四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期第一次月考
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（）
A．B．C.D．
2.在复平面，复数对应的点在（）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（）
A.164石 B.178石 C.189石 D.196石
4.下列选项中说法正确的是（）
A.命题“为真”是命题“为真”的必要条件
B.若向量满足，则与的夹角为锐角
C.若，则
D．“”的否定是“”
5．设为等差数列的前项和，，则（）
A．B．C.D．2
6.已知双曲线的离心率为，且抛物线的焦点为，点在此抛物线上，为线段的中点，则点到该抛物线的准线的距离为（）
A．B．2C.D．1
7.某产品的广告费用与销售额的统计数据如表：
根据上表可得线性回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）
A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D72.0万元
8.按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则处条件可以是（）
A．B．C.D．
9.已知为常数，函数有两个极值点，则的取值范围为（）
A．B．C.D．
10.—个三棱锥的三视图如图所示，其中正方形的边都是1，则该三棱锥的体积为（）
A．B．C.D．
11.已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率等于（）
A．B．C.D．
12.如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量(为实数），则的取值范围是（）
A．B．C.D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知点的坐标满足条件，则的最大值为．
14.已知数列满足，则．
15. 已知四面体的每个顶点都在球的球面上，底面，,则球的表面积为．
16.设，定义（为常数)，若，.
① 不存在极值；
② 若的反函数为，且函数与函数有两个交点，则；
③ 若在上是减函数，则实数的取值范围是；
④ 若，在的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直.
其中真命题的序号有(把所有真命题序号写上）.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知，其中.
（1）求的单调递减区间；
（2）在中，角所对的边分别为，，且向量与共线，求边长和的值.
18.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了该农产品.以表示下一个销售季度内的市场需求量，(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
（1）将表示为的函数；
（2）根据直方图估计利润不少于57000元的概率.
19.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，且交于点，是上任意一点.
（1）求证：；
（2）已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值.
20.是等边三角形，边长为4，边的中点为，椭圆以为左、右两焦点，且经过两点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过点且轴不垂直的直线交椭圆于两点，求证：直线与的交点在一条定直线上.
21.设函数.
（1）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；
（2）求函数的极值点；
（3）令，，设是曲线上相异三点，其中求.求证：.
22.选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数).
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，若点，直线与交与，求.
试卷答案
一、选择题
1-5:BBCAA6-10:ABCDB11、12：DC
二、填空题
13.1014.25515.16.②③
三、解答题
17.解：（1）由题意知.
∵在上单调递减，
∴令，得
∴的单调递减区间
（2）∵，
∴，
又，
∴，即
∵，由余弦定理得
①
因为向量与共线，
所以，
∴.②
由①②解得
∴
18.解：（1）当时，
当时
，
所以
（2）由（1）知利润不少于57000元当且仅当.
由直方图知需求量的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润不少于57000元的槪率的估计值为0.7.
19．（1）因为平面，所以，
因为四边形为菱形，所以
又，∴平面.
因为平面，∴.
（2）连接,在中，，
所以平面,分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则.
由（1）知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则
得，令，得.
因为二面角的余弦值为，所以，
解得或(舍去），所以
设与平面所成的角为.因为，，
∴
所以与平面所成角的正弦值为.
20.（1）由题意可知两焦点为与，且，因此椭圆的方程为.
（2）①当不与轴重合时，
设的方程，且
联立椭圆与直线消去可得，即
设
则①
②
②－①得
则，即.
②当与轴重合时，即的方程，即.
即①
②
联立①和②消去可得.
综上与的交点在直线上.
21.解：（1），
∵函数在定义域上是单调函数，∴或在上恒成立.
若恒成立，得.
若恒成立，得恒成立.
∵在上没有最小值，∴不存在实数使恒成立.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）由（1）知当时，函数无极值点.
当时，有两个不同解，，
∵时，即，
∴时，在上递减，在上递增，有惟一极小值点时，.
∴，在上递增，在上递减，在上递增，
有一个极大值点和一个极小值点；
综上所述，时，有惟一极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点时，无极值点.
（3）先证：，即证，
即证，
令，，，
所以在上单调递増，即,即有，所以获证.
同理可证：，
所以.
22.解：（1）的普通方程为，；
（2）根据条件可求出伸缩变换后的方程为，即，直线的参数方程(为参数），
带入椭圆：，化简得：，，
所以，
.
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！
11
|
|
