21.3实际问题与一元二次方程东宝中学孙惠文【教学目标】1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有
效的数学模型．2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。3.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运
用一元二次方程对之进行描述4.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会
进步和发展人类理性精神的作用．【教学重难点】教学重点：建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．教学难点：发现问题中的等量关
系【教学过程】一、复习引入1、解一元二次方程都是有哪些方法？2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？①审题；②设未知数；③找相等
关系；④列方程；⑤解方程；⑥答.说明：为继续学习建立一元二次方程的数学模型解实际问题作好铺垫．二、探索新知【探究1】有一人患了流感
，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？思考：（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“两轮传
染”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了
人；第一轮传染后，共有人患了流感；在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每一个人又传染了人，那么第二轮传染了
人，第二轮传染后，共有人患流感.（4）根据等量关系列方程并求解解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意
第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：1+x+x(1+x)=121解方程得x1=1
0，x2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．(5)为什么要舍去一解？（6）如果按照这样的传播速度，
三轮传染后，有多少人患流感？说明：使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当
变形对解题的影响，丰富解题经验．【探究2】两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产
技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？思考：（1
）怎样理解下降额和下降率的关系？（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了元，此时成本为
元；两年后，甲种药品下降了元，此时成本为元。（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？解：设甲种
药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．依题意，得5
000（1-x）2=3000解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的
平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。设乙种药品成本的平均下降率为y．则：6000（1-y）2=3600整理，得：
（1-y）2=0.6解得：y≈0.225答：两种药品成本的年平均下降率一样大（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大
的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？【探究3】如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm
，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽
，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？问题：（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“正中央是一个与整个封面长宽
比例相同的矩形”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？（4）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？解：依据题
意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xc
m，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．因为四周的彩色边
衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．所以（27-18x）（21-14x）=×27×21整理，得：16x2-4
8x+9=0解方程，得：x=，x1≈2.8cm，x2≈0.2所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=
1.4cm因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．注意关注学生：（1）对几何图形的分析能力；（2）在未知
数的选择上，能否根据情况，灵活处理；（3）在讨论中能否互相合作；（4）解答一元二次方程的能力；（5）回答问题时的语言表达是否准确．
三、当堂演练如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m，宽20m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使
余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？问题：（1）本题中有哪些数量关系？（2）剩余草坪的面积，是否就是原草坪的
面积减去四条路的面积？（3）由这些数量关系如何列方程？四、课堂小结通过本课学习，使学生体会列方程与解方程的完整结合，通过多种方法解得相同结论，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．作业练习册第一题，第二题。 |
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