圆中的常见辅助线及口诀
一、圆上两点连成弦圆心向弦作垂线
,图1图2
如图1AE是⊙O的直径，⊿ABC是⊙O的内接三角形，?AD是⊿ABC的高．求证：∠1=∠2
简证：(1)连BE，AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°∠E=∠C
∴Rt⊿ABE∽Rt⊿ADC?∴∠1=∠2?
(2)作OG⊥AB于G圆心向弦作垂线则∠AOG=∠C
Rt⊿AOG∽Rt⊿ACD?∴∠1=∠2?例2、如图2△ABC内接于⊙O,∠A的外角平分线交BG的延长线于D,办⊙O于E.
求证:ABAC=AD·AE
简证：∠DAC=∠CAP=∠BAE
∴△AEB∽△CDA∴∴AB·AC=AD·AE
例3、如图3PA切⊙O于A,PC交⊙O于B、C,D为PC中点,
AD延长办⊙O于EBE=DF·AE
求证∶(1)PA=PD(2)PB=PA
图3
简证∶连AB(1)BE=DF·AE
∠BEA=∠AEB∴△BED∽AEB
∴∠EBD=∠EAB又∠PAB=∠1
∴∠ADP=∠1＋∠EBD=∠PAB＋∠EAB=∠PADPA=PD
(2)PA=PB·PC=PB·2PD=PB·2PA
∴PB=PA
图4
例4、如图5AD是∠BAC的平分线,BC切⊙O于D,AB、AC交⊙O于E、F.
求证∶EF∥BC
简证∶连DE,∵∠3=∠4∠2=∠3∠1=∠4
∴∠1=∠2∴EF∥BC
二、两圆三圆连心线两圆连心过切点圆心切点紧相连
例、如图⊙O和⊙O外切于P，公切线MN切两圆于M、N，
过P的直线交两于A、B；??AM、BN延长交于C
图图附图
求证:AC⊥BC
简证:连MONOOOOO必过切点P
∵MN是两圆的公切线∴OM⊥MNO2N⊥MN
则∠O+∠O=180°∵∠A=∠O∠B=∠O2
∴∠A+∠B=90°∴∠C=90°则AC⊥BC⊙B的直径为4－2⊙C的直径为2,
⊙A分别外切于⊙B和⊙C两圆连心过切点＋1由余弦定理得∶
BC=
∴cos∠C=
∴∠C=45°
例3、如图7AB是⊙O的直径圆心切点紧相连∠ABC=∠OCB=∠E∴AB=AE
(2)∠1=∠2∠1=∠3∴∠2=∠3
AF∶AD=FC∶CD(角平分线定理)
三、两圆两交公共弦两圆相切公切线
例如图，O和⊙O相交于点A、B，EF切⊙O于P，PA、PB分别交⊙O于点C、D，
图
求证∶EF∥CD
简证∶连结AB(AB叫公共弦)∵EF切⊙O于点P，⊙A分别外切于⊙B和⊙C
∴∠APE=∠ABP又∠ABP=∠C∴∠C=∠ABP即∠C=∠CPE∴EF∥CD\
例、如图，在⊿ABC中，∠ACB=90°，以顶点A为圆心，AC为半径
作⊙A，交AB于D，交⊿ABC的外接圆于E求证：AD2=AF·AB证明：
例、如图⊙O与⊙O内切于点P，过⊙O上的一点A，作⊙O的切线?
交⊙O于B、C两点，BP、CP分别与O相交于点E、F．
求证：∠BPA=∠CPA
图简证：过P作两圆的外公切线MN，又BC切⊙O于A
∴∠MPA=∠BAP∠MPB=∠C
∵∠BPA=∠MPA－∠MPB∠CAP=∠BAP－∠C
∴∠BAP=∠CAP?例4、如图11两圆内切于P求证∶PAPD=PB·PC
简证∶过P作两圆的外公切线MN∠∠PBD∠NPC=∠A
∴∠PBD=∠A∴DP∥CA∴∴PA·PD=PB·PC
图11
例、如图⊙O和⊙O外切于点A，O的弦BC延长切⊙O于点D，
BA，CA的延长线分别与⊙O交于点E、F．
求证：（1）EF∥BC（2）AD平分∠CAE
简证：（1）过A作两圆的内公切线MN交BD于N
由弦切角定理得：∠MAF=∠E∠NAC=∠B
∵∠MAF=∠NAC∴∠B=∠E∴EF∥BC
（2）∵NA、ND切⊙O于A、DNA=ND
∴∠NAD=∠NDA又∠NAC=∠B?
∵∠CAD=∠NAC＋∠NAD∴∠CAD=∠B＋∠NDA
∵∠EAD=∠B＋∠NAD∴∠CAD=∠EAD即AD平分∠CAE例、：两圆外切于C，弦AB延长切另一圆于E，求证：证明思路：∠BCD的平分线.
证明∶过C作两圆的内公切线N，
此外，直径所对圆周角是直角,直角所对是直径.(有时作直径也是不错的辅助线)
蓝天白云
2018年12月
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