§2.3.2抛物线的简单几何性质（二）?知识要点1、直线与抛物线位置关系的判断通过直线与抛物线方程构成的方程组的解的个数判断，具体操作办法如
下：(1)当直线斜率不存在时，设直线，抛物线，则若，直线与抛物线有一个公共点；若，直线与抛物线没有公共点；若，直线与抛物线有两个公
共点；(2)当直线斜率存在时，设直线，抛物线.则由方程联立得到式当，即时，方程有一解，此时，直线与对称轴平行；当时，若式中，则直线
和抛物线没有公共点；若式中，则直线和抛物线有一个公共点；若式中，则直线和抛物线有两个公共点；说明:(1)联立时也可以消去，保留；(
2)有一个公共点时，直线与抛物线可能相切，可能相交(与对称轴平行).2、抛物线的弦长公式当直线与抛物线相交时，设交点为，则由式韦达
定理可得的值.若直线斜率为，则若联立方程时消去，则当直线斜率不存在时，?例1：已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，又有点，求
的最小值，并求出取最小值时点的坐标.?解：将代入抛物线方程，得∵，∴点在抛物线的内部设抛物线上的动点到准线的距离为由定义，知，如图
可知当时，的值最小最小值为即的最小值为此时点的纵坐标为2将代入，得点的坐标为变式1：抛物线的顶点的短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶
点的距离为3，求抛物线及其准线的方程.?解：∵的短轴在轴上∴抛物线的对称轴为轴设抛物线的标准方程为或∵抛物线的焦点到顶点的距离为3
∴则∴抛物线的方程为或对应的准线方程分别为或?例2：已知抛物线，过点作一条直线交抛物线两点，试求弦中点的轨迹.?解：设弦的中点为，
并设点坐标为，根据题意有得①-②得将④代入上式当时，将代入⑤得即当时，点坐标为(2,0)，也符合上式∴弦中点的轨迹方程为?变式2
：抛物线与过点的直线相交于两点，为坐标原点，若直线和斜率之和为1，求直线的方程.??解：设，代入，得，设，则，，又，∴直线的方程?
例3：已知直线与抛物线相交于不同的两点.(1)求实数的取值范围；(2)在抛物线上是否存在一个定点，对(1)中任意的值都有直线与的斜
率互为相反数？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.解：(1)根据题意联立消去得方程∵有两个不同的的解；∴(2)设则，
假设存在定点使直线与的斜率互为相反数即，即得∴存在定点在抛物线上使直线的斜率互为相反数?变式3：已知过点的动直线与抛物线相交于两点
，当直线的斜率是时，.(1)求抛物线的方程；(2)设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围.?解：(1)设当直线的斜率是时，的方
程为即联立方程，得消去得∴，∵∴由根与系数的关系及可得∴抛物线的方程为(2)由题意知直线的斜率存在，且不为0设，的中点坐标为由
得由得或∴∴的中垂线方程为∴，∴? |
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