本章学习目的及要求2.1交流电的基本概念2.1.2正弦量的有效值复数运算2.3单一参数的交流电路【例】2.4提高功率因数
的意义和方法三相输电相电压的相量表示2.△联接2.6三相交流电路功率的计算若三相电流对称，设同理代入上式得：
则AI.030CI.A’C’I.B’A’I.BI.C’B’I.分别滞后
、、30°。、、相位关系：大小关系：归纳三相电源相电压为220V，三相负载中每相阻抗为（40+j90）
Ω，线路阻抗不计。求：（1）电源为Y联接，负载分别为Y（带中线）和△联接；（2）电源为△联接，负载分别为Y和△联接时负载的相
电流和线电流。..ZAAUZBBUZCCUNZCIB
IAININN’......ZAZBZCCIBIAINAUCU
BU.....【例】由上所述，可知电感线圈不消耗能量，而是把吸收的能量转化为磁场能量存储起来，假设在开始
时刻，电流为零，即i(t=0)=0A。用W表示电感的磁场能量，那么有（3）电感的磁场能量将一个12.75mH的电感线圈接
于220V、50Hz电源上。（1）试求线圈的感抗、电流的有效值；如电源的初相位为零，写出电流的瞬时值表达式;画出电流和电压的相
量图，计算电路的无功功率。(2)如将电源的频率变为1000Hz，再求线圈的感抗和电流的有效值。(1)XL=2πfL=
23.14×50×12.75×10-3=4ΩI=U/XL=220/4=55A则：i=55×1.414×sin314tA
相量图如图所示。无功功率QL=ULI=220×55=12100var(2)如将电源的频率变为1000H
z,那么XL=2πfL=2×3.14×1000×12.75×10-3=80ΩI=U/XL=220/80=2.75
A解（1）电容的基本知识电容是反映电容器存储电荷能力的物理量，用大写字母C表示。它的单位是法［拉］（F）。在电
容器两端加电压为U的电源后，电容器两极板上便储存了等量异种电荷Q。电容器的电容定义：2.3.3纯电容电路SdiC
(t)u(t)C+-假电容器两端电压为：u=Umsinωt那么，电容器上的电量为:q=Cu=CUms
inωt式中：Im=ωCUm令XC=1/ωC=2πfC——容抗，单位为欧姆。Um=ImXC→U=IX
C（2）电容器的电压与电流的关系归纳：①纯电容元件不改变电路的频率，电容上的电压和电流的频率都与电源频率相同
。②纯电容电路中，电流相位超前电压相位π/2。③纯电容电路中，电流和电压的有效值和最大值符合欧姆定律；而它们的
瞬时值是一种微分关系。相位关系：φu=φi-90°或①瞬时
功率p=ui=Umsinωt·Imsin(ωt+π/2)=UIsin2ωt瞬时功率是随时间按正弦规律变化的，且其频率是电源频率
的两倍。②有功功率由功率波形图看出上方和下方的面积相等，有功功率为零。③无功功率能量互换规模（3）电容的
电功率由上所述，可知电容元件不消耗能量，而是把吸收的能量转化为电场能量存储起来，假设在开始时刻，电压为零，即u(t=0)=0
V。用W表示电容的电场能量，那么有（4）电容的电场能量将一个636μF的电容接于电压u=311sin(3
14t+30°)电源上。(1)试求电容的容抗，通过电容的电流的有效值，写出电流的瞬时值表达式，画出电流和电压的相量图，计算电
路的无功功率。(2)如将电源的频率变为500Hz，再求电容的容抗和电流的有效值。(1)XC=1/(2πfC)=1
/(2×3.14×50×636×10-6)=5ΩI=U/XC=311/(3.414×5)=44A因电容的电流相位超前
电压90°,则：i=44×3.414×sin(314t+120°)AQC=UCI=220×44=9680
var(2)XC=1/(2πfC)=0.5ΩI=UXC=311/(3.414×0.5)=440A【例】
解电路参数电路图（正方向）复数阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Ri
u设则u、i同相0LiuCiu设则设则u领先i90°u落后i90°00基本关系
2.4.1电阻与电感的串联电路（1）总电压与电流的关系如图所示，由于电阻R与电感L串联，电流相同。假设电流i=I
msinωt由欧姆定律，可得电阻上的电压为uR=iR=ImRsinωt由上节知识可知，电感上的电压
uL=Ldi/dt=ImXLsin(ωt+π/2)根据基尔霍夫电压定律，总电压为：u=uR+uL=
ImRsinωt+ImXLsin(ωt+π/2)三角函数计算非常繁琐，利用相量计算，所以有显然阻抗Z、电阻R和阻抗
XL也组成一个三角形，称为阻抗三角形——称为阻抗，单位为欧姆.由相量图①相位关系，总电压相位超前电阻电压φ角
②电阻和电感两端电压与总电压的数值关系UR=UcosφUL=Usinφ（2）总电压和电阻、电感两端电压的关
系（3）功率关系①有功功率就是电阻的平均功率，即：P=UIcosφ=URI=I2R=UR2/R②无功功率
就是电感的无功功率，即：Q=UIsinφ=ULI=I2XL=UL2/XL③视在功率：S=UI，单位为伏安（V·A）几
个功率的关系在电路中，有功功率与视在功率的比值称为功率因数，用cosφ表示，φ角称为功率因数角，又为阻抗角。结合前面知识有：
（4）功率因数阻抗角小功率因素大，有功功率相对较大。将3Ω的电阻和12.75mH的电感串联接在220V、50Hz的电源上
，试求：(1)感抗XL、阻抗Z、电路的电流的有效值I、电感上的电压UL、电阻上的电压UR，这两个电压加起来是否等于总电压22
0V？(2)电路的有功功率P、无功功率Q、视在功率S及功率因数。(1)XL=2πfL=2×3.14×50×12
.75×10-3=4Ω【例】I=U/Z=220/5=44AUL=IXL=44×4=176VUR=
IR=44×3=132VUR+UL=132+176=308V≠U(2)P=URI=132×44=5808WQ=ULI=
176×44=7744varS=UI=220×44=9680V·Acosφ=R/Z=3/5=0.6解（1）充分发挥
电源设备的利用率因为发电机和变压器电源设备在正常运行时不能超过其额定电压U和额定电流I，由P=Scosφ可知，功率因数越高
，电源供出的有功功率就越大，电源设备的利用率就越高。（2）节约电能和减小电压损失当负载的有功功率P和供电系统的输电电压
U一定时，功率因数越高，电路中的电流就越小。2.4.2提高功率因数的意义（1）合理选用各种电气设备电动机和变压
器在空载或轻载运行时，它们的功率因数很低，所以要正确选择变压器和电动机的容量，原则上要求尽可能满载运行。（2）用并联补偿电容
的方法并联电容前电路的功率因数cosφL=P/SL2.4.3提高功率因数的方法并联电容后电路的功率因数
cosφ=P/S（3）补偿电容和补偿无功功率的计算可得补偿电容为电容上的无功功率有一
额定功率为100W、额定电压为220V的感性负载，功率因数为0.6,接于220V、50Hz的电源上，欲将功率因数提高到0.9，需并
联多大的电容器？补偿的无功功率为多大？由题中所述，可得tanφL=1.33tanφ=0.48
所以补偿电容C和电容上的无功功率QC【例】解一．三相电源1.三相电源的产生通常由三相交流发电机产生，三相绕
组在空间互差120°，当转子转动时，在三相绕组中产生感应电压，从而形成三相电源。三相交流发电机示意图NSooIwA
ZBXCY2.5.1三相交流电源2.5三相交流电路2.三相交流发电机电压AuAXBuBYC
uCZA、B、C为三相电源的首端，X、Y、Z为三相电源的末端。每一个理想电压源称为一相，其电压称为相电压。若设A相电
压的初相角为0°，则三相电压瞬时值表达式为：由波形图可得：utwAupBuCup2三相交流电波形由
相量图可知CU.BU.o120o120o120AU.AU.BU.CU.三相电压的
相量表示定义：三相电源中各相电源经过同一值(如最大值)的先后顺序。正序(顺序)：A—B—C—A反序(逆序)：A—C—B—A
ABCABC相序的实际意义：对三相电动机，如果相序反了，就会反转。MABC123MCBA12
3正转反转3.对称三相电源的相序XZYNBCA现代电力工程上几乎都采用Y连接三相四线制。线电压——火线与
火线之间的电压相电压——火线与零线之间的电压中线(零线)——由电源绕组尾端公共连接点引出的导线相线(火线)——由电源绕组首
端引出的导线二、三相电源的连接火线火线火线中线(零线或地线)AuBuCuABCN-UBUAB
UC-UBCUA-线电压与相电压之间的关系为：由相量图得UCACABN+++---线电压是相电
压√3倍线电压超前相电压30°我国电力系统一般工频50HZ相电压220V线电压220√3=380VUA（2）线、相电压的关
系由电路图可得2.三角形联接（△）：三个绕组始末端顺序相接。（1）联接方式如图示，三角形联接的对称三相电源没有中点。
uABABCAuBuCuuBCuCA（3）思考:若对称三相电源△有一相接反会怎发
生什么现象？正确接法错误接法I=0,?接电源中不会产生环流。I?0,?接电源中将会产生环流。注意：关
于?接始端末端要依次相连。目前，交流电在工农业生产中的应用几乎全是三相制，因为它具有许多优点：?????(1)在
尺寸相同的情况下，三相发电机比单相发电机输出的功率大；?????(2)在输电距离、输电电压、输送功率和线路损耗相同的条件下
，三相输电比单相输电可节省25%的有色金属；(3)单相电路的瞬时功率随时间交变，而对称三相电路的瞬时功率是恒定的，这使得
三相电动机具有恒定转矩，比单相电动机的性能好，结构简单、便于维护。Z~每相负载阻抗N''~负载中性点ZN~中线阻抗Zl
~线路阻抗1.Y联接N~电源中性点三相四线制N’ZAZBZCCIBIAINI...
..CllZZlZNZBAAUBUCUN..2.5.2三相负载的联接三相
对称时相电流～流过每相负载的电流
线电流～流过端线的电流三相负载采用Y联接时，线电流与相电流为同一电流。lZZAAA
UlZZBBBUlZZCCCUCIBIAINN’三相三线制...
...由KCL：线电流与相电流的关系AAIlZABBIlZBCCIlZC
ZZZABIBCICAI......特点：负载相电压=线电压扬州职业大学电子工程
系2014.3贾湛编辑制作主讲：贾湛第二章交流电路2.1交流电的基本概念2.3单一参数的交流电路2.4提高功率因数的
意义和方法2.5三相交流电路2.2交流电的相量表示本章内容2.6三相交流电路功率的计算理解理解正弦交流电量的三要素；
掌握交流电量的相量表示法及其运算；熟悉电阻、电感、电容的电压电流关系；理解有功功率、无功功率和视在功率的概念；了解提高功
率因数cosφ的意义和方法熟悉三相交流电路；掌握三相交流电路功率的计算。2.1.1正弦交流电三要素幅值：Im、Um
和Em初相位：φ角频率：一般把这些按正弦规律变化的电压和电流统称为正弦量。u=Umsin(ωt+φu)i=imsi
n(ωt+φi)如图所示，要确切描述一个正弦量，需要三个参数，电路中把它们称为频率、幅值和初相位，我们把这三个参数也统称为
正弦交流电的三要素。正弦交流电的周期、频率和角频率角频率ω：正弦量单位时间内变化的弧度数。角频率与周期及频率的关系：周
期T：正弦量完整变化一周所需要的时间。频率f：正弦量在单位时间内变化的周数。周期与频率的关系：单位：弧度/秒(Rad
/s)单位：赫兹（Hz）电网频率：中国50Hz美国、日本60HzF=50Hzω=314rad/s正弦量解
析式中随时间变化的电角度(ωt+φ)。相位：t=0时的相位φ，它确定了正弦量计时始的位置。初相：两个同频率正弦量之间的相位
之差。相位差：例相位初相u、i的相位差为：i0同频率正弦量的相位差同相位0i相位超前02
1>-=jjj超前0i021<-=jjj滞后相位滞后0i两个正弦量相位正交
两个正弦量相位反相iu?tuip/2iu-=jjj=p/20iu?tuii
u-=jjj=p0可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。因角频率（?）不变，所以以下讨论同频率正弦波时，?可
不考虑，主要研究振幅与初相角的变化。瞬时值i——正弦量解析式即最大值Im——正弦量振荡的幅度。有效值I——与交流电热效应相
同的直流电数值。Ri交流电i通过电阻R时，在t时间内产生的热量为QRI例直流电I通过相同电阻R时，在t时间内
产生的热量也为Q即：热效应相同的直流电流I称之为交流电流i的有效值。有效值可以确切地反映交流电的作功能力。
理论和实际都可以证明：交流直流热效应相当交流电的有效值证明iRu+-~IRU-等效则正弦交流电常
写成一般交流测量仪表的读数以及电气设备铭牌上的额定值等都是指有效值频率：初相角：已知：幅度：解例求：频率、振幅、有
效值、和初相角电器~220V最高耐压=300V若购得一台耐压为300V的电器，是否可用于220V的线路
上?例解Um=√2U=1.414×220V=311V该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。【例】
正弦交流电压和正弦交流电流的瞬时值表达式分别为：u=311sin(314t-60°)Vi=2.828sin
(314t+30°)A试求u和i的最大值、有效值、频率、初相位及相位差。电压的幅值：Um=311V
有效值：电流的幅值：Im=2.828A有效值：频率：
【例】解初相位：φu=-π/3φi=π/6相位差：Δφ=φu-φi=-π/3-π/6=-π/2其中实部可表
示为复数由实数和虚数构成,虚数可表达为jb,其中b的实数，2.2交流电的相量表示称为虚单位。1.复数的代数形式：实部
虚部虚部可表示为2.2.1复数的基础知识2.复数的几何形式有向线段OA代表复数A实部a为复数A在实轴上的投影虚部
b为复数A在虚轴上的投影复数A的大小|A|由OA长示由图可知：3.复数的三角函数形式：ab+1A|A|=ro实
轴虚轴模欧拉公式4.复数的指数形式：显然乘除运算方便极坐标形式设有两个复数为：则＋1＋jACBa1
a2b1Ob2c1c2加法几何验证C1=a1+b1C2=a2+b2显然，复数相加、减时用代数形式比较方便
；复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。复数的相等若两复数A＝a1+ja2及B＝b1+jb2，彼此相等，即A＝B则它们的实部
和虚部应对应地相等，即a1=b1,a2=b2。共轭复数设有两复数，其实部相等而虚部则数值相等、符号相反，这两个复数就称互为共
轭。其共轭复数
若共轭复数的重要性质：一个数乘其共轭复数等于其模的平方(是一个实数)当正弦电流电路处于稳定状
态时，若所有的激励都是同频率的正弦量，那么电路中各部分的响应,即电压和电流将都是和激励同频率的正弦量。因此电路中的电压和电流的频率
就确定了，所需确定的是振幅和初相两个变量。一个复数是由两个因数构成的，如果能用复数来代替正弦稳态电路中的只有两个变量的正弦量，必将
大大减化运算。2.2.2正弦量的相量表示思路由欧拉公式可见则电路中的正弦量可表示为：相量与正弦量的对应则令：
在正弦量运算中不变——称正弦量u（t）的相量同样令：——称正弦量i（t）的相量于是成功实现Uejφu包含了正弦量的
有效值和初相位，我们把这个复数称为正弦量的相量。复数可以在复平面上用向量来表示。正弦量的相量也可以在复平面上表示，我们把这种
表示相量的图称为相量图。如图所示，图中左边为旋转相量，右边为正弦量的波形图。正弦电压和正弦电流分别为：u=311s
in(ωt+90°)Vi=14.1sinωtA(1)试写出u、i的有效值、初相位及相位差；(2)画出u、i
的相量图。【例】(1)电压和电流的有效值分别为U=311/1.414=220V,I=14.1/1.414=10
A初相位：φu=π/2,φi=0相位差：Δφ=φu-φi=π/2(2)u和i的相量图如图所示。解有三个正弦
电压，分别为：u1=311sinωtVu2=311sin(ωt-120°)Vu3=
311sin(ωt+120°)V(1)试写出u1、u2、u3的有效值、初相位；(2)画出u1、u2、u3的相量图
；利用相量图求出它们的和u。【例】(1)它们的有效值相同都为220V。初相位：φ1=0,φ2=-2π/3,φ3=2π
/3(2)电压和电流的相量图如图所示解2.3.1纯电阻电路只有电阻元件的电路称为纯电阻电路。白炽灯、电热器等都
可以近似为电阻性元件。（1）电压与电流的关系如图，在电阻两端加正弦交流电压u=Umsinωt，则根据欧姆定律：综
上所述：①电阻不改变电路的频率，电阻的电压和电流的频率都与电源频率相同。②数值上，电压和电流的最大值、有效值、
瞬时值符合欧姆定律。③相位上，电压和电流的相位差为0，即同相位。于是有相量关系：相量图波形图①瞬时功率
瞬间电压和电流的乘积p=ui=Umsinωt·Imsinωt=UI(1-cos2ωt)
≥0②平均功率——指电能在一个周期内的平均值，即：又由欧姆定律：（2）电功率计算一个220V、100W的电熨斗接于
220V、50Hz的电源上，试求：(1)通过电熨斗的电流有效值I，如假设电源电压的初相位为30°，写出电流的瞬时值表达式；(2)
若电熨斗平均每天使用半小时，每月消耗的电能为多少？（每月按30天计算）(1)I=P/U=100/220=0.45A
ω=2πf=2×3.14×50=314rad/s因电压与电流同相，所以有i=0.45×1.414×si
n(314t+30°)(2)每月消耗的电能W=Pt=0.1×0.5×30=1.5kW·h【例】解
只有电感元件的电路，称为纯电感电路，如荧光灯的镇流器，假设电阻为零，可以认为是纯电感线圈；理想变压器空载运行时，可以认为是纯电感电路。（1）电压与电流的关系如图，假设i=Imsinωt那么在线圈中将产生自感电动势eL=-Ldi/dt2.3.2纯电感电路由基尔霍夫电压定律可得令XL=ωL=2πf，称为感抗，单位为欧姆，那么Um=ImXL两边同除以1.414，可得U=IXL①纯电感元件不改变电路的频率，电感上的电压和电流的频率都与电源频率相同。②纯电感电路中，电压相位超前电流相位π/2。③纯电感电路中，电压和电流的有效值和最大值符合欧姆定律；而它们的瞬时值是微分关系。相量关系：综述：①瞬时功率电感上的瞬时功率是指电感两端的电压瞬时值与通过它的电流瞬时值的乘积。即：显然，瞬时功率是随时间按正弦规律变化的，而且其频率是电源频率的两倍；波形如图所示。（2）电路的功率②有功功率由功率的波形图可以看出，在一个周期内横轴上方和下方的面积相等，即电感吸收和释放的能量相等，从而可知，有功功率为零。③无功功率无功功率是用来反映电感元件与外部电路能量互换规模的大小。无功功率的大小等于电感两端的电压有效值与通过其电流的有效值的乘积。用QL来表示，单位为乏（var）、千乏（kvar）。由无功功率的定义和欧姆定律得： |
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