1,3)．
当点P与点A(或B)重合时，|PA|·|PB|为零；
当点P与点A，B均不重合时，P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，
APB为直角三角形，|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10，
|PA|·|PB|≤＝＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时，上式等号成立．
(2)由垂直于直线y＝x＋1可设直线方程为x＋y＋b＝0，则有＝1，b＝±，又切点在第一象限，故直线方程为x＋y－＝0.]
主要以选择、填空题的形式考查圆的方程的求法，或利用圆的几何性质、数形结合求函数式的最值．也可与其他曲线结合综合考查圆的方程的应用．
求圆的方程的主要方法是待定系数法，确定圆的方程需要三个独立的条件，求解时要注意结合图形，观察几何特征，简化运算．
[例7]有一圆C与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．
[例10]在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于()
A．3B．2
C.D．1
多在选择题、填空题考查直线方程与圆的方程的求法，涉及直线与圆有关的基本问题，对于直线中内容很少单独考查．
在解决直线与圆的问题时，充分发挥数形结合思想的运用，尤其是涉及弦长问题，多用几何法．
[解]法一：设圆的标准方程，寻找三个方程构成方程组求解．设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CAl，得
解得
所以圆的方程为(x－5)2＋2＝.
[解析]圆x2＋y2＝4的圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝1，圆的半径为2，所以弦长|AB|＝2＝2.
[例8]圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值为()
A．2＋ B．2－
C. D．0
法二：设圆的一般方程求解．
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由CAl，
A(3,6)，B(5,2)在圆上，得
解得
所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
[答案]B
[解析]因为圆x2＋y2＝4的圆心O到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，所以圆上的点到直线距离的最大值为d＋r＝＋2.
12．圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程．
14．(2012·福建高考)直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于()
A．2B．2
C.D．1
[答案]A
解：设所求圆的标准方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(r>0)．因为圆与两坐标轴均相切，故圆心坐标满足x0－y0＝0或x0＋y0＝0.
[例9]已知2a2＋2b2＝c2，则直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4的位置关系是()
A．相交但不过圆心B．过圆心
C．相切D．相离
又圆心在直线5x－3y＝8上，所以5x0－3y0＝8.
由得
由得
所以圆心坐标为(4,4)或(1，－1)，相应的半径为r＝4或r＝1，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
[解析]由已知圆：x2＋y2＝4的圆心到直线ax＋by＋c＝0距离是d＝，又2a2＋2b2＝c2，
|c|＝·，即＝|c|，
13．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
∴d＝＝.
又圆x2＋y2＝4的半径r＝2，
d＜r，故直线与圆x2＋y2＝4相交．
又圆心(0,0)代入直线ax＋by＋c＝0得c＝0，
a＝b＝0，不合题意，故此直线不过圆心．
解：(1)原方程化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为圆心，半径为的圆．
设＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时有＝，解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
[答案]A
(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±.故(y－x)max＝－＋，(y－x)min＝－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知其在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又知圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
当所求直线斜率存在时，设斜率为k，则可设直线方程为y－3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋3＝0.
又圆心(0，－2)到直线的距离d＝＝＝3，则k＝－.则直线方程为8x＋15y－21＝0.
综上所述，所求的直线方程为x＝－3或8x＋15y－21＝0.
解析：圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离为1，所以|AB|＝2＝2.
15．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()
A．(－，)B．(－，0)(0，)
C．[－，]D．(－∞，－)(，＋∞)
答案：B
16．求过点M(－3,3)且被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为8的直线方程．
解：圆的方程x2＋y2＋4y－21＝0可化为x2＋(y＋2)2＝25，半径长R＝5，
当所求直线斜率不存在时，直线方程为x＝－3，满足已知条件．
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