2.分析法与综合法：§72不等式的证明一、证明不等式总论：1.比较法：5.反证法：4.放缩法：二、证明不等式分论：3.函数(单调性)法：①代数式(一般式……)方和积≥积和方(①2＋②2＋③2)≥(①＋②＋③)2②局部式:(①+②+③)≥(①+②+③)2若，○≥0，则i和积≥积开和方③权方和不等式(分数式):若，○≥0，则i①③②≥①＋②＋③表述方式虽多但有个共同点：“3串串因式”构成Cauchy不等式需掌握的三个结论排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和含参不等式<1>.按问法分类：<2>.按参量分类：<3>.按知识分类：1.常见题型：③求最值①解不等式②证不等式①单参型②双参型③多参型导数不等式，数列不等式……含参不等式——四成立1.常见题型：2.常见的解法：形法数法(1)通法特法(2)最值法子集法变换主元法分离参量法先猜后证法简言之：消参(分类讨论、参量分离……)含参不等式形法数法(1)通法特法(2)最值法子集法变换主元法分离参量法先猜后证法含参不等式常成立注1.描述方式繁多引申变式多样含参不等式恒成立含参不等式恰成立含参不等式能成立注3.解法灵活多样技巧性极强注2.常成立是基础恒成立是重点分类讨论含参不等式——四成立2.含参不等式恰成立:1.含参不等式常成立——分类讨论：小作：一般的，不等式解集的端点值是方程的根大作：回归到含参不等式常成立最值法子集法变换主元法分离参量法先猜后证法通法特法3.含参不等式恒成立：形法数法(2)(1)4.含参不等式能成立——回归到恒成立用最值法，求与含参不等式恒成立“相反”的最值即可依次将双参中的x1、x2看成是常量双参型就回归到单参型了……双参型含参不等式1.f(x1)g(x2)型：2.f(x1、x2)0型：法1：转化成f(x1)g(x2)型……法2：……灵活性，技巧性……①若对,有恒成立②若,使得成立已知定义在D1上的函数f1(x)的值域为I1定义在D2上的函数f2(x)的值域为I2则等价于：则等价于：③若对,使得成立④若对,使得成立则等价于：则等价于：含参等式(含参函数与值域)：(任意对任意，值域相等)(任意对存在，任意是子集)(存在对存在，交集非空)(任意对存在，任意是子集)注2：此类题，还可以将：变式为,等形式……注1：此类题，个别情况下，可能形法更加简捷注3：此类题，还要注意关键词的变化：引起的值域的“缩小”，即只取“单值区间”……存在唯一的x1∈I……注4：此类题，还要注意问题的变化：数形结合，设f(a)=g(b)=t∈I……求a－b的取值范围……则a－b=h(t)(t∈I……)即求函数h(t)的“人为”值域……归纳：类比：演绎：特殊一般推理与证明1.推理特殊特殊一般特殊2.证明直接法间接法综合法：分析法：数归法：反证法同一法已知未知未知已知(猜想)(论证猜想的真假)大胆的假设，小心的求证——胡适2.归纳法的分类：1.归纳法的含义：归纳法(详参《选修2-2》P：71)特殊一般完全归纳法不完全归纳法数学归纳法①完全归纳法：考察全体对象,得到一般结论的推理方法②不完全归纳法：考察部分对象,得到一般结论的推理方法③数学归纳法：操作原理是公理数学归纳自然数书写两步作三步基础递推两不误<1>操作原理：操作原理是公理<2>使用范围：数学归纳自然数数学归纳法仅适用于数学学科中与自然数有关的命题(基础)ⅰ:验证当n取第一个值n0时结论正确<3>操作步骤：书写两步作三步基础递推两不误注2：三步三换要具体假设要当已知用要是不用就算错运用假设两头凑注1：一变三验初值假设k证递推数学归纳法简述(递推)ⅱ:①假设当n=k(k∈N,k≥n0)时结论正确②证明当n=k+1时，结论也正确综上，原命题成立2.分析法与综合法：§72不等式的证明一、证明不等式总论：1.比较法：5.反证法：4.放缩法：二、证明不等式分论：3.函数(单调性)法：2.综合法一、证明不等式总论：1.比较法3.分析法6.放缩法4.数学归纳法7.辅助函数法……作差比较法作商比较法5.反证法形法数法1.函数图象2.线性规划3.其他图象……2.分析法与综合法：一、证明不等式总论：1.比较法：5.反证法：4.放缩法：二、证明不等式分论：3.函数(单调性)法：作差比较法作商比较法A-B=…=x1·x2·x3···xnx21+x22+···+x2nO作差变形三判断不是化简是变形变到显然与O比因式分解及配方①作差比较法简介：若a,b∈R+，则②作商比较法简介：1.比较法简述：(1).《新考案》P：194Ex7(2017年全国Ⅱ)(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4已知a＞0,b＞0,a3＋b3＝2,证明：证：因(a＋b)(a5＋b5)－4＝[(a3＋b3)2＋ab5＋a5b]－4≥0＝(a6＋b6＋ab5＋a5b)－4－2a3b3故(a＋b)(a5＋b5)≥4成立＝ab(a4＋b4－2a2b2)＝ab(a2－b2)22.分析法与综合法简述：②综合法：①分析法：由因导果顺推法执果索因逆推法已知可知1未知需知1已知未知需知2…………可知2综合法的优点：推理清晰，易于书写分析法的优点：从结论入手，易于寻找解题思路在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用即所谓的：分析法的思想，综合法的手段(a＋b)(a5＋b5)≥4(2)已知a＞0,b＞0,a3＋b3＝2,证明：另法1：(a＋b)(a5＋b5)＝(a3＋b3)2＋ab5＋a5b4≥＋2－2a3b3＝4＝a6＋b6＋ab5＋a5b－2a3b3(当且仅当a＝b＝1时取等号)评：从问题入手，左端需消元故采用了“一边倒”的证法……(a＋b)(a5＋b5)≥4(3)已知a＞0,b＞0,a3＋b3＝2,证明：另法2：由柯西不等式得＝(a3＋b3)2＝4(当且仅当a＝b＝1时取等号)(a＋b)(a5＋b5)≥评：还是从问题入手，左端需消元但用柯西不等式消元，更加简捷……2.分析法与综合法：一、证明不等式总论：1.比较法：4.放缩法：二、证明不等式分论：3.函数(单调性)法：作差比较法作商比较法(4).(2017年全国Ⅲ)已知函数①若，求a的值解①:因ⅰ.当a≤0时,解得f(x)在(0,+∞)上↗而x→0时,f(x)→-∞，不符题意,舍去ⅱ.当a＞0时,解得f(x)在(0,a)上↘解得f(x)在(a,+∞)上↗故设解得g(a)在(0,1)上↘解得g(a)在(1,+∞)上↗,则故,故a＝1另法：易得f(1)＝0，故f(x)min＝f(1)因故综上a＝1,故a＝1当a＝1时,解得f(x)在(0,1)上↘解得f(x)在(1,+∞)上↗故(4).(2017年全国Ⅲ)已知函数①若，求a的值,求m的最小值②设m为整数，且对于任意正整数n＜m解②:由①知当a＝1时,有,即因故故m的最小值为3(4).(2017年全国Ⅲ)已知函数而(5)(2014年新课标Ⅱ)已知数列{an}的满足a1＝1①证明:是等比数列故因证:故数列是以为首项,为公比的等比数列故即33,并求{an}的通项公式②证明：(5)(2014年新课标Ⅱ)已知数列{an}的满足a1＝1①……②证明：证：由①知,而当n≥2时，故糖水不等式若用数归法就不好玩了2.分析法与综合法：一、证明不等式总论：1.比较法：5.反证法：4.放缩法：二、证明不等式分论：3.函数(单调性)法：假设归谬三存真至多至少存在性肯定否定唯一性正难则反及显然已知a＞0,b＞0,a3＋b3＝2a＋b≤2证明：(6).《新考案》P：194Ex7(2017年全国Ⅱ)证：假设a＋b＞2,则a＞2－b,两端立方可得a3＞(2－b)3＝8－12b＋6b2－b3即a3＋b3＞8－12b＋6b2又因a3＋b3＝2,故6－12b＋6b2＜0即6(b－1)2＜0,而该式显然不成立故假设不成立.原命题成立已知≤≤≤…≤,≤≤≤…≤
若…,是…,的任意一个排列,
则称为乱序和
称为反序和
称为顺序和
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