§2.1.3椭圆的综合问题（二）例1：如图，分别是椭圆的左右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，.(1)求椭圆的离心率；(2)已知
的面积为，求的值.??解：(1)由题知是等边三角形，因此，所以?(2)解法1：设方程代入椭圆方程得所以到的距离，由解得解法(2):
设方程代入椭圆方程得解得??解法(3):设方程代入椭圆方程得所以解得变式1：若点在曲线上运动，求的最大值.??解：由题意，设，则(
1)若，即，则当时，取最大值(2)若，即，则当时，取最大值所以?例2：求中心在原点，一个焦点为，且直线被椭圆截得的弦的中点横坐标为
的椭圆方程.解：依题意，设椭圆方程为，则将直线方程与椭圆方程联立，消去得设弦的两个端点为则，即代入，解得，故椭圆方程为?变式2：
已知以原点为中心的椭圆的一个短轴端点为，离心率，是椭圆上的动点，若的坐标分别是，求的最大值.??解：由题设条件知焦点在轴上，故设椭
圆方程为因为，由得，解得从而椭圆方程为又因为两点是椭圆的焦点所以，由基本不等式当且仅当，即点的坐标为时上式取等号所以的最大值为4?
例3：设，在平面坐标系中，已知向量，向量，，动点的轨迹为，求轨迹的方程，并说明该方程所表示曲线的形状.解：因为，，所以，即当时
，方程表示两直线，方程为当时，方程表示的是圆当且时，方程表示的是椭圆??变式3：已知为椭圆的左右焦点，为椭圆上动点，有以下四个结
论：①的最大值大于3；②的最大值为4；③若过作的外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程是；④若动直线垂直轴，交此椭圆于两点，为
上满足的点，则点的轨迹方程为或.以上结论正确的序号为.②③?例1：椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程是.(1)求椭圆的标
准方程；(2)设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在定点，使得与点到直线的距离之比为定值；若存在，求的坐
标，若不存在，说明理由.解：(1)由，解得故椭圆的标准方程为??(2)设则由得=因为点在椭圆上，所以，故设分别为直线的斜率
，由题设条件知因此，所以所以点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为，离心率，直线是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点，使得与
点到直线的距离之比为定值. |
|
