世界七大数学难题
（即需符合构造性量子场论的标准），亦要证明它们有质量间隙，即模型所预测的最轻单粒子态为正质量。2000年，克雷
数学研究所悬赏各一百万元的数学七大千禧年难题，其中一道题为杨－米尔斯规范场论同质量间隙。
背景
我们所知多数非凡（nontrivial）－－即有相互作用－－的4维量子场论皆有cutoffscale的有效场论。因多数模型的beta-
函数是正的，似乎大多数这类模型皆有一支Landaupole，因我们完全不清楚它们有没有非凡紫外定点。故此，若每一scale
[1]
注
上皆定义有这样的量子场论，它只可能为单纯的自由场论。
然而，有不可交换结构群的杨-米尔斯理论（无夸克）例外。它有一种性质称为渐近自由，指它有一单纯的紫外定点。
因此，我们可以寄望它成为非凡的构造性（constructive）四维量子场模型。
[3]
注
不交换群Yang-Mills理论的色禁闭性已有符合理论物理严谨性的证明，但未有符合数理物理严谨性的证明。基本
上，换言之，过了QCD尺度（或者这里应称为禁闭尺度，因为无夸克），那些色荷粒子被色动力学的“流管”连着，所以粒
子间有线性势（“弦”张力x长度）。所以胶子之类自由贺粒子不可能存在。若没有这些禁闭效应，我们应见到零质量的胶
子；但因它们被禁闭，我们只见到不带色荷的胶子束绑态——胶波。凡胶波皆质量，所以我们期望质量间隙。
格点规范场论的结果令不少工作者相信，这个模型真的有禁闭现象（由Wilson圈的真空期望值的下降的“面积规
律”(arealaw)看出），但这项结果还没有符合数学的严慬性。
世界七大数学难题之六：纳维-斯托克斯存在性与光滑性
纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维－斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所
在2000年提出的7个千禧年大奖难题中的一个问题。
纳维－斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体）的运动。纳维－斯托克斯方程的解
可以用到许多实务应用的领域中。不过对于纳维－斯托克斯方程解的理论研究仍然不足，尤其纳维－斯托克斯方程的解常
会包括紊流。虽然紊流在科学及工程中非常的重要，不过紊流仍是未解决的物理学问题之一。
许多纳维－斯托克斯方程解的基本性质都尚未被证明。例如数学家就尚未证明在三维坐标，特定的初始条件下，纳维
－斯托克斯方程是否有符合光滑性的解。也尚未证明若这様的解存在时，其动能有其上下界，这就是“纳维-斯托克斯存在
性与光滑性”问题。
由于了解纳维－斯托克斯方程被视为是了解难以捉摸的紊流现象的第一步，克雷数学研究所在2000年5月提供了美金
一百万的奖金给第一个提供紊流现象相关信息的人，而不是给第一个创建紊流理论的人。基于上述的想法，克雷数学研究
所设定了以下具体的数学问题。
部分结果二维空间下的纳维-斯托克斯问题已在1960年代得证：存在光滑及全局定义解的解。在初速相当小时此问题
也已得证：存在光滑及全局定义解的解。若给定一初速，且存在一有限、依而变动的时间T，使得在的范围内，纳维-斯托
克斯方程有平滑的解，还无法确定在时间超过T后，是否仍存在平滑的解。
数学家让·勒雷在1934年时证明了所谓纳维-斯托克斯问题弱解的存在，此解在平均值上满足纳维-斯托克斯问题，但
无法在每一点上满足。
世界七大数学难题之七：贝赫和斯维讷通-戴尔猜想
贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（英文：BirchandSwinnerton-DyerConjecture），简称为BSD猜想。设是定义在代数数域上
的椭圆曲线，是上的有理点的集合，已经知道是有限生成交换群。记是的L函数，则此猜想如下：
数学家总是被诸如那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对
于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一
般的方法来确定这样的方程是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的
群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多
个有理点(解)。相反，如果z(1)不等于0。那么只存在着有限多个这样的点。
好吧，我承认我确实看不懂这世界七大数学难题是什么东西，我想大多数人也和我一样，根本不知道这讲的是什么，
还是期待那些个神人去解答这些问题吧。
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