§2.1.3椭圆的综合问题（一）知识要点：1、直线与椭圆的位置关系的判定：联立直线方程，椭圆方程，得特征方程：当中，直线与椭圆没有公共点，
即相离；当中，直线与椭圆有一个公共点，即相切；当中，直线与椭圆有两个公共点，即相交；2、椭圆的弦长公式：(1)；(2)；(
3)；3、中点弦的问题在椭圆中，以中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中，以中点的弦所在直线的
斜率；在圆中，以中点的弦所在直线的斜率；?????(为特征方程的二次项系数)???例1：已知椭圆及直线，当椭圆和直线有公共点时，实
数的取值范围是；?解：联立，消去得因为直线与椭圆有公共点知，解得，解得变式1：已知椭圆，直线，求：椭圆上的点到直线的距离的最小值
.?解：由直线的方程与椭圆的方程可以知道，直线与椭圆不相交.设直线平行于直线，其方程为联立方程消去得由题知直线与椭圆相切，得解得或
所以当时直线与椭圆的交点到直线的距离最近，此时直线的方程为直线与直线间的距离，所以最小距离?例2：已知，点满足，求的取值范围.?解
：依题意知，点在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得当在原点处时当在椭圆上时，取到故范围为[.?变式2：已知的左焦点为，为坐标原点.
(1)求过点，，并且与直线相切的圆的方程；(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标
的取值范围.?解：(1)∵，∴∵圆过点，∴圆心在直线上.设圆心则圆的半径，由，得解得.故所求圆的方程为.(2)设直线的方程为，代
入中，整理得.直线过椭圆的左焦点，方程有两个不等实根.记，中点为，则∴线段的垂直平分线的方程为令，得∵，∴∴点横坐标的取值范围为
??例3：已知，若椭圆上存在两个不同的点关于直线对称，求的取值范围.解：设是椭圆上关于直线对称的两个点，是它们的中点，则有，两式
相减∴∵，，∴，∴由，解得∵点在椭圆的内部∴，∴所以当时，椭圆上存在两个不同的点关于直线对称.??评析：椭圆中与弦中点相关的
问题可采用上述“设而不求”的思想，将直线与椭圆相交的两个交点代入椭圆方程有两式相减得化简得，这种方法称为“点差法”.变式3：已知和
点，过点作直线与椭圆交于两点，则弦中点的轨迹方程是.???解：设，中点，有因为在椭圆上，所以，两式相减∵，∴化简得当时，点为点的
坐标适合方程综上所述，点的轨迹方程为例1：已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的标准方程.(2)已知点和直线，
若线段是椭圆的一条弦且被直线垂直平分，求实数的值.?解：(1)(2)由条件可得直线的方程为于是设弦的中点为，由中点坐标公式得由点
在直线上，可得.?例2：已知椭圆，焦点在坐标轴上，直线与该椭圆相交于，且，，求椭圆的方程.?解：设椭圆方程为由题意得，化简得设，则
又因为所以，即即整理得又∵化简得，联立，解得故所求椭圆方程.? |
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