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【专题培优】2018年 九年级数学上册 二次函数压轴题 培优专题(含答案)
2018-10-14 | 阅:  转:  |  分享 
  
2018年九年级数学上册二次函数压轴题培优专题

如图,已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C

(1)求点A,B,C的坐标;

(2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积;

(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得ACM是等腰三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.























(1)求抛物线的解析式;

(2)点M是线段BC上的点(不与BC重合



















如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.

(1)求A、B、C三点的坐标;

(2)在抛物线的对称轴上找到点P,使得△PBC的周长最小,并求出点P的坐标;

(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G为顶点四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出F点坐标;如果不存在,请说明理由.















在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点(1,0).

(1)求抛物线的表达式;

(2)把﹣4<x<1时的函数图象记为H,求此时函数y的取值范围;

(3)在(2)的条件下,将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象H的其余部分保持不变,得到一个新图象M.若直线y=x+b与图象M有三个公共点,求b的取值范围.



















如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M(﹣2,﹣4),与x轴交于A、B两点,且A(﹣6,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)求△ABC的面积;

(3)能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P,使△APC的面积最大?若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由.



















如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3).

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)若点P在抛物线上,且S△AOP=4S△BOC,求点P的坐标;

(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值.





















如图,关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.

(1)求二次函数的解析式;

(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;

(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到达点B时,点M,N同时停止运动,问点M,N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.



















如图,矩形的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)求AD的长;

(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当PAD的周长最小时,求点P的坐标.



















(1)求抛物线的解析式和对称轴;

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.



















如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A坐标为(4,0).

(1)求该抛物线的解析式;

(2)抛物线的顶点为N,在x轴上找一点K,使CK+KN最小,并求出点K的坐标;

(3)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;

(4)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.



参考答案

解:

解:(1)y=-x2+2x+3

(2)易求直线BC的解析式为y=-x+3,∴M(m,-m+3),又∵MN⊥x轴,∴N(m,-m2+2m+3),∴MN=(-m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+3m(0<m<3)

(3)S△BNC=S△CMN+S△MNB=|MN|·|OB|,∴当|MN|最大时,△BNC的面积最大,MN=-m2+3m=-(m-)2+,所以当m=时,△BNC的面积最大为××3=

(1)A(﹣1,0)B(3,0)C(2,﹣3)

设直线AC的解析式为:y=kx+b,解得,k=-1,b=-1,∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1,

由抛物线的对称性可知,点A与点B关于对称轴x=1对称,

∴连接AC与x=1交于点P,点即为所求,当x=1时,y=﹣2,则点P的坐标为(1,﹣2);

(3)存在4个这样的点F,F点坐标是:(﹣3,0)或(1,0)或(4+,0)或(4﹣,0)

解:(1)∵二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点(1,0),

∴1+m+2m﹣7=0,解得m=2.∴抛物线的表达式为y=x2+2x﹣3;

(2)y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4.

∵当﹣4<x<﹣1时,y随x增大而减小;

当﹣1≤x<1时,y随x增大而增大,∴当x=﹣1,y最小=﹣4.

当x=﹣4时,y=5.∴﹣4<x<1时,y的取值范围是﹣4≤y<5;

(3)y=x2+2x﹣3与x轴交于点(﹣3,0),(1,0).新图象M如右图红色部分.

把抛物线y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,则翻折部分的抛物线解析式为y=﹣(x+1)2+4(﹣3≤x≤1),

当直线y=x+b经过(﹣3,0)时,直线y=x+b与图象M有两个公共点,此时b=3;

当直线y=x+b与抛物线y=﹣(x+1)2+4(﹣3≤x≤1)相切时,直线y=x+b与图象M有两个公共点,

即﹣(x+1)2+4=x+b有相等的实数解,整理得x2+3x+b﹣3=0,△=32﹣4(b﹣3)=0,解得b=.

结合图象可得,直线y=x+b与图象M有三个公共点,b的取值范围是3<b<.



解:(1)设此函数的解析式为y=a(x+h)2+k,

∵函数图象顶点为M(﹣2,﹣4),∴y=a(x+2)2﹣4,

又∵函数图象经过点A(﹣6,0),∴0=a(﹣6+2)2﹣4解得a=,

∴此函数的解析式为y=(x+2)2﹣4,即y=x2+x﹣3;

(2)∵点C是函数y=x2+x﹣3的图象与y轴的交点,∴点C的坐标是(0,﹣3),

又当y=0时,有y=x2+x﹣3=0,解得x1=﹣6,x2=2,∴点B的坐标是(2,0),

则S△ABC=|AB|?|OC|=×8×3=12;

(3)假设存在这样的点,过点P作PE⊥x轴于点E,交AC于点F.

设E(x,0),则P(x,x2+x﹣3),



设直线AC的解析式为y=kx+b,

∵直线AC过点A(﹣6,0),C(0,﹣3),∴,解得,

∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3,∴点F的坐标为F(x,﹣x﹣3),

则|PF|=﹣x﹣3﹣(x2+x﹣3)=﹣x2﹣x,

∴S△APC=S△APF+S△CPF=|PF|?|AE|+|PF|?|OE|

=|PF|?|OA|=(﹣x2﹣x)×6=﹣x2﹣x=﹣(x+3)2+,

∴当x=﹣3时,S△APC有最大值,此时点P的坐标是P(﹣3,﹣).























解:





解:

(1)四边形ABCD是矩形,B(10,8),A(10,0),

又抛物线经过A、E、O三点,把点的坐标代入抛物线解析式可得

,解得,抛物线的解析式为y=﹣x2+x;

(2)由题意可知:AD=DE,BE=10﹣6=4,AB=8,设AD=x,则ED=x,BD=AB﹣AD=8﹣x,

在RtBDE中,由勾股定理可知ED2=EB2+BD2,即x2=42+(8﹣x)2,解得x=5,

AD=5;

(3)y=﹣x2+x,其对称轴为x=5,A、O两点关于对称轴对称,PA=PO,

当P、O、D三点在一条直线上时,PA+PD=PO+PD=OD,此时PAD的周长最小,

如图,连接OD交对称轴于点P,则该点即为满足条件的点P,

由(2)可知D点的坐标为(10,5),

设直线OD解析式为y=kx,把D点坐标代入可得5=10k,解得k=,直线OD解析式为y=x,

令x=5,可得y=,P点坐标为(5,).



解:(1)∵抛物线经过点C(0,4),A(4,0),∴,解得,

∴抛物线解析式为y=﹣;(2)由(1)可求得抛物线顶点为N(1,),

如图1,作点C关于x轴的对称点C′(0,﹣4),连接C′N交x轴于点K,则K点即为所求,



设直线C′N的解析式为y=kx+b,把C′、N点坐标代入可得,解得,

∴直线C′N的解析式为y=,令y=0,解得x=,∴点K的坐标为(,0);

(3)设点Q(m,0),过点E作EG⊥x轴于点G,如图2,

由﹣=0,得x1=﹣2,x2=4,∴点B的坐标为(﹣2,0),AB=6,BQ=m+2,

又∵QE∥AC,∴△BQE≌△BAC,∴,即,解得EG=;

∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ===.

又∵﹣2≤m≤4,∴当m=1时,S△CQE有最大值3,此时Q(1,0);

(4)存在.在△ODF中,

(ⅰ)若DO=DF,∵A(4,0),D(2,0),∴AD=OD=DF=2.

又在Rt△AOC中,OA=OC=4,∴∠OAC=45°.∴∠DFA=∠OAC=45°.

∴∠ADF=90°.此时,点F的坐标为(2,2).

由﹣=2,得x1=1+,x2=1﹣.此时,点P的坐标为:P1(1+,2)或P2(1﹣,2);(ⅱ)若FO=FD,过点F作FM⊥x轴于点M.由等腰三角形的性质得:OM=OD=1,∴AM=3.∴在等腰直角△AMF中,MF=AM=3.∴F(1,3).由﹣=3,得x1=1+,x2=1﹣.此时,点P的坐标为:P3(1+,3)或P4(1﹣,3);

(ⅲ)若OD=OF,∵OA=OC=4,且∠AOC=90°.∴AC=4.

∴点O到AC的距离为2.而OF=OD=2<2,与OF≥2矛盾.

∴在AC上不存在点使得OF=OD=2.此时,不存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形.

综上所述,存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形.所求点P的坐标为:(1+,2)或(1﹣,2)或(1+,3)或(1﹣,3).























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