人教A版高中数学必修2空间几何体
柱、锥、台、球的结构特征同步基础练习
基础达标
1.下列命题中的假命题是（）
A.以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆柱
B.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥
C.以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴,其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥
D.以圆的任意一条直径所在直线为旋转轴，圆面旋转一周形成的几何体叫做球体
2.将长与宽分别为6和4的矩形卷成一个圆柱，则该圆的底面半径为()
A.B.C.或D.
3.下列命题中正确的是（）
A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
4.在下面的四个图形中，不是正方体表面展开图的是()
5.“两底面直径之差等于母线长”的圆台（）
A.是不存在的
B.其母线与高线必成60°角
C.其母线与高线必成30°角
D.其母线与高线所成的角不是定值
6.在长方体相邻的三条棱上各取一点，过这三点作截面，此截面一定是()
A.锐角三角形于B.钝角三角形
C.直角三角形D.多边形
7.长方体的表面积为11，所有棱的长度之和为24，求这个长方体的一条对角线的长.
8.边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，求从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离.
9.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，CC1=1，一条绳子从点A沿表面拉到点C1，求绳子的最短长.
简单组合体的结构特征同步基础练习
基础达标
1.下列命题，其中正确命题的个数是（）
①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个
②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面
③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆
A.0B.1C.2D.3
2.下列命题，其中正确命题的个数是（）
①以直角三角形的一边为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
②以直角梯形的一腰为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆台
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
④一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台
A.0B.1C.2D.3
3.以一个等边三角形底边所在的直线为对称轴旋转一周所得的几何体是（）
A.一个圆柱B.一个圆锥C.两个圆锥D.一个圆台
4.一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的可能图形为（）
A.①③B.②④C.①②③D.②③④
5.左下图所示的几何体最有可能是由下面哪个平面图形旋转得到的（）
6.过球面上两点可能作球的大圆的个数是（）
A.有且只有一个B.一个或无数多个C.无数多个D.不存在这种大圆
7.用一个平行于底面的平面截圆锥，截得的圆台上下底面的半径之比是1∶4，截去圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长.
8.圆台的侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面的半径与两底面面积之和.
9.在一个有阳光的时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸展到距离球与地面接触点10m处，同时有一根长为m的木棒垂直于地面，且影子长为1m，求此球的半径.
空间几何体的三视图同步基础练习
基础达标
1如图，桌面上放着一个圆锥和一个长方体，其俯视图是（）
2.对几何体的三视图，下面说法正确的是（）
A.正视图反映物体的长和宽B.俯视图反映物体的长和高
C.侧视图反映物体的高和宽D.正视图反映物体的高和宽
3.已知某物体的三视图如下图所示，那么这个物体的形状是（）
A.长方体B.圆柱C.立方体D.圆锥
4.给出下列命题，其中正确命题的个数是（）
①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体
②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体
③如果一个几何体的三视图是矩形，则这个几何体是长方体
④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台
A.0B.1C.2D.3
5.如图是一个哑铃的立体图,则以下结论不正确的是（）
A.侧视图是一个圆B.侧视图是几个同心圆C.俯视图和正视图一样D.右视图和左视图一样
6.如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________.（把可能的序号都填上）
7.图中是两个相同的正方体，阴影面选为正面，正方体棱长为1，分别画出它们的三视图.
8.如图所示，根据几何体的三视图，画出几何体的直观图.
空间几何体的直观图同步基础练习
基础达标
1.斜二测画法所得直观图,以下说法正确的是（）
A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形
C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
2.下列关于用斜二测画法画直观图说法错误的是（）
A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形
B.几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高比例相同
C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D.水平放置的圆的直观图是椭圆
3.如图是水平放置的三角形的直观图，AB∥y轴，则△ABC是…（）
A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
4.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是（）
5.利用斜二测画法得到以下结论正确的是（）
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形
A.①②B.①C.③④D.①②③④
6.下列说法正确的是（）
A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形
B.两条相交的直线的直观图可能是相交直线
C.互相垂直的直线的直观图仍是垂直的
D.平行四边形的直观图是平行四边形
7.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下列中的（）
8.已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为（）
A.a2B.a3C.a2D.a2
9.画边长为4cm的正三角形的水平放置的直观图.
柱体、锥体、台体的表面积与体积同步基础练习
基础达标
1.圆锥的轴截面是正三角形，那么，它的侧面积是底面积的（）
A.4倍B.3倍C.倍D.2倍
2.正三棱锥的底面边长为a,高为a，则三棱锥的侧面积等于（）
A.a2B.a2C.a2D.a2
3.圆锥母线长为1，侧面展开图的圆心角为240°，该圆锥体积为（）
A.B.C.D.
4.长方体的高等于h,底面积等于a，过相对侧棱的截面面积等于b，则此长方体的侧面积等于（）
A.B.C.D.
5.已知棱台的两个底面面积分别是245cm2和80cm2，截得这棱台的棱锥的高为35cm，则这个棱台的高为（）
A.20cmB.15cmC.10cmD.25cm
6.已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T，则等于（）
A.B.C.D.
7.圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为（）
A.6π（4π+3）B.8π（3π+1）
C.6π（4π+3）或8π（3π+1）D.6π（4π+1）或8π（3π+2）
8.轴截面是正方形的圆柱，轴截面面积为S，则它的全面积是________.
9.已知长方体中，有一个公共顶点的三个面面积分别为2,3,6，求长方体的体积.
10.用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径为16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮的长边长最少是多少？
11.如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为_____________.
球的体积和表面积同步基础练习
基础达标
1.两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则两球的半径之差是（）
A.1B.2C.3D.4
2.三个球半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）
A.倍B.倍C.2倍D.3倍
3.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的面积之比为（）
A.4∶3B.3∶1C.3∶2D.9∶4
4.两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个球，这个大球的半径为（）
A.2B.C.D.
5.一个圆锥的底面直径和高都与同一个球的直径相等，则圆锥与球的体积之比为（）
A.1∶3B.2∶3C.1∶2D.2∶9
6.两球面积之差为60cm2，它们的大圆周长之和为30cm，两球的直径之差为___________.
7.如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比为________.
8.在xOy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）、（0，3），求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.
9.在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=a，且PD是四棱锥的高.
在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径.
参考答案
柱、锥、台、球的结构特征同步基础练习
1.解析：由柱、锥、球的定义可知，选项B是假命题，因为圆锥是以直角三角形的一直角边所在直线为轴旋转而成的.故选B.答案：B
2.解析：该题分类讨论，若以6为圆周长，则半径为；若以4为圆周长，则半径为，故选C.答案：C
3.解析：由棱柱的定义可知，选D.答案：D
4.解析：利用排除筛选，将展开图一一折叠可选C.答案：C
5.解析：画出轴截面则AB、CD分别为两底直径.AD为母线，由条件知AE=（AB-CD）=AD，故选C.
6.解析：利用特例法，设该长方体为正方体，ABCD—A1B1C1D1取截面为AB1D1可知△AB1D1为正三角形.故选A.答案：A
7.解：设长方体的长、宽、高和一条对角线的长分别是a、b、c、l.
由题意可知2(ab+bc+ac)=11，①a+b+c=6.②
由②2-①,得a2+b2+c2=25，∴l==5.
8.解：如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的，由题意可知
GH=5，GF1=,GE1=.
∴从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是.
9.解：①沿AB剪开，铺展成平面，此时AC1=.②沿AD剪开，铺展成平面，此时AC1=.
③沿AA1剪开，铺展成平面，此时AC1=.故绳子的最短长为.
简单组合体的结构特征同步基础练习
1.解析：由圆柱与球的结构特征可知①②正确.故选择C.答案：C
2.解析：①若以斜边为轴旋转一周可得组合体（两个重底面的圆锥），故①错.②若以不垂直于底的腰为轴，则得组合体圆锥与圆台，所以②错，④若截面不平行于底面，则得到的不是圆锥和圆台，所以④错，只有③正确.故选择B.答案：B
3.解析：如下图，等边三角形底边的高线将其分成两个直角三角形，所以，旋转成两个圆锥，故选C.
4.解析：若截面为正方体的对角面，则选②；若截面平行于正方体一个面，则选③；否则，选①.故选择C.答案：C
5.解析：B图旋转后可得两个圆锥；C图旋转后可得一个圆锥和一个圆柱；D图旋转后可得两个圆锥和一个圆柱.故选择A.答案：A
6.解析：当球面上两点与球心不共线时，此时只能作一个大圆；当球面上两点与球心共线时，能作无数多个大圆，故选择B.答案：B
7.解：设圆台的母线长为y，截得的圆锥底面与圆锥半径分别是x、4x，
根据相似三角形的性质得解此方程得y=9,所以，圆台的母线长为9.
8.解：设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,如图，∠ASO=30°,
在Rt△SA′O′中，=sin30°，∴SA′=2r.
在Rt△SAO中，=sin30°，∴SA=4r.∴SA-SA′=AA′，即4r-2r=2a,r=a.
∴S=S1+S2=πr2+π(2r)2=5πr2=5πa2.
∴圆台上底面半径为a,下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa2.
9.解：如图（1）设球与地面接触点为A，则PA=10，过P作球的切线，切线为B，又知木棒长为，且影子长为1，如图（2）.所以∠CQD=60°，即∠BPA=60°.
连PO，则∠OPA=30°.∴OP=2OA.∵OA2+102=4OA2，∴OA=
空间几何体的三视图同步基础练习
1.解析：圆锥的俯视图是一个圆和圆心，而长方体的俯视图是一个长方形，故选D.答案：D
2.解析：正视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽；侧视图反映物体的高和宽.答案：C
3.解析：由俯视图知，该几何体的上、下底面均为圆，又由正视图与侧视图均为矩形，所以该物体应为圆柱.答案：B
4.解析：①不一定为正方体，也可能是球；②不一定为长方体，有可能是圆柱；
③正确；④若是圆台，则俯视图是两个同心圆.答案：B
5.解析：该物体的俯视图应该是多个矩形组合而成，所以A错.答案：A
6.解析：四边形BFD1E在面BCC1B1或面ADD1A1上的射影应是E与F重合，D1与C1重合，A与B重合，所以③正确；在下底面射影是B1与B重合，D1与D重合，E、F的射影分别为AD与BC的中点，所以②正确.在前后两面的射影也是②.
答案：②③;
7.解析：其三视图分别是图中的（1）（2）.
8.解：根据几何体的三视图可知此几何体是一个圆柱和它的内切球组成的组合体.如下图.
空间几何体的直观图同步基础练习
基础达标
1.解析：根据斜二测画法的要求知，正方形的直观图为平行四边形.答案：B
2.解析：斜二测画法中，与x轴、y轴平行的线段继续保持与x′轴、y′轴平行.所以A项正确，从而可知，C、D项也正确，而平行于x轴的或z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一关，所以B项错.答案：B
3.解析：因为AB∥y轴，所以AB⊥AC，故选C.答案：C
4.解析：在直观图中，其一条对角线在y′轴上且长度为，所以在原图形中其一条对角线必
在y轴上且长度为，因此A项正确.答案：A
5.解析：在斜二测画法的要求下，三角形的直观图仍是三角形，平行四边形的直观图仍为平行四边形.而正方形直观图是平行四边形，菱形的直观图是非菱形的平行四边形.答案：A
6.解析：正方形的直观图是平行四边形而不是梯形；两相交直线的直观图一定是相交直线；两垂直直线的直观图是夹角为45°的直线；平行四边形的直观图是平行四边形.答案：D
7.解析：按斜二测画法的规则：平行于x轴或y轴上的线段的长度在新系中不变，在y轴上或平行于y轴的线段长度在新系中变为原来的，并注意到∠xOy=90°,∠x′O′y′=45°.故选C.
8.解析：如图（1）为直观图，（2）为实际图形，取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′
与O′x′成45°的直线为y′轴，过A′点作A′N′∥O′x′，交y′轴于N′点，
过A′点作A′M′∥O′y′，交x′轴于M′点.则在直角三角形A′O′M′中，
∵O′A′=a，∠A′M′O′=45°,∴M′O′=A′N′=a，故A′M′=a.
（1）（2）
在直角坐标系中，在x轴上方y轴左侧取到x轴距离为a，到y轴距离为3[]2a的点A，则△ABC为所求.显然S△ABC=a·a=a2.∴应选C.答案：C
9.画法：（1）以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，再画对应的x′、y′轴，使∠x′O′y′=45°.
（2）在x′轴上截取O′B′=O′C′=2cm，在y′轴上截取O′A′=AO.
连结A′B′,A′C′,则△A′B′C′即为正△ABC的直观图.
柱体、锥体、台体的表面积与体积同步基础练习
基础达标
1.解：设底面半径为R，由条件知母线长为2R，S侧=πR·2R=2πR2=2S底.答案：D
2.解：VO=a，OA=a，∴VA=a，∴S侧=·3a·a=a2，故选A.
3.解：设圆锥底面半径为R，高为h，则2πR=
∴R=，h=，∴V=πR2h=，故选C.答案：C
4.解：如图，由条件知AB·BC=a，且AC·h=b，∴AC=，
即AB2+BC2==（AB+BC）2-2a，∴AB+BC=.
∴S侧=2（AB+BC）·h=，故选C.答案：C
5.解析：设棱台高为h，则截去的小棱锥的高为35-h，由截面性质知解得h=15cm.
答案：B
6.已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T，则等于（）
A.B.C.D.
6.解析：设正四面体ABCD的棱长为a，如图所示，则EF=MN=BD=a，所以=，选A.
答案：A
7.解析：圆柱的侧面积S侧=4π×6π=24π2.
（1）以边长为6π的边为底时，2πR=6π，R=3，∴S全=2πR2+24π2=18π+24π2.
（2）以边长为4π的边为底时，2πR=4π，R=2，∴S全=2πR2+24π2=8π+24π2.答案：C
8.解析：设底面半径为R，则高为2R，∴4R2=S，S全=2πR2+2πR·2R=6πR2=6π·πS.
9.解：设长方体的棱长分别为a，b，c，则由条件知ab=2，ac=3，bc=6.∴（abc）2=36，∴V=abc=6.
10.解：如图，设圆台的侧面展开图的圆心角为∠A′OB=α，OA=x，
由相似三角形知识得，∴x=96，则α=60°，∴△BOB′为等边三角形.
BB′=OB=144cm，即矩形铁皮的长边长最少为144cm.
11.解：不妨设A在面B1DC的射影为H，连结DH，（令棱长为a）
则∠ADH为AO与面B1DC所成角.即sinADH=，下面求AH.
由等体积公式易知，AH=a.
∴sinADH=.答案：
球的体积和表面积同步基础练习
基础达标
1.解析：设两球半径分别为r1和r2，且r1≥r2，则有π（r13+r23）=12π，
∴r13+r23=9，又2π（r1+r2）=6π，∴r1+r2=3，∴（r1+r2）（r12-r1r2+r22）=9，
∴r12-r1r2+r22=3，∴（r1+r2）2-3r1r2=3，∴r1r2=2，∴（r1-r2）2=（r1+r2）2-4r1r2=9-8=1，
∴r1-r2=1，故选A.答案：A
2.解析：设三个球的半径分别为r1、r2、r3，则有r1∶r2∶r3=1∶2∶3，
令r1=1，r2=2，r3=3，则有S3=4πr32=36π，S1+S2=4π（r12+r22）=20π，故选B.答案：B
3.解析：作轴截面，设球半径为r，
则AO=2r，OD=r，∴∠BAO=30°∴AB=r，BE=r，∴S锥∶S球=3∶2，选C.答案：C
4.解析：只需求出大球的体积，就可求出大球的半径，设大球的半径为R，
则有V大球=πR3=2×π×13=π，∴R=，故选B.答案：B
5.解析：设球半径为R，则V球=πR3，圆锥高为2R，底半径为R，则V锥=πR2·2R，
∴V锥∶V球=1∶2.答案：C
6.解析：设两球半径分别为r1与r2，则r1＞r2，则有4π（r12-r22）=60，又2π（r1+r2）=30.
∴r1-r2=1cm，故2（r1-r2）=2cm.答案：2cm
7.解析：设球半径为R，则高为2R，∴V圆柱∶V球∶V圆锥=πR2·2R∶πR3∶πR2·2R=3∶2∶1.
答案：3∶2∶1
8.解：该几何体是由一个圆台和一个圆锥组合而成，即在圆台内挖去一个圆锥，圆台的上、下半径分别是1，3，高是2，所以V圆台=π（R2+rR+r2）h=π.圆锥的底面半径是1，高是1，所以圆锥的体积V=πR2h=π.所以所求几何体的体积是V=π.
9.解：当这个球是四棱锥的内切球时，球半径最大.设球心为O，半径为R，
则VO—PAB+VO—ABCD+VO—APD+VO—PBC+VO—PDC=VP—ABCD，即R（S△PAB+SABCD+S△PAD+S△PBC+S△PDC）=PD·SABCD，
由条件知PD=a，AB=a，PA=PC=a.∴BD=a，∴PB=a，
从而由勾股定理逆定理知PA⊥AB，PC⊥BC.∴SABCD=a2，S△PAD=a2，
S△PAB=a2，S△PBC=a2，S△PDC=a2.∴R（2a2+a2）=a·a2∴R=a.
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