因为求平面的法向量建系写点算向量四套公式五转换运算关键法向量一设二乘三特值特殊易得验证法常用公式要熟练只是坐标法
解立体几何中的第三步前面的两步是基础、是关键所以要想迅速准确地的求出法向量坐标法解立体几何的
操作步骤第一步：建系：建立适当的空间右手直角坐标系①尽量将“目标点”放置到坐标轴或坐标面上注2：要有必要的文字说明
：建立如图所示的坐标系……注3：“适当”的含义：越特殊越好②非负性③对称性注1：三线垂直要证明：……
例4.(2018年长春市质监(二))如图在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中底面ABCD为等腰梯
形①证明：AD1⊥B1D②设E是线段A1B1上的动点，是否存在这样的点若存在,求出B1E的长；若不存在
，说明理由使得二面角E—BD1—A的余弦值为析1：因大背景很容易“补”成长方体故极易：建立如图
所示的坐标系……yxz但后续运算量很大、很大……例4.(2018年长春市质监(二))如图
在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中底面ABCD为等腰梯形①证明：AD1⊥B1D②设E是线段A1B
1上的动点，是否存在这样的点若存在,求出B1E的长；若不存在，说明理由使得二面角E—BD1—A的余弦值为
析2：盘点第②问中的“目标点”是：故……建立如图所示的坐标系……yxzE、B、D1、A的四个
点……yxzyxz析3：目标点是：点E、B、D1、A两种建系方式、哪个更佳？显然是
第二种建系方式简捷的多例4.(2018年长春市质监(二))如图②设E是线段A1B1上的动点是否存在这样的点,使得
解①：由题意得……二面角E—BD1—A的余弦值解②：建立如图所示的坐标系……yxz为，
若存在,求出B1E的长AB⊥BD,,A(),D1(),E()设
是平面EBD1的法向量,则……设是平面BD1A的法向量,则…………λ=B1E=
1§49向量的运算(三)一、总论：二、分论：2.三种运算方式：1.十大运算：3.常用的运算律及公
式：1.加法：3.数乘：2.减法：4.单位向量：5.方向向量：6.模：8.投影：7.夹角：9.数量积：
10.法向量：向量概述运算应用两技巧四定理＜＞十大运算三算法①②遗传变异运算律数形结合是关键加减
乘数模角影单位方向法向量几何字母坐标式①②两个技巧四定理③④平行垂直角距离⑤注1.十大运算：①加法②减法③数
乘④数量积⑤模⑥夹角⑦投影⑧单位向量⑨方向向量⑩法向量注2.三种算法：①几何式②字母式③坐标式注3.两技巧：①平方法②乘
向量法注4.四定理：①平面向量基本定理②空间向量基本定理③共线定理④共面定理注5.应用：平行垂直角距离……求点的坐标常
见的方法向量坐标化公式法定义法方程法线段中点坐标公式三角形重心坐标公式定比分点坐标公式法向
量方向向量广义坐标与直角坐标①广义坐标：②直角坐标：基本定理中的系数(x,y,z)
基底为正交基底时的系数(x,y,z)基底系数即坐标遗传变异要知晓x,y的符号、确定了点P
的象限位置①若,类似于直角坐标系，②已知非零向量
,则ⅰ:ⅱ:§49向量的运算(三)一、总论：二、分论：2.三种运算
方式：1.十大运算：3.常用的运算律及公式：1.加法：3.数乘：2.减法：4.单位向量：5.方向向量：6.
模：8.投影：7.夹角：9.数量积：10.法向量：一、总论：1.十大运算：①加法：②减法：⑥夹角：
③数乘：④数量积：⑦投影：⑤模：⑧单位向量：⑨方向向量：⑩法向量：十大运算三算法加减乘数模角影
单位方向法向量几何字母坐标式遗传变异运算律数形结合是关键一、总论：2.三种运算方式：1.十大运算：②字母式(
基底式)：①坐标式：③几何式(几何意义)：数算形算方法多了、就没有好方法要根据题意灵活应用具体选用哪
一种运算方式十大运算三算法加减乘数模角影单位方向法向量几何字母坐标式遗传变异运算律数形结合是关键3.常用的运
算律及公式1.2.3.×4.5.6.7.8.9.10.11.一、总论：二、分论：2.三种运算
方式：1.十大运算：3.常用的运算律及公式：1.加法：3.数乘：2.减法：4.单位向量：5.方向向量：6.
模：8.投影：7.夹角：9.数量积：10.法向量：②①1.2.±是与共线的单位向量是直线
l:Ax+By+C＝0的方向向量是斜率为k的直线的方向向量3.直线l上任取两点A,B,则是其一个方向向量
①首尾相连首尾连（位移）②同头同头对角线（合力）三个向量和为位移三力平衡同头和半是中线同向和半中位线特例①——两
向量相加特例②——三向量相加向量加法的几何(物理)意义1.法则:2.特例:首尾相连首尾连(位移)OBP
A同头同头对角线(合力)OBPACA1A2A3A4…An-1An向量加法的几何(物理)意义同
头和半是中线OBAMBAMMCDN同向和半中位线BAMMCDN三个向量和为BCA
位移三力平衡位移为三力平衡合力为OBA减法的几何意义同头相减尾尾连方向指向被减数(坐标式)(数
乘式)与共线数乘的几何意义伸缩变向及共线定比分点点向式(基底式)(点向式)(定比分点式)A,B
,P三点共线，则点P是经过A点，以为方向向量的若直线上的任意一点②①1.③注1.注2.向量的夹角同头
本角首尾补同向为O反向π注：09001.概念：2.公式：光线在上的投影为3.应用：①求数量积：②求距离
：②距离,数量①投影,射影①②斜向量在法向量上的投影长……是标量是矢量是
非负数可正可负向量的投影在上的投影为(坐标式)(模角式)(模影式)ABOM(极化恒等式)
数量积(内积、点积)(坐标式)(模角式)(模影式)(极化恒等式)数量积的几何意义点积为O即垂直单个
考查模角影0900注1.注3.注2.一、总论：二、分论：2.三种运算方式：1.十大运算：3.常用的运
算律及公式：1.加法：3.数乘：2.减法：4.单位向量：5.方向向量：6.模：8.投影：7.夹角：9.
数量积：10.法向量：法向量的求法：法向量的概念：法向量的应用：1.直接法：2.三步法：3.验证法：4.截
距法：一设二乘三特值特殊易得直接写感觉良好验证法截距倒数法向量平面法的向量其
他内容可参新课《附录28》及§198～§2041.直接法：特殊易得直接写ACDByzx坐标面
或于其平行的面的法向量，可直接写出：面xoy或于其平行的面的法向量是面yoz或于其平行的面的法向量是面zox或于其平行的面的
法向量是设是平面α的法向量，则一设二乘三特值2.三步法：不妨取即αBCA例1.如图,已
知正方体ABD-A1B1C1D1的棱长为2M2则平面M1BM2D1的法向量是______是A1A,CC1中点，,M1,M
2分别解：建立如图所示的坐标系……M1设是平面M1BM2D1的法向量,则BACDx
zy不妨取即是平面M1BM2D1的法向量3.验证法：感觉良好验证法例2.如图,已知正方体ABD-A1B1C
1D1的棱长为1法向量是________ACDByzx是平面A1C1B的法向量故因解：建立如图所示的
坐标系……则平面ACD1的令已感知到某向量是所求法向量用线面垂直判定定理验证即可xyzOA(a,0,0)
B(0,b,0)C(0,0,c)当平面α的横、纵、竖截距分别是：a，b，c(abc≠0)时有4.截距法：例
3.(2014年新课标Ⅰ)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1CC1为菱形,AB⊥B1C①证明：AC=
AB1②若AC⊥AB1，∠CBB1=600，AB=BC求二面角A-A1B1-C1的余弦值ABC1A1B1C析
1：三线垂直要证明……xzyO建立如图所示的坐标系不妨设OB1=1……,故其截距是故其法向量是,1
,1析2：因平面AA1B1就是平面ABB1则B1(0,1,0)B(,0,0)A(0,0,1)例3.(201
4年新课标Ⅰ)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1CC1为菱形,AB⊥B1C①证明：AC=AB1②若AC⊥AB1，∠CBB1=600，AB=BC求二面角A-A1B1-C1的余弦值析1：三线垂直要证明……B1(0,1,0)B(,0,0)A(0,0,1)ABC1A1B1CxzyO,故其截距是故其法向量是,-1,1析3：因平面A1B1C1//平面ABC为运用截距法求法向量时：1.要充分利用割补法、运动观……2.书写要伪装成：三步法ABC1A1B1CxzyO |
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