非线性教学方法探讨系列（三）
扬州职大贾湛2007-03-26
三、数学方法
我在我的教育文章中多次讲了，我们的中小学教育，语数外的分量太大，这挤掉了大量科学的内容。这是当今国人科学素质低下的最重要原因。并不是说语数外不重要，我是想说一切知识的学习一定要与其应用相适应。我认为数学课上只能给学生一些数学的规则和推理方法的知识，而不能解决数学的应用问题。因为数学的应用，必须要与具体科学中的概念和方法结合起来。虽然大学里数学建模比赛都是数学系负责组织和培训学生，但国内外极少有大学对非数学专业的开一门数学建模的课。数学可以说是最抽象，思想极其深刻的基础理论，因此如果在数学课上，要求学生理解每个数学知识的抽象过程，和它的实际运用，难度很大，几乎是不可能的。会做数学计算与理解数学不是一回事。数学证明题远远比数学计算题难，这是因为需要数学思想才能做证明题，这是大多数学生难以得心应手的。所以数学课上，重点放在给学生一些类似拼图打牌下棋等游戏般的数学形式的变换知识，这是现实的。想只通过改进数学教学来提高数学应用能力效率是低下的，不现实的。也许至今教育界高官们把数学能力看得太简单，否则就不会让学生在中小学就学那么多数学的细节知识了。他们一定认为数学能力只能在数学课上加强。
按我的教学经验，高职的学生能应用高数解实际问题的能占10%就不错了。并不是说大多数学生把一个积分式写出后不会积分，而是不能根据具体情况写出一个含有微积分的定理的具体形式，即把具体问题转化为数学问题的能力很差。比如一根均匀带电的棒，求它的延长线上的任意一点的电场强度。这是一最简单的积分题目，布置作业前，我知道他们可能解题很困难，我举例做了一条类似的题目，即求一根均匀带电的棒附近任意一点的电场强度。我讲解得非常慢，讲了每个细节，可是作业下来，几乎很少有人正确的写对解题过程。这些学生入校分数并不低，再加30分左右就可以上本科了，竟然是这样的思维水平，我真感到十分痛心，我想这些应试教育环境下成长的学生就这样的思维能力能做什么事情呢？将来如果做学术研究不作假才怪呢。
是什么原因让当今的大学生数学能力很差呢？如果真正懂得整体思维真正理解系统论，就不难找出根源。我不是第一次在我的文章中提出下面的看法：英语水平不能只指望加强英语课教学来提高；道德不能只指望加强思想品德课来培养；同样数学能力也不是全在数学课训练的。英语单词明显在其它各科中容易学习，因为明确一个单词的意义才能牢记理解和运用；道德水平需要班主任和教师在与学生所有的接触中训练和言传身教，因为人常常不是按道德理论做，而是按习惯做；同样数学知识的理解和应用要在各门学科中加强，因为人的知识总是从感性到理性，不接触大量的具体的数学应用问题不容易积累感性认识并随学生的领悟程度提高而获得一定的抽象认识。曾经看到一篇报道说，日本中学的体育教师，给学生训练百米跑，竟然先让学生在教室里计算，以每步迈多大，共用多少步，以多大频率跑才能达标。这在我国，几乎会被许多人认为是荒唐的，但如果真正会整体思维，我想就一定会有教师和校领导支持这样做。相比之下我们的思维其实不是整体思维，而是标准的分裂式思维，每个人只懂各扫门前雪。
数学是理性的代表，数学的研究对象是数与形，将数与形充分结合起来的是哲学之父笛卡尔。他特别推崇数学，推崇演绎思维。正是他的推崇让西方人以理性为荣，以大老粗为耻。笛卡尔名言：“我思故我在。”让西方人人懂得不会独立思考的人算不上真正意义上的人。笛卡尔的普遍怀疑思想和一系列理性思维的方法，让西方人重新审视以往的所有知识，让知识建立在可靠的基础上。牛顿一辈子的榜样就是笛卡尔，牛顿正是在他的影响下成为至今为止公认的最伟大的科学家之一。
数学是科学的皇后，为什么这么说呢？数与形可以是所有事物的属性。所有自然事物，可以没有电荷电场磁场等属性，但一般总有数和形的属性。即它一定有大小有形状（点可以看成是极端情况），并它每具有的任何一个属性都可以设法量化。当研究的事物很抽象，属性很多时，可以类比对自然事物的讨论，即每种属性可以看成一个独立的量，用多维图形来讨论。即使是具体的社会问题，许多情况下都可以找出独立因素将其量化和图形化。这样数学的规律就是一定会派上用场。所以数学是运用最广的基础知识。
在许多哲学家那里数学属于形而上学不属于科学。这是因为他们把科学狭义的看成是必须对应一类客观存在的理论。而数学的抽象性决定了它尽管它存在于许多事物中，但它本身不对应任何一类客观存在。因为没有一个事物只有数与形两种属性。一个具体的事物最起码还要加时间和质量两种属性。因此大多数人认为数学是各门科学的工具而不是具体科学。
有人说数学也是经验科学，菲尔兹奖得主小平邦彦4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=5+5,100=47+53,...，就可以归纳猜想出一个全称判断：除2以外的一切偶数都可表为二个素数的和。确实数学的许多发现也类似于其它科学，不是最初来源于演绎，而是来源于对数和形的观察。我想这是因为对一种公理系统的演绎有无穷多可能，不容易发现一些简捷而有用的结果的原因。但与其它科学相比，数学的需要的观察比其它科学少了多，并且数学需要观察并不需要实验。这里指的实验是狭义的实验，即人为创造条件让现象重现。从这意义上说，数学确实不是经验科学。至少至今为止，数学没有一个定理来自严格意义上的实验。最基础的经验科学应该是物理，物理定律都是实验定律（这里我把物理定理看成来自实验定律加数学知识的演绎结果，严格区别定律与定理）。比如牛顿定律，库仑定律，安培定律中等都是来源于实验。具体科学需要实验，是因为具体的事物是综合的，有较多的因素要考虑，所以有许多规律很难用已知的理论演绎出来。也许随着科学的发展，逐步认识了大自然的最基本规律，由这些最基本的规律可以演绎出如今看起来所有的独立的规律（超大统一理论就是为实现这一梦想）。到那时理论上讲，实验和归纳思维都可以用演绎替代了，但由于许多具体问题演绎的难度太高，还是需要实验和归纳思维。
数学的强大作用至少有以下几个方面：
没有定量的讨论不仅是不容易对事物有细致地认识，而且是不容易证伪的。量化了的概念可以通过数学变换得出实验容易观察的现象，比如我们辩论光是波还是粒子，如果我们不抓住波长和频率这些测量的量做干涉和衍射实验，我们一万年也不会相信光确实是波，反之如果我们不去找反应光的粒子性的可测量的量，如能量和动量，就不可能去实验验证，则怎么凭思辩也不会让人确信光由粒子组成。同样想证明一种药是不是凉性的，却不去找对应的可测量的量实验证明它的作用，则除了科盲迷信外，是得不到科学界的承认的。
没有数学，实验是盲目的，粗糙的。比如，我想证明电荷是量子化的，如果我们就凭了感觉决定直接去测量许多带电体的电量，则你根本就得不到结果。而物理知识扎实的密立根却设想，用在电场中喷洒极细小的油滴的方法，产生极小的电荷，这样就可以通过理论推算，找到一定的数学关系，通过测量带电油滴下落的时间来得到每个油滴的电荷大小，比较它们的差别就可以发现是否有整数倍的关系。
没有数学，定性分析难以确保正确，也不容易细致。比如，在我们讨论问题时，说一个量是随另一个量的变化而变化，那么是什么变化呢？如果是成正比反比或线性关系，那么一般语言述说还能胜任。但复杂点，是非线性的，则非线性的方式有许多，是象正弦余弦那样波浪式变化呢？还是指数函数对数函数关系变化呢？语言是说不清楚的，况且有许多变量的情况下，它们的相互关系如果已知其数学形式则定性分析更准确。有些数学难进入的学科，半形式化的公式也有起着多种因素模糊推理的作用，这样比仅用语言推理较全面。
有了数学，理论容易扩展。我们如今对世界的认识之所以能大大超过上天给我的感觉，这完全是我们勤奋地发挥大脑的想象力的过程。想象力有两种，一种是没有根据的乱想，一种是在原有意识上的延伸。乱想能有实用价值的情况是很少的，是很偶然的，所以是效率低下的。但在古代，许多发现确实是乱联系产生的，但整个古代又有多少知识呢？并且乱想的利不一定是大于弊，乱想养成习惯，会盲目相信乱想，造成混乱甚至是非颠倒。这是落后民族的最主要特征。地理大发现之初印第安人轻易败在白人的手下，完全的他们自己容易相信迷信造成的，如把白人看成神，结果一两个白人就可以成为他们的统治者。但原有思维的延伸却常常让我们有新的发现。已知一个定律后，稍加改变是否能有新结果呢？这是科学发明史上常见的。比如，安培定律，是电流在磁场中受力的关系，而电流是运动的电荷组成的，那么运动的电荷受力情况是否类似呢？经过简单推导就可以得到洛仑兹力公式。假如只知道有磁力，而写不出磁力的具体数学形式，就不可能发现洛仑兹力关系。在物理中最典型地运用数学扩展就是维数概念的扩展。爱因斯坦将时间也空间化，把狭义相对论用闵可夫斯基空间描述；统计力学更抽象的用一个分子的广义动量和广义坐标构成是2r维的子相空间（子相宇），把N个分子组成的系统用2rN维大相空间（大相宇）来讨论；在量子力学中，描写微观状态用的是希尔伯特空间。这是无限维复函数空间。这些空间与欧氏空间除了维数不同外有许多相似的性质，如这些空间中事物的状态都可以用其一个点表示，这个点又可以用矢量表示，而这些矢量都可以在各坐标轴上分解，它们的基矢内积满足正交归一条件，其中的面都一定是N-1维的…。分形的研究更进一步探讨维数的本质。面积和体积可表示为λD=K，则维数就可以表示为数学形式D=logK/logλ，就可以把维数推广到分数。显然数学能让我们大脑的创造性充分发挥作用，但这种创造是在原来的基础上变化出来的，有效性远比没有数学的乱猜想概率高。
有了数学，容易发现问题，从而有新的创新。一些相关的概念量化后，就可以找出他们的关系，他们的关系的数学形式不一定的一开始就能精确的找到，但一旦发现这个关系与其它定律相矛盾，即出现理论不自洽，或实验发现有问题，就可以怀疑它，就可以修正它，甚至用其它关系取代它，这样的过程，其实就是创新的过程。另一方面，不一定要发现原有理论有错才有创新，比如将原有的公理系统改变一点点就可能得到一个新的公理体系。非欧几何就是这样创造出来的。原则上说，可以任意选择独立的公理组成公理系统，只要不包含矛盾。
说数学是强大的，但并不是说数学是万能的。在许多问题难以找到数学模型时，只能定性的逻辑推理。比如至今社会科学主要工具还是一般的语言逻辑。数学不是万能的，至少有以下几个理由：
数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。BZ反应湍流洛仑兹洛仑兹4种类型。就是说，此刻所知道的公理系只有4个。除这4个以外，还有没有有趣的游戏呢？例如四子棋、六子棋、或者更一般的n子棋又如何呢？实际上下n子棋，当n在4以下，先手必胜，即刻分出胜负，所以索然无味；而当n在6以上时，则永远分不出胜负，也毫无意思。发现这种新的有趣的游戏并不容易。”另外，数学游戏必需在现实中找到正好适用的对象才能成为科学的工具。打仗不能用下军棋思路，是因为军棋规则只是很小部分类似战争。黎曼几何恰能用于广义相对论，但罗式几何数学的印象数学思想方法与数学教学遍历理论
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Hilber空间
微分几何学历史简介
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