§2.2.1双曲线及其标准方程?一、课标要求1、了解双曲线的定义、几何图形；2、掌握双曲线的标准方程；3、进一步理解坐标法思想.二、知识要点
：1、双曲线定义平面内与两定点的距离的等于常数(小于)的动点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做
.(1)“常数(小于)”，实际上此常数范围应是.(2)若常数改为等于，此时动点的轨迹.若常数为0，此时动点的轨迹为；
若常数改为大于，此时动点轨迹.(3)定义中“差的绝对值”中的“绝对值”如果去掉，点的轨迹则是.2、双曲线标准方程焦点在
轴上时，双曲线的标准方程为：；焦点在轴上时，双曲线的标准方程为：；(1)双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是
正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上；(2)双曲线标准方程的统一特征是，这种形式是焦点所在坐标轴不易判断时的统一设
法.实际上，椭圆焦点位置不定时，可设为，注意对比.(3)有关系式成立，且其中与的大小关系：可以为.而椭圆标准方程中，注意区别.差的
绝对值焦点焦距?大于0小于?是以为端点的两条射线(含端点)?线段的垂直平分线不存在双曲线的一支???例1：已知的距离之差的绝对值等
于6，求双曲线的标准方程.?解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为：∵∴∴所求双曲线标准方程为：变式1：求经过点的双曲
线的标准方程.?解：解法一：设双曲线方程：或则或，解得或无解.故双曲线方程为解法二：设双曲线方程：，则解得故双曲线方程为??例2：
设是双曲线双曲线上，若点到焦点的距离等于9，求点的到焦点的距离.?解：∵∴∵∴知右支的顶点到的距离为10，而已知，说明点在左支上，
此时，因此点到焦点的距离为17.注意：这类问题可能是一解，也可能是两解(如：本题中当时，有两解；当时，有一解)，因此，对运算结果必
须进行合理分析.变式2：已知是双曲线双曲线右支上的动点，求的最小值.?解：如图，根据双曲线的定义，知，即根据两点之间线段最短得，将
代入，得，即，当且仅当三点共线，即点为图中的点时，取等号.注意：在解决与双曲线的一个焦点有关的问题时，要善于和另一个焦点联系起来，
这样就可以根据定义对问题进行转化，转化时注意点在双曲线的哪一支上.??例3：已知两地相距800，在地听到炮弹爆炸声比地晚2，且声速
为340，求炮弹爆炸点的轨迹方程.?解：建立直角坐标系，使两点在轴上，并且坐标原点与线段的中点重合.设爆炸点的坐标为，则即.又∴因
此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为:.变式3：如图，设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程，并判断轨
迹的形状.?解：设点，因为点的坐标是(-50)所以，直线的斜率；同理，直线的斜率；由已知有化简，点的轨迹方程为轨迹是以为焦点的双曲
线(除去轴上的两点)??例1：求与圆外切，且与圆内切的动圆圆心的轨迹方程.?解：如图，设圆的半径为，，则∴∴点轨迹是以为焦点的双
曲线的右支.∴∴故圆心的轨迹方程为.例2：若一个动点到两个?解：由已知(1)当时，.点的轨迹是线段的垂直平分线，即轴，方程为.(2
)当时，.点的轨迹是以为焦点的双曲线，且，方程为.(3)当时，轨迹是两条射线(4)当时，点无轨迹.? |
|
