电动力学Electrodynamics主讲教师：刘堂昆（教授、博士）辅导教师：丁逊（讲师、硕士）学
习电动力学课程的主要意义是：在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁场有关的问题。例如电力
系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等，都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以电磁波的形式存在，其应用更为广泛
。无线电波、热辐射、光波、X射线和γ射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践
和科学实验都有重大的意义。要想学好电动力学，必须树立严谨的学习态度和刻苦的学习作风。电动力学比电磁学难学，主要
体现在思维抽象、习题难解上。为此，在学习时要注意掌握好概念、原理、结构和方法，这些在听课、阅读、复习、小结和总复习时都要注意做到，
既见树木，更见森林。要在数学与物理结合上下硬功夫，培养物理与数学间相互“翻译”的能力，能熟练地运用数学独立地对教材内容进行推导，并
明确它们的物理意义和图象。学习电动力学是一个艰苦的过程，只有“衣带渐宽终不悔”的精神，才能做到“
独上高楼，望断天涯路”，站得高，看得远。学习参考书：1、经典电动力学蔡圣善朱耘编著
复旦大学出版社2、电动力学吴寿煌丁士章编
西安交通大学出版社3、ClassicalElectrodynamicsJ.D.Jac
kson(经典电动力学J.D.杰克逊著）人民教育
出版社学习成绩评定方法：总成绩=平时成绩20%（作业+笔记）+期中
考试成绩20%+期终考试成绩60%第0章预备知识—矢量场论复习
PreliminaryKnowledge—ReviseintheVectorFieldTheor
y本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之间的关系。其中包括两个重要定理：即G
ausstheorem和Stokestheorem，以及二阶微分运算和算符运算的重要公式。本
章主要内容标量场的梯度算符矢量场的散度高斯定理矢量场的旋度斯托克斯定理在正交曲线坐标系中运算
的表达式二阶微分算符格林定理§0-1标量场的梯度，算符GradientofScalarField,
Operator1、场的概念场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规
律。如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空
间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时间变化，就称为稳定场，否则，称为不
稳定场。2、方向导数方向导数是标量函数在一点处沿任意方向对距离的变化率，它的数值与所取的
方向有关，一般来说，在不同的方向上的值是不同的，但它并不是矢量。如图所示，为场中的任意方向，P1是这个方向线上
给定的一点，P2为同一线上邻近的一点。为p2和p1之间的距离，从p1沿到p2的增量为若下列极限存在，则该极
限值记作，称之为标量场在p1处沿的方向导数。3、梯度由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场
在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过该点沿某一确定方向取得在该点的最大方向导数，则可引进梯度概念。记作称
之为在该点的梯度（grad是gradient缩写），它是一个矢量，其大小，其方
向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即表示。方向导数与梯度的关系：是等值面上p1
点法线方向单位矢量。它指向增长的方向。表示过p2点的任一方向。显见，所以即该式表明：
即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场在空间各点沿不同方向变
化快慢的程度。4、算符（哈密顿算符）算符既具有微分性质又具有方向性质。在任意方向上移动线元距离d
l，的增量称为方向微分，即显然，任意两点值差为§0-2矢量场的散度高斯定理Diver
genceofVectorField,Gauss’sTheorem1、通量一个矢量场空间中，在单位
时间内，沿着矢量场方向通过的流量是dN，而dN是以ds为底，以vcosθ为高的斜柱体的体积，即称为矢量通
过面元的通量。对于有向曲面s，总可以将s分成许多足够小的面元，于是通过曲面s的通量N即
为每一面元通量之积对于闭合曲面s，通量N为2、散度设封闭曲面s所包围的体积为，则就是矢量场
在中单位体积的平均通量，或者平均发散量。当闭合曲面s及其所包围的体积向其内某点收
缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作称为矢量场在该点的散度(div是divergence的缩写)。
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div，表示该点有散发通量的正源；当di
v，表示该点有吸收通量的负源；当div，表示该点为无源场。3、高斯定理它能把一个闭
合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。§0-3矢量场的旋度
斯托克斯定理RotationofVectorField,Stoke’sTheorem
1、矢量场的环流在数学上，将矢量场沿一条有向闭合曲线L（即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分
称为沿该曲线L的循环量或流量。2、旋度设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为界的面积
逐渐缩小，也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形
状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向，且通常L的正方向与规定要构成右手螺旋法则，为此定义称为矢量场
的旋度（rot是rotation缩写）。旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱
的程度，如果场中处处rot称为无旋场。3、斯托克斯定理（Stoke’sTheorem）它能把对任意闭合曲线边界的线积分
转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。§0-4正交曲线坐标系中运算的表达式Expressionof
OperationonOrthogonalCurvilinearCo-OrdinatesSystem
1、度量系数设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1,x2,x3是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为
其中称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数h1,h2,h3来描述。2、哈密顿算符、梯度、散度、旋度及
拉普拉斯算符在正交曲线坐标系下的一般表达式其中为正交曲线坐标系的基矢
；是一个标量函数；
是一个矢
量函数，只有在笛卡儿坐标系中，，在其它正交坐标系中3
、不同坐标系中的微分表达式a)笛卡儿坐标x1=x，x2=y，x3=z
h1=1，h2=1，h3=1b)圆柱坐标系坐标变量:x1=rx2=φ
x3=z与笛卡儿坐标的关系：x=rcosφy=rsinφz=z拉梅系数:
h1=1h2=rh3=1将
应用于圆柱坐标可得：c)球坐标系坐标变量：与笛
卡儿坐标的关系：拉梅系数：其中§0-5二阶微分算符格林定理Second-order
DifferentiationOperator,Green’sTheorem1、一阶微分运算将算符
直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、散度和旋度，即这些都叫一阶微分运算。举例：a
)设为源点与场之间的距离，r的方向规定为源点指向场点，试分别对
场点和源点求r的梯度。第一步：源点固定，r是场点的函数，对场点求梯度用r表示，则有而同理
可得：故得到：第二步：场点固定，r是源点的函数，对源点求梯度用表示。而同理可得：所以得到：
b)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有
c)设求解：而同理可得那么这里同理可得故有由此可见：d
)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：e)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：
2、二阶微分运算将算符作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设为标量场，
为矢量场。并假设的分量具有所需要的阶的连续微商，则不难得
到：（1）标量场的梯度必为无旋场（2）矢量场的旋度必为无散场（3）无旋场
可表示一个标量场的梯度（4）无散场可表示一个矢量场的旋度（5）标量场的梯度的散度为
（6）矢量场的旋度的旋度为3、运算于乘积（1）（2）
（3）（4）（5）(6)根据常矢运算法则
则有：故有：(7)根据常矢运算法则：则有（8）因为故有从而得到：4、Green’stheorem
由Gauss’stheorem得到:将上式交换位置，得到以上两式相减，得到5、常
用几个公式设试求：a)而同理：b)
从而可见：c)d)e)f)
g)h)xyzZ为常数平面y为常数平面x为常数平面(x,y,z)pφzxy
z为常数平面r为常数平面φ为常数平面rzθrφy(r,θ,φ)xθ为常数平面r为常数平面φ为常数平面?
场点（观察点）场源点坐标原点o引言Introduction电动力学的研究对象是电磁场的
基本性质、运动规律以及它和带电物质之间的相互作用。电动力学的研究内容是阐述宏观电磁场理论，主要从实验定律中总结电磁场的普遍规律，建立Maxwell’sequations。讨论稳恒电磁场、电磁波传播、电磁波辐射及电动力学的参考系问题。学习电动力学课程的主要目的是：1）掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解；2）获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力，为以后解决实际问题打下基础；3）通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更深刻领会电磁场的物质性，帮助我们加深辩证唯物主义的世界观。?????P1P2p1p0p2等值面等值面θ?θds?? |
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