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1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线________ 符号语言 ________ 图形语言 作用 线面垂直线线平行作平行线 平行
a∥b
a⊥l
2．面面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，则_____________垂直于________的直线与另一个平面________ 符号语言 a⊥β 图形语言 作用 面面垂直________垂直作面的垂线 交线
a?α
一个平面内
线面
垂直
自主探究
探究1：直线a直线b，a平面α，则b与α的位置关系如何？
【答案】bα.如图所示，已知a∩α＝A，b∩α＝B，过B作b′α，则b′a，而过线外一点作线的平行线有且只有一条，故b与b′重合，b⊥α.
探究2：由线面垂直的性质定理，知垂直于同一个平面的两条直线平行，试问垂直于同一个平面的两个平面平行吗？
【答案】可能平行，也可能相交．
预习测评
1．下列说法中正确的是()
过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直；
过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；
过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；
过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直．
A．B．
C．D．
【答案】A
2.已知平面α⊥平面β,点A∈α,则过点A且垂直于平面β的直线()
A.只有一条,不一定在平面α内
B.有无数条,不一定在平面α内
C.只有一条,一定在平面α内
D.有无数条,一定在平面α内
【答案】
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MNBC于M，则MN与AB的位置关系是________．
【答案】MNAB
4．给出下列命题：
如果αβ，那么α内所有直线都垂直于平面β；
如果αβ，那么α内一定存在直线平行于平面β；
如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；
如果αγ，βγ，α∩β＝l，那么lγ.
其中正确命题的序号是________．
【答案】
要点阐释
1．直线与平面垂直的其他性质
(1)如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直．
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)若lα于A，APl，则APα.
(4)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．
2．平面与平面垂直的性质
(1)性质定理可简述为：面面垂直，则线面垂直．
(2)性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解(证)问题的重要思想方法．
(3)平面与平面垂直性质定理的推论
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
3．线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的关系
线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化，即：
直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直．
典例剖析
题型一线面垂直性质定理的应用
【例1】如图，已知矩形ABCD，过A作SA平面AC，再过A作AESB交SB于E，过E作EFSC交SC于F.
(1)求证：AFSC；
(2)若平面AEF交SD于G，求证：AGSD.
思路点拨：利用线面垂直的性质得线线垂直，再利用线线垂直得证．
证明：
(1)∵SA⊥平面AC，BC平面AC，
SA⊥BC.
∵ABCD为矩形，AB⊥BC，BC⊥平面SAB，
BC⊥AE.
又AESB，AE⊥平面SBC，AE⊥SC.
又EFSC，SC⊥平面AEF，AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC，SA⊥DC，
又ADDC，DC⊥平面SAD，DC⊥AG.
又由(1)有SC平面AEF，AG平面AEF，
SC⊥AG，AG⊥平面SDC，AG⊥SD.
1．如图所示，已知SA垂直于正方形ABCD所在的平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AESB.
证明：
∵SC⊥平面AEFG，AE平面AEFG，
AE⊥SC.在正方形ABCD中，BCAB.
∵SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，SA⊥BC.
∵SA∩AB＝A，BC⊥平面SAB.
又AE?平面SAB，AE⊥BC.
∵SC∩BC＝C，AE⊥平面SBC，而SB平面SBC，AE⊥SB.
题型二面面垂直性质定理的应用
【例2】如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若A＝90°，AB＝AC，BCD＝90°，D＝60°.
(1)求证：平面ABD平面ACD；
(2)求二面角A－BD－C的正切值．
思路点拨：证面面垂直的常用方法是找出一个平面内的一条直线与另一个平面垂直；(2)关键是找出二面角的平面角．
证明：
(1)
??
??平面ABD平面ADC.
(2)取BC中点E，连AE，AB＝AC，
AE⊥BC，又平面ABC平面BCD，AE⊥平面BCD.
过E作EOBD于O，连OA，由AE平面BCD得AEBD，
由OEBD，BD⊥平面AOE，BD⊥OA.
∴∠AOE即为二面角A－BD－C的平面角．
在RtAOE中，AEO＝90°，
设DC＝a，则BD＝2a，BC＝a，AE＝BE＝a，
由于BOE∽△BCD，
＝，OE＝＝＝a.
tan∠AOE＝＝＝2，
即二面角A－BD－C的正切值为2.
2.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
证明:
证明：在平面PAB内，作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC且平面PAB∩平面PBC=PB,
∴AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.又PA∩AD=A,∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB.
题型三线线、线面、面面垂直的综合应用
【例3】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，
(1)求证：ADPB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论．
思路点拨：(1)只要证AD垂直PB所在的平面即可；(2)是开放性的问题，可以选取特殊点，比如取F为PC的中点来讨论．
证明：
(1)设G为AD的中点，连接PG，
PAD为正三角形，PG⊥AD.
在菱形ABCD中，DAB＝60°，G为AD的中点，
BG⊥AD.
又BG∩PG＝G，AD⊥平面PGB.
PB?平面PGB，AD⊥PB.
(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.
取PC的中点F，连接DE，EF，DF，在PBC中，FEPB.
在菱形ABCD中，GBDE，而FE平面DEF，DE平面DEF，EF∩DE＝E.平面DEF平面PGB.
由(1)得PG平面ABCD，而PG平面PGB，
平面PGB平面ABCD，平面DEF平面ABCD.
方法点评：空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等等，还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.
3.（2013年北京）如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD．
证明：
(1)因为平面PAD⊥平面ABCD且PA垂直于两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD．
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,所以AB∥DE且AB=DE．所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.
又因为BE平面PAD,AD平面PAD,所以BE∥平面PAD．
(3)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形,
所以BE⊥CD,AD⊥CD.由(1),知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD．
所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点,
所以PD∥EF.所以CD⊥EF．
又EF∩BE=E,所以CD⊥平面BEF．
又CD平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD．
误区解密误把结论当题设
【例4】如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是侧棱BB1的中点，求证：平面ADC1平面A1ACC1.
错解：D是棱BB1的中点，BD＝B1D.
又三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，AB＝B1C1，ABD＝C1B1D，
ABD≌△C1B1D.
∴AD＝C1D.取AC1中点E，连接DE，
则DEAC1.而AC1是平面ADC1与平面A1ACC1的交线，
平面ADC1平面A1ACC1.
错因分析：要证的是平面ADC1平面A1ACC1，错解中把它作为了条件．
正解：如图，取AC1中点E，连接DE，取A1C1中点F，连接EF、FB1，则EF綊A1A.
又∵D为B1B中点，B1D綊A1A.
EF綊B1D.四边形EDB1F为平行四边形．
∴DE∥B1F.
又三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，
A1B1C1为正三角形．B1F⊥A1C1.
又平面A1B1C1平面A1ACC1，
B1F⊥平面A1ACC1，
DE⊥平面A1ACC1.而DE平面ADC1，
平面ADC1平面A1ACC1.
纠错心得：有时候利用面面垂直的性质定理来寻找垂线，但是证明时要分清求证结论与题设
课堂总结
1．空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
线线垂直线面垂直面面垂直．
2．立体几何中实现平行与垂直转化的结论常有以下几种：
(1)若ab，aα，则bα；
(2)若aα，bα，则ab(直线与平面垂直的性质定理)；
(3)若aα，aβ，则αβ；
(4)若αβ，aα，则aβ.
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