第三步：算向量第二步：写点第一步：建系第四步：套用公式；算出特征值第五步：将特征值转换成为所需结论附1：“转换”定理：因平
面等价于法向量,直线等价于方向向量,故线线平行向向平行线面平行向法垂直面面平行法法平行线线垂直
向向垂直线面垂直向法平行面面垂直法法垂直线线夹角向向角取正即为余弦值线面夹角向法角取正即为正弦值面面夹角
法法角非等即补看锐钝斜向量与法法乘同号相等异号补文字符号图象附2：向量法求夹角斜向量在法向量上的投影长
|斜向量|×sin<斜向量,方向向量>(斜向量)2－(斜向量在方向向量上的投影长)2√|斜向量|min两点间
距离公式法1:法2:法3:APAP附3：向量法求距离：(6)下列命题中，正确命题的个数为①已知n1,n
2,分别是两个不重合平面α,β的法向量若n1∥n2,则α∥β②已知n1,n2,分别是两个不重合平面α,β的法向量
④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直若α⊥β,则n1·n2=0③若n是平面α的法向量,a与平面α
共面,则n·a=0A.1B.2C.3D.4√√√√【D】(7
)若直线l的方向向量为a=(1,0,2)，平面α的法向量解：∵n=-2a=(-2,0,-4)A.l∥α
B.l⊥αC.l?αD.l与α斜交即n∥a∴l⊥α【B】为n=(-2,0,-4
),则二、几何法的思想与向量法的手段：一、“转换”定理：因平面等价于法向量,直线等价于方向向量,故线线平行向向平
行线面平行向法垂直面面平行法法平行线线垂直向向垂直线面垂直向法平行面面垂直法法垂直建系写
点算向量四套公式五转换运算关键法向量一设二乘三特值特殊易得验证法常用公式要熟练实际上、受我省高考试题特点的限制
坐标法证平行与垂直的题型很少出现(8)(2018年浙江)如图，已知多面体ABCA1B1C1中AA1,BB1,CC
1均垂直于平面ABC,∠ABC＝1200AA1＝4,CC1＝1,AB＝BC＝BB1＝2①证明：A
B1⊥平面A1B1C1②证明：求直线AC1与平面ABB1所成角的正弦值xyO析1：因底面⊿ABC为等腰三角形，
故第一问用坐标法“伪装”证明更简析2：建立如图所示的坐标系……即验证AB1是平面A1B1C1的法向量即可A
BCB1A1C1z且……§99向量法证明平行与垂直二、几何法
的思想与向量法的手段：一、“转换”定理：因平面等价于法向量,直线等价于方向向量,故线线平行向向平行线面平行
向法垂直面面平行法法平行线线垂直向向垂直线面垂直向法平行面面垂直法法垂直建系写点算向量四套公
式五转换运算关键法向量一设二乘三特值特殊易得验证法常用公式要熟练常见的各类距离空间距离平面距离d点点
d点面d点线d线线d线面d面面:d球面d曲面d折面平行垂直角距离柱锥台球面体积三角两图两方法
八种距离两大类化归思想是主线割补运动两技巧1.平面距离：2.空间距离：直接法：间接法一找二证三计算割补法
公式法体积法展折法球面距离：折面距离：弧长公式点点距离公式点面距离公式各类距离常用的求法文
字范围图象斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角若直线与平面垂直规定夹角为900若直线在平
面内规定夹角为0过二面角的棱上任意一点,作垂直于棱的平面，分别与两个半平面相交得到两条射线,则这两条射线构成的角称为
二面角的平面角经过空间任意一点分别作两直线的平行线,这两条平行线所成的锐角(直角)称为这两条直线的夹角若这两条直线
的平行规定夹角为0线线角线面角面面角种类取值范围异面直线所成角常见的各类角的取值范围
两相交平面，二面角及二面角的平面角的关联：二面角两平面相交二面角的平面角三大夹角的求法直接法：间接法：向
量法：几何法：(定义法)(公式法)一找二证三计算线线角：线面角：面面角：平移法射影法三垂线法：垂截面法：一
垂二垂三连线??A三垂线定理法求面面角：A/一垂Om二垂三连线∠AOA/为所求角一垂二垂三连线直
接法：间接法：向量法：几何法：(定义法)(公式法)一找二证三计算线线角：线面角：面面角：平移法射影法三垂线
法：垂截面法：一垂二垂三连线截面与二面角的棱垂直三大夹角的求法??垂截面法求面面角：截面与二面角的棱垂直…
…θ直接法：间接法：③三正弦定理①等角定理②面积射影定理④三余弦定理⑤斜线长定理⑥空间角平分线定理向量法：几
何法：(定义法)(公式法)一找二证三计算线线角：线面角：面面角：平移法射影法三垂线法：垂截面法：一垂二垂三连
线截面与二面角的棱垂直三大夹角的求法等角定理：参课本《必修Ⅱ》P:46如果两个角的两边分别对应平行,且方向相同
那么这两个角相等另一组边方向相反，那么这两个角互补推论1：如果两个角的两边分别对应平行，且方向相反那么这两个角相等
推论2：如果两个角的两边分别对应平行且一组边方向相同推论3：如果两个角的两边分别对应平行那么这两个角相等或互补推论4
：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行那么这两组直线所成的夹角相等等角定理说明了：①角的边具有自由平移性②角的两边
“可分可合”面积射影定理(公式)若平面α内一区域投影到平面β上,则其面积比是α和β所成二面角的平面角的余弦值θ
??SS′SS′如何区分S和S′：法1：正(余)弦函数的值域为[-1,1]法2：将二面角退化成直角三角形……
θ如图，OA为平面?的一条斜线，OC是OA在?上的射影OB是?内的一直线，则：AOBCαcos∠AOB
=cos?AOCcos∠BOC注1：公式的记忆:cosΘ斜=cosΘ竖cosΘ平注2：常见的推论:(1)(2)
(3)当Θ斜=900时，即为三垂线及其逆定理当cos∠AOB=cos?AOCcos∠BOC时，有面AOC⊥面BOC
?AOC是OA与?内任意直线所成角中的最小角将三角板放在桌面上……三余弦定理(公式)OBACOA
CB注1：公式的记忆:注2：常见的推论:三余弦定理(公式)注3：是空间余弦定理的特例:??5NB
AMCγ注1：记忆：sinΘ线面＝sinΘ线线sinΘ面面=Θ面面=Θ线面=Θ线线如图,二面角M－AB－
N的平面角为α，在平面ABM上有一条射线AC，它和平面ABN所成的角为β，它和棱AB所成角为γ.则sinγ=sinα·sinβ
注2：推导：“装入”长方体中，基本上是显然三正弦定理(公式)ACBO从平面外一点向这个平面所引的垂线段和
斜线段中（1）射影相等的两条斜线段相等射影较长的斜线段也较长（2）相等的斜线段的射影相等较长的斜线
段的射影也较长（3）垂线段比任何一条斜线段都短官方版山寨版斜线段等射影等，反之则不然斜线长定理角平分线定理：定理1:
角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等逆定理:到角两边距离相等的点的集合是该角的角平分线定理2：三角形一个角的平分线分对
边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例ABCD在△ABC中，AD平分∠BAC则BD：DC=AB
：AC定理1及其逆定理，推广到空间仍然成立空间角平分线定理：(自命名)(2)若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等
,则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上(1)若过角的顶点的射线与该角的两边的夹角相等则这条射线在该角所在平
面内的射影是该角平分线CBOA若CE=CF则OC在平面AOB内的射影为∠AOB的平分线若∠COA=∠COB则O
C在平面AOB内的射影为∠AOB的平分线FE可以理解成：角的平分线在铅直面内绕角的顶点旋转“遗传”了：角平分线定理1及
其逆定理的性质空间角平分线定理：(自命名)§99向量法证明平行与垂直二、几何法的思想与向量法的手段：一、“
转换”定理：因平面等价于法向量,直线等价于方向向量,故线线平行向向平行线面平行向法垂直面面平行法法平
行线线垂直向向垂直线面垂直向法平行面面垂直法法垂直建系写点算向量四套公式五转换运算关键法向量一
设二乘三特值特殊易得验证法常用公式要熟练五转换坐标法——何时用说明①：三线垂直要证明三线垂直较明显坐标易得
关键点题中没有明确提到：三线垂直时一定要先证明：三线垂直理论上有，但实际上，受我省高考试题特点的限制一般的、这种
类情况，很少见说明②：三线垂直很明显点的坐标不好求说明③：三线垂直不明显建系目的难达成以小题、及个别
大题为主……坐标法的五大步骤建系写点算向量四套公式五转换运算关键法向量一设二乘三特值特殊易得验证法常用公
式要熟练第一步：建系：建立适当的空间右手直角坐标系③尽量将研究的对象放置到坐标轴或坐标面上①非负性注1：要有必要的文字
说明:建立如图所示的坐标系……注3：z轴正方向朝上，x轴逆时针旋转900要于y轴重合注2：越特殊越好：②对称性注5：题
中没有明确给出三线垂直时；注4：画坐标轴或箭头时，大小要适中，虚实要分明①要根据题意作出必要的证明②构造法构造一组三
线垂直③上述两法均不灵光时，考虑基底法或几何法公式法定义法方程法线段中点坐标公式三角形重心坐标公式定比分点
坐标公式点面距离的泛化第二步：写点(求出关键点的坐标)注1：题中有已知长度关系时，用已知反之,要灵活选用“妨”;“不妨
”;“半妨半不妨”一般的、不涉及：距离、面积、体积时就“不妨”；反之、就“妨”公式法定义法方程法线段中点坐标公式
三角形重心坐标公式定比分点坐标公式点面距离的泛化第二步：写点(求出关键点的坐标)注1：题中有已知长度关系时，用已知注
2：要灵活应用：割补法＋运动观，及各种方法反之,要灵活选用“妨”;“不妨”;“半妨半不妨”快捷准确地求出关键点的坐标
(1)如图,已知点E，F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB,AA1的中点,点M,N分别是线段D1E与C1F上的点
，则与平面ABCD垂直的直线MN有A.0条B.1条C.2条D.无数条ADBCD1C1
B1A1FE解：建立如图所示的坐标系不妨设AB=2……MN【B】xzy因,则
因,则故又因平面ABCD的法向量为由得中,底面边长和,则异面直线(
2)(2012年全国)三棱柱ABC－A1B1C1侧棱长都相等，AB1与BC1所成角的余弦值为________则
,，析1：建立如图所示的坐标系，不妨设AB＝2析2：由三余弦公式易得从而,
故析3：由得ACA1B1C1BxyzO中,底面边长和,则异面直线
(2)(2012年全国)三棱柱ABC－A1B1C1侧棱长都相等，AB1与BC1所成角的余弦值为________AB
CA1B1C1析：虽然可用坐标法，但关键点B1，C1的坐标……解：设已知∠BAA1=∠CAA1=∠
BAC=600不妨令AB=AC=AA1=1而故(3).(2018年全国Ⅱ)如图在三棱锥P—ABC中,AB=BC=
求PC与平面PAM所成角的正弦值PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点①证明：PO⊥平面ABC②若点M在棱BC上
,且二面角M—PA—C为300解①：……OC=OB=2,OP=解②：建立如图所示的坐标系……A()
,C(),P()yxz0,-2,00,2,0法1：B、C、M三点共线……M(?
,?,0)M(λ,λ,0)法2：点N(,0,0)替换M点，应用截距法、可秒……平面PAM(平面PAN)
N的法向量是易得平面PAC的法向量是……第三步：算向量<1>直线等价于方向向量<2>平面等价于法向量
第二步：写点第一步：建系1.直接法：2.三步法：3.验证法：4.截距法：一设二乘三特值特殊易得直接写感觉良好验证法建系写点算向量四套公式五转换运算关键法向量一设二乘三特值特殊易得验证法常用公式要熟练截距倒数法向量(4)判断下面结论是否正确①直线的方向向量是唯一确定的②平面的单位法向量是唯一确定的③若两平面的法向量平行，则两平面平行④若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行√××√(5)已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的法向量可以是【A】1.直接法：2.三步法：3.验证法：4.截距法：一设二乘三特值特殊易得直接写感觉良好验证法截距倒数法向量A．(1,1,1)B.C.D．(－1,0,1) |
|
