推广:R11im1+R12im2+R13im3+---+R1mimm=us11R21im1+R22im2
+R23im3+---+R2mimm=uS22-------
-----------------Rm1im1+Rm2im2+Rm3im3+--
-+Rmmimm=uSmmRjk:互电阻（有正负不同）+:流过互阻的两个网孔电流方向相同；-:流过互
阻的两个网孔电流方向相反；其中，Rkk:自电阻(总为正)由此进一步归纳出每个方程为：网孔电流法公式节点电压法与网孔电
流法比较节点电压法公式欧姆定律OL自互(负)自源源互(同正反负)适用于未知节点电压少的情况适用于未知网孔电流少
的情况例1、求解图中电流i解i3i2RSR5R4R3R1R2US+_i图中有三个网孔，设网孔电流为
i1，i2，i3所求电流为：网孔电流公式：网孔1网孔2网孔3解方程组得i2和i3，求得：例求电路中电压U，电流
I和电压源产生的功率。＋4V3A2?－+–IU3?1?2A2A解i14i2i3＋4V3A
2?－+–IU3?1?2A2Ai网孔4：如图等效变换后，i1,i2,i3已知等效变换则：1.叠加
定理(SuperpositionTheorem)在线性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于
电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。2.4叠加定理2.适用范围：适用于线性电路。3.注意：一个电源作用，其余电源
为零电压源为零—短路。电流源为零—开路。应用节点法：(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1G1i
s1G2us2G3us3i2i3+–+–1定理的证明即：还可证明：节点电压和支路电流均为各电源的一次
函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。求电压
源的电流及功率例4?2A70V10?5?2?+－I解画出分电路图＋电流源作用，电桥平衡：70V电压源
作用：I(1)4?2A10?5?2?4?70V10?5?2?+－I(2）则迭加原理只能用于电压
或电流的计算，不能用来求功率，即功率不能叠加。如：运用迭加定理时也可以把电源分组求解，每个分支电路的电源个数可能不止一个
。设：则：R3I3=+齐性原理线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流
)也增大(或减小)同样的倍数。——叠加定理的推论（homogeneityproperty)G1is1G2us2
G3us3i2i3+–+–1例采用倒推法：设i''=1A。则求电流i。RL=2?R1=1?
R2=1?us=51V+–2V2A+–3V+–8V+–21V+–us''=34V3A8A
21A5A13AiR1R1R1R2RL+–usR2R2i''=1A解对于给定的任意一个电路，若某
一支路电压为uk、电流为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于ik的独立电流源，或用一R=uk
/ik的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。ik支路kik+–uk+
–ukik+–ukR=uk/ik2.5置换定理(SubstitutionTheorem)适用条件具有唯一的解的
线性和非线性电路Aik+–uk支路kA+–uk证毕!二.定理的证明ukuk－＋
＋－Aik+–uk支路k+–uk应用：可以从一条支路推广到一部分电路，只要这部分电路与其它电路只有两
个连接点，就可以利用置换定理把电路分成两部分，也可以把一个复杂电路分成若干部分，使计算得到简化。例求图示电路的支路电压和电流
解替代替代以后有：显然替代后各支路电压和电流完全不变。如果已求出U则可用电压源潜代电阻再求其它。＋－i310?5?
5?110V10?i2i1＋－u＋－i310?5?5?110Vi2i1＋－60VI1I
RR8?3V4?b＋－2?+－a20V3?I例已知:uab=0,求电阻R。C1A解
用替代：用结点法：2.6戴维南定理和诺顿定理工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支
路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路),使分析和计
算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。(Thevenin-NortonTheorem)任何一个线
性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uoc
，而电阻等于一端口内部独立源为零时的输入电阻（或等效电阻Req）。2.6.1戴维南定理abiu+-Aiab
ReqUoc+-u+-等效+替代叠加原理A中独立源置零abi+–uNAu''ab+
–Aabi+–uNu''''abi+–AReq戴维南定理证明iabReqUoc+-u
+-(1)开路电压Uoc的计算（2）等效电阻的计算定理的应用戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的
开路电压Uoc。计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源
短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和△－Y互换的方法计算等效
电阻；1开路电压，短路电流法。3外加电源法（加压求流或加流求压）。2abPi+–uReqabPi
+–uReqiSCUocab+–Req等效电阻计算方法I例(1)求开路电压Uoc(2)求输入电
阻Req10?10?+–20V+–Uocab+–10V5?15VabReqUoc+-应
用戴维宁定理解开路时：独立源置零：例计算Rx分别为1.2?、5.2?时的电流IIRxab+–10V4?
6?6?4?解断开Rx支路，将剩余一端口网络化为戴维宁等效电路：+–10Vb4?6?6?4?+-Uo
c求等效电阻ReqReq=4//6+6//4=4.8?Uoc=U1-U2=10?6/(4+6)-10?
4/(4+6)=6-4=2V求开路电压b4?6?6?4?+-UocR多大时能从电路中获得最大功率，并求此
最大功率。15V5V2A+20?+--20?10?5?+-85VR10?2A5?+-85
VR10?0.5A20?50V30?+-R85V5?+-AB80V4.29?+-RAB
R=4.29?时可获得最大功率例任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效置换；电流
源的电流等于该一端口的短路电流，电阻等于该一端口的输入电阻。abiu+-AabReqIsc2.6.2诺顿
定理诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。例求电压U求短路电流Isc解本题用诺顿定理求比较方便。因a、b
处的短路电流比开路电压容易求。ab3?6?+–24V1A3?+–U6?6?6?Iscab3?
6?+–24V3?6?6?6?求等效电阻Reqab3?6?3?6?6?6?Req诺顿等效电路
:Iscab1A4?＋－U3A求得：1、支路电流法支路电流法是以支路电流作为电路的待求
量，列出与支路电流数目相等的电路方程。然后联立解出各支路电流，再进一步求出其他待求量。2、节点电压法是以节点电压为
求解电路的未知量，利用基尔霍夫定律和欧姆定律导出(n-1)个独立节点方程，解该方程求出节点电压，进而求出各未知量。主要用于节点少的
情况。3、网孔电流法以网孔电流作为电路的变量，利用基尔霍夫电压定律(KVL)列写m个网孔电压方程，先求出网孔电流，
进而求出其他未知量。小结支路法、回路法和结点法的比较：(3)回路法、结点法易于编程。目前用计算机分析网络(电网，集成电路设
计等)采用结点法较多。支路法网孔法结点法KCL方程KVL方程n-1m00n-1方程总数mn-1mm
+n-1(1)方程数的比较ΣIi=0;ΣUi=0;U=RI网孔法结点法(2)公式：支路法4、叠加定理
叠加定理是指在含有多个激励源的线性电路中，任一支路的电流（或任意两点间的电压）等于各理想激励源单独作用在该电路时，在该支路中
产生的电流（或两点间产生的电压）的代数和。叠加定理只使用于线性电路中电流和电压的计算，而功率不能应用叠加定理进行计算。5、置换定
理该定理是指在任意的具有唯一解的线性或非线性电路中，若已知第k条支路的电压为uk和电流为ik,无论该支路
是什么元件组成，都可以把这条支路移去，而用一个理想电压源来代替。这个电压源的电压us的大小和极性与K支路电压uk的大小和极
性一致；或用一个理想电流源来代替，这个电流源的电流is的大小和极性与K支路电流ik的大小和极性一致。
在多个电源共同作用的线性电路中，某一支路的电压(电流)等于每个电源单独作用下，在该支路上所产生的电压(电流)的代数和。当电
压源不作用时应视其短，而电流源不作用时则应视其开路。计算功率时不能应用叠加原理。注意I=I?I+?IR1
+–R2ISUS=I?R1+–R2USI??R1R2ISUS+5、戴维南定理和诺顿定理
戴维南定理指出：对于任意一个线性有源二端网络，可用一个电压源及内阻为RS的串联组合来代替。电压源的电压为该网络
N的开路电压uoc，内阻RS等于该网络N中所有理想电源置零时，从网络两端看进去的电阻。诺顿定理指出：对于任意一
个线性有源二端网络，可用一个电流源及内阻为RS的并联组合来代替。电流源的电流为该网络N的短路电流isc，内阻RS等于该网络N中
所有理想电源置零时，从网络两端看进去的电阻。无源二端网络等效为一个电阻ABAB有源二端网络RUSRS
+_R等效有源二端网络等效为一个实际电源ISRSR诺顿定理戴维南定理等效扬州职业大学电子工程系2012
.6贾湛编辑制作主讲：贾湛第二章电阻性网络分析的一般方法2.1支路电流法(branchcurrentmetho
d)2.2节点电压法(nodevoltagemethod)2.3网孔电流法(loopcurrentm
ethod)2.4迭加定理(SuperpositionTheorem)2.5置换定理(Substitutio
nTheorem)2.6戴维南定理和诺顿定理Thevenin-Norton
Theorem本章内容本章学习目的及要求1、掌握支路电流法，知道最一般的求解电路的方法。2、掌握节点电压法、网孔电流
法。并且理解它们分别在什么情况下求解电路方便，能熟练地运用这些方法对电路进行分析、计算。3、掌握戴维南定理，并能在电路分析、计算
中熟练地应用这些定理。4、理解叠加定理、诺顿定理，置换定理。5、能综合地运用电路的分析方法和电路的重要定理求解较复杂电路。
支路电流法(branchcurrentmethod)是最基本的求解电路的方法，以支路电流作为电路的变量，直接应用
基尔霍夫电压、电流定律和欧姆定律列出与支路电流数目相等的独立节点电流方程和回路电压方程，然后联立解出各支路电流。因为电路各元件参数
（电阻和电源）已知，则当各支路电流已知时，其它各电压、功率等都可解出。2.1支路电流法几个常用的电路名词b=3a
b+_R1US1+_US2R2R3l=3n=211231.支路（branch）：电路中几个元件串联
的分支。2.结点（node）：三条或三条以上支路的汇集点。3.回路(loop）：由支路构成的、电路中的任意闭合路径。4.
网孔(mesh）：指不包含任何支路的单一回路。平面电路的每个网眼都是一个网孔。32m=2支路数b结点数n网孔数m存在一定
的关系：尤拉公式网络图论BDACDCBA哥尼斯堡七桥难题图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应
用极为广泛的一门学科。图论知识简介图(Graph)：G={支路，结点}树(Tree)：T是连通图的一个子图，满足：
(1)连通(2)包含所有节点(node)(3)不含闭合路径树支(branch)：构成树的支路连支：属于G而不属于T的支
路123456支路数＝树枝数＋连支数＝结点数－1＋基本回路数GT5123T1
236T树枝数b=结点数n－1连支数=基本回路(Loop)数即网孔(Mesh)数m抛开元件性质一个元件作为一条支
路元件的串联及并联组合作为一条支路543216有向图65432178R4R1R3R2R6
uS+_iR5电路的图3.2KCL和KVL的独立方程数6543214321对节点1:对
节点4:对节点3:对节点2:4123＋＋＋＝0结论1n个结点的电路,独
立的KCL方程为n-1个。即4个方程不独立但1.KCL的独立方程数对回路Ⅰ:u1–u5–u4=0(1)对回路Ⅱ:
u4+u6–u2=0(2)对回路Ⅲ:u5+u3–u6=0(3)对回路Ⅳ:u1+u3–u2=0(4)结论2
2.KVL的独立方程：但(1)+(2)+(3)-(4)=0M个网孔的电路有m个独立的KVL方程则只有3个方程是独立的。
n个结点M个网孔的电路恰有ｂ=m+n-1个支路，正好有m+n-1个独立的KVL和KCL方程，恰好可以求解。n个结点的电路,独
立的KCL方程为n-1个。M个网孔的电路有m个独立的KVL方程（1）确定已知电路的支路数b，并在电路图上标示出各支路电流的参考
方向；（2）应用KCL列写n-1个独立结点电流方程式。（3）应用KVL定律列写m个独立回路的电压方程式。（4）联立求解方程，
求出b个支路电流。支路电流法解题步骤例：求各支路电流及各电压源发出的功率。结点aKCL：–I1–I2+I3=0
回路2KVL：11I2+7I3=6回路1KVL：7I1–11I2=70-6=64解:126Vba+–
+–I1I3I27?11?7?70V在电路中任意选择一个节点为参考点。其它独立节点与参考点之间的
电压，称为该节点的节点电压。节点电压法是以节点电压为求解电路的未知量，利用基尔霍夫电流定律和欧姆定律导出（ｎ–１）
个独立节点电压为未知量的方程，联立求解，得出各节点电压。然后进一步求出各待求量。节点电压法适用于节点少、回路多的电
路的分析求解。2.2节点电压法(nodevoltagemethod)一、结点电压法选结点电压为未知量，
则KVL自动满足，就无需列写KVL方程。各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合，求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流
。基本思想结点电压法列写的是结点上的KCL方程，独立方程数为：(n-1)。与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。原因
是：任意选择参考点，其它结点与参考点的电压差即是结点电压(位)，方向为从独立结点指向参考结点。(uA-uB)+uB-uA=0可
见，KVL自动满足uA-uBuAuB节点电压法是用一组方程来求解各节点的电压，这组方程中每一个可写成优美的节点电压公式节
点电压法公式其中，Gz称自电导，表示与该方程讨论的节点相联的电导；Uz称自电压，表示与该方程讨论的节点的电压（位）；Uh称
互电压，表示与该方程讨论的节点相邻节点的电压（位）；Gh称互电导，表示与该方程讨论的节点与相邻节点间的电导，都是负值；Is表示
与该方程讨论的节点相联的含源支路上的电流；节点电压公式是由KCL与OL归纳整理而来。例iS1uSiS3R1i1i2
i3i4i5R2R5R3R4+_选定如图参考结点，标明其余3个独立结点的电压un1un2un3132
把支路电流用结点电压表示，写出各节点的KCL：结点1：结点2：结点3：KCLun1从一个有代表性的特例的讨论来归纳结
点电压公式整理得：令Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5上方程组简记为：G11un1+G12un2+G
13un3=iSn1G21un1+G22un2+G23un3=iSn2G31un1+G32un2+G33un3
=iSn3G11=G1+G2节点1的自电导G22=G2+G3+G4节点2的自电导G1
2=G21=-G2节点1与节点2之间的互电导G33=G3+G5节点3的自电导G23=
G32=-G3节点2与节点3之间的互电导其中iSn3=-iS2＋uS/R5流入节点3的电流源电流的代数和。
iSn1=iS1+iS2流入节点1的电流源电流的代数和。电流方向以流入节点取正号，流出取负号。G11un1+G12un
2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2????G
n-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1Gii—自电导，总为正。iSni—流
入节点i的所有电流源电流的代数和。Gij=Gji—互电导，总为负。显然可以推广到任意电阻性网络：其中由此进一步归纳出每
个方程为：例列写电路的节点电压方程注意：与电流源串接的电阻不参与列方程。增补方程：U=Un23121V＋
＋＋＋－－－－2?3?2?1?5?3?4VU4U3A解互换不变原理对纯串联和并联电路，任
意调换两个元件的位置不影响外电路。其根据是：串联电阻和并联电导满足交换率。等效等效节点原指三条以上支路的交叉点
，但对电压源来说，因为任意与电压源并联的支路与没有一样。所以电压源与其它元件连接处可以看成虚节点。虚节点可见，ｄ点为虚节点
用虚节点概念和互换不变原理，可以不把电压源变换成电流源，直接列节点电压方程。等效例，如图。用节点电压法求各支路电流。解：由
求得：方法一：电压源等效等效为电流源节点1：节点2：方法二：用虚节点概念和互换不变原理节点1：节点2：虚节
点虚节点虚节点再由得：?节点数越少，运用节点电压法越简单。极限情况就是只有两个节点的情况，该情况节点电压
公式可简单化为弥尔定理。弥尔曼定理弥尔定理弥尔定理用于没有电流源的情况，更一般的情况可由节点电压公式直接推出由负号是因为
互电导为负，当IS为0时，该方程与弥尔定理一样得BI2R1I1U1R2AU2I3R3+_+_在如
图所示电路中，求各支路电流I1、I2、I3已知：U1=12V，U2=3V，R1=4?，R2=4?，R3=4?例：
由弥尔曼公式：解：2.3网孔电流法网孔电流法是以网孔电流作为电路的变量，利用基尔霍夫电压定律列写网孔电
压方程，进行网孔电流的求解。然后再根据电路的要求，进一步求出待求量。(meshcurrentmethod)基本思想
为减少未知量(方程)的个数，假想每个网孔中有一个回路电流。各支路电流可用网孔电流的线性组合表示。于是求出网孔电流就求出了各支路电
流。网孔电流在网孔中是闭合的，对每个相关结点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。因此网孔电流法。不需要用KCL，自然就少了
n-1个方程。独立回路数为2。选图示的两个独立回路，支路电流可表示为：bil1il2+–+–i1i3i2u
S1uS2R1R2R3显然有:i1+i2+(-i3)=0该方程正是a点的KCLa在网孔少的情况下选用该方法，但事实是
网孔极少比节点少的情况，即使少也少不了几个。所以这样的语言几乎等于空话。利用前面说的互换原理，我们就可以发现确实有一些情况用网孔电流法方便。如图9（a）电路：网孔与节点数目一样多，但只要简单地变化一下，变成图9（ｂ）电路，明显就觉得用网孔电流法方便。因为只有一个网孔电流I1是未知的。可见准确地说网孔电流法适用于未知网孔电流少的情况。网孔电流法公式网孔电流法是用一组方程来求解各网孔的电流，这组方程中每一个可写成优美的网孔电流公式其中，Rz称自电阻，表示与该方程讨论的网孔中总的电阻；Iz称自电流，表示与该方程讨论的网孔中的电流；Ih称互电流，表示与该方程讨论的网孔相邻的网孔中电流。Rh称互电阻，表示与该方程讨论的网孔与相邻网孔间的电阻，有正负值；节点电压公式是由KCL与OL归纳整理而来。从一个有代表性的特例的讨论来归纳网孔电流公式i1i3i2im1①+-us3R3+-R2R1us1us2+-im2网孔１KVL：i1R1+i2R2=us1－us2网孔２KVL：i3R3－i2R2=us2－us3(R1+R2)im1－R2im2=us1－us2－R2im1+(R2+R3)im2=us2－us3R11im1+R12im2=us11R21im1+R22im2=us22则i2=i1－i3=im1－im2因可写成R12和R21为网孔1和网孔2互电阻R11和R22为网孔1和网孔2自电阻 |
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