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函数的基本性质
函数的单调性与最大(小值)
第1课时函数的单调性
知识点1增函数与减函数
【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知f(x)=，因为f(-1)
(2)增减函数定义中的“任意两个自变量的值x1，x2”可以改为“存在两个自变量的值x1，x2”．()
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．()
知识点2函数的单调区间
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间．
【预习评价】
(1)函数f(x)=x2＋2x-3的单调减区间是________．
(2)函数y=|x|在区间[-2，-1]上()
A．递减 B．递增 C．先减后增 D．先增后减
题型一求函数的单调区间
【例1】(1)如图所示的是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数．
(2)画出函数y=-x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
规律方法根据函数的图象求函数单调区间的方法：
(1)作出函数图象；
(2)把函数图象向x轴作正投影；
(3)图象上升对应增区间，图象下降对应减区间．
【训练1】函数y=的单调减区间是________．
题型二证明函数的单调性
【例2】证明函数f(x)=x＋在区间(2，＋∞)上是增函数．
规律方法利用定义证明函数单调性的步骤
【训练2】证明函数f(x)=在(-∞，0)上是增函数．
题型三用单调性解不等式
【例3】已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数，且f(1-a)
【训练3】已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数，则满足f(x)
题型四根据函数的单调性求参数的取值范围
【探究1】若函数y=ax＋5是(-∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．
【探究2】已知函数y=x2＋2ax＋3在区间(-∞，1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
【探究3】分别作出函数f(x)=和g(x)=的图象，并根据其图象的变化趋势判断它们在(-∞，＋∞)上的单调性．
【探究4】已知函数f(x)=是减函数，求实数a的取值范围．
【探究5】若函数f(x)=是减函数，求实数a的取值范围．
规律方法：已知函数的单调性求参数的关注点
(1)视参数为已知数，依据基本初等函数的单调性、函数的图象或函数的单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知的单调区间比较求参数；
(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的函数值的大小关系．
课堂达标
1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是()
A．y=2x＋1B．y=x2＋1C．y=3-xD．y=x2＋2x＋1
2．函数f(x)=-x2＋2x＋3的单调减区间是()
A．(-∞，1)B．(1，＋∞) C．(-∞，2) D．(2，＋∞)
3．若f(x)=(2k-3)x＋2是R上的增函数，则实数k的取值范围是________．
4．若函数f(x)是R上的减函数，且f(a-1)>f(2a)，则a的取值范围是________．
5．证明f(x)=x2＋x在(0，＋∞)上是增函数．
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函数的奇偶性
知识点函数的奇偶性
函数的奇偶性：
奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数y=f(x)，若存在x，使f(-x)=-f(x)，则函数y=f(x)一定是奇函数．()
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．()
(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．()
题型一函数奇偶性的判断
【例1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=2-|x|；(2)f(x)=＋；(3)f(x)=；(4)f(x)=
规律方法：判断函数奇偶性的两种方法：
(1)定义法：
(2)图象法：
【训练1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x3＋x5；(2)f(x)=|x＋1|＋|x-1|；(3)f(x)=.
题型二奇、偶函数的图象问题
【例2】已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[-5,0]上的图象．(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
规律方法：
1.巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性．
(2)作出函数在[0，＋∞)(或(-∞，0])上对应的图象．
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．
2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略
(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．
(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．
【训练2】已知偶函数f(x)的一部分图象如图，试画出该函数在y轴另一侧的图象，并比较f(2)，f(4)的大小．
题型三函数奇偶性的应用
方向1利用奇偶性求函数值：
【例3-1】已知f(x)=x5＋ax3＋bx-8，若f(-3)=10，则f(3)=()
A．26 B．18 C．10 D．-26
方向2利用奇偶性求参数值
【例3-2】若函数f(x)=为奇函数，则a=________.
方向3利用奇偶性求函数的解析式
【例3-3】已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)=2x-1，求函数f(x)的解析式．
规律方法：
1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值的方法：利用函数的奇偶性的定义f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)可求函数值，比较f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的系数可求参数值．
2．利用函数奇偶性求函数解析式的步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x)，从而解出f(x)．
课堂达标
1．下列函数是偶函数的是()
A．y=x B．y=2x2-3 C．y= D．y=x2，x∈(-1,1]
2．若函数f(x)=(m-1)x2＋(m-2)x＋(m2-7m＋12)为偶函数，则m的值是()
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=-x2＋-1，则f(-2)=________.
4．如图，已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且f(3)=0，则不等式f(x)<0的解集为________．
5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x＋1，求f(x)的解析式．
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参考答案
第1课时函数的单调性
【预习评价】提示：(1)×，由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量．
(2)×，不能改为“存在两个自变量的值x1、x2”．
(3)×，反例：f(x)=
知识点2函数的单调区间
【预习评价】解析：(1)二次函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x=-1，故其单调减区间是(-∞，-1)．
(2)函数y=|x|的单减区间是(-∞，0)，又[-2，-1]?(-∞，0)，所以函数y=|x|在区间[-2，-1]上递减．
答案：(1)(-∞，-1)(2)A
【例1】(1)解析：观察图象可知，y=f(x)的单调区间有[-5，-2]，[-2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y=f(x)在区间[-5，-2]，[1,3]上是增函数，在区间[-2,1]，[3,5]上是减函数．
答案[-2,1][3,5][-5，-2][1,3]
(2)解y=即y=
函数的大致图象如图所示，单调增区间为(-∞，-1]，[0,1]，单调减区间为[-1,0]，[1，＋∞)．
【训练1】解析：y=的图象可由函数y=的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(-∞，1)和(1，＋∞)．
答案(-∞，1)，(1，＋∞)
【例2】证明：任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1
则f(x1)-f(x2)=x1＋-x2-=(x1-x2)＋=(x1-x2).
因为24，x1x2-4>0，所以f(x1)-f(x2)<0，
即f(x1)
【训练2】证明：设x1，x2是区间(-∞，0)上任意两个实数，且x1
则f(x1)-f(x2)=-==.
因为x10，x1＋x2<0，xx>0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)
所以函数f(x)=在(-∞，0)上是增函数．
【例3】解：由题知解得0
【训练3】解析:由题意得解得-1≤x<.答案[-1,0.5).
【探究1】答案(-∞，0)
【探究2】解析:函数y=x2＋2ax＋3的图象开口向上，对称轴为x=-a，要使其在区间(-∞，1]上是减函数，则-a≥1，即a≤-1.答案(-∞，-1]
【探究3】解：函数f(x)的图象如图(1)所示，由其图象可知f(x)在(-∞，＋∞)上是减函数；
函数g(x)的图象如图(2)所示，由其图象可知g(x)在(-∞，＋∞)上既不是增函数，也不是减函数．
【探究4】已知函数f(x)=是减函数，求实数a的取值范围．
解：由题意得，要使f(x)是减函数，需-2×1＋5≥-2×1＋a，即a≤5.
【探究5】解：由题意可得解得-3≤a≤-1，则实数a的取值范围是[-3，-1]．
课堂达标
1．解析:函数y=3-x在区间(0，＋∞)上是减函数．答案C
2．解析:易知函数f(x)=-x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x=1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．答案B
3．解析:由题意得2k-3>0，即k>1.5，故k的取值范围是(1.5,+∞).答案(1.5,+∞).
4．解析:由条件可知a-1<2a，解得a>-1.答案(-1，＋∞)
5．证明:设x1>x2>0，则f(x1)-f(x2)=x＋x1-x-x2=(x1-x2)(x1＋x2)＋(x1-x2)=(x1-x2)(x1＋x2＋1)，
因为x1>x2>0，所以x1-x2>0，x1＋x2＋1>0，所以f(x1)-f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，所以f(x)=x2＋x在(0，＋∞)上是增函数．
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函数的奇偶性
【预习评价】提示：(1)×反例：f(x)=x2，存在x=0，f(-0)=-f(0)=0，但函数f(x)=x2不是奇函数；
(2)×存在f(x)=0，x∈R既是奇函数，又是偶函数；
(3)×函数f(x)=x2-2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数．
【例1】
解：(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x)，∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{-1,1}，关于原点对称，且f(x)=0，
又∵f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(-∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，-x<0，f(-x)=1-(-x)=1＋x=f(x)；
当x<0时，-x>0，f(-x)=1＋(-x)=1-x=f(x)．
综上可知，对于x∈(-∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(-x)=f(x)，f(x)为偶函数．
【训练1】解：(1)函数的定义域为R.∵f(-x)=(-x)3＋(-x)5=-(x3＋x5)=-f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R.∵f(-x)=|-x＋1|＋|-x-1|=|x-1|＋|x＋1|=f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(-∞，-1)∪(-1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
【例2】解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称．由y=f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[-5,0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5)．
【训练2】解：f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，如图，
由图象知，f(2)
【例3-1】解析：法一由f(x)=x5＋ax3＋bx-8，得f(x)＋8=x5＋ax3＋bx.
令G(x)=x5＋ax3＋bx=f(x)＋8，
∵G(-x)=(-x)5＋a(-x)3＋b(-x)=-(x5＋ax3＋bx)=-G(x)，
∴G(x)是奇函数，∴G(-3)=-G(3)，即f(-3)＋8=-f(3)-8.又f(-3)=10，
∴f(3)=-f(-3)-16=-10-16=-26.
法二由已知条件，得
①＋②得f(3)＋f(-3)=-16，又f(-3)=10，∴f(3)=-26.答案D
【例3-2】解析：∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即=-，
显然x≠0，整理得x2-(a＋1)x＋a=x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1=0，解得a=-1.答案-1
【例3-3】解：当x＜0，-x＞0，∴f(-x)=2(-x)-1=-2x-1.
又∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)=2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函数，
∴f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.∴所求函数的解析式为f(x)=
课堂达标
1．解析：对于A，f(-x)=-x=-f(x)，是奇函数；对于B，定义域为R，满足f(x)=f(-x)，是偶函数；
对于C和D，定义域不关于原点对称，则不是偶函数，故选B．答案B
2．解析：f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x＋(m2-7m＋12)，f(x)=(m-1)x2＋(m-2)x＋(m2-7m＋12)，由f(-x)=f(x)，
得m-2=0，即m=2.答案B
3．解析：f(2)=-22＋-1=-，又f(x)是奇函数，故f(-2)=-f(2)=.答案
4．解析：由条件利用偶函数的性质，画出函数f(x)在R上的简图：数形结合可得不等式f(x)<0的解集为(-3,0)∪(0,3)．
答案(-3,0)∪(0,3)
5．解当x<0时，-x>0，∴f(-x)=-x＋1，又f(-x)=-f(x)，故f(x)=x-1，
又f(0)=0，所以f(x)=
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