已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1)则两平面所成的二面角的大小为A.450B.1
350C.450或1350D.900析：因故选【C】ADBCD1C1B1A1xz
y已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成角为__________450变式1：
(2).《新考案》P：107基础训练2如图,已知m=(0,1,0),n=(0,1,1)分别是平面DCC1D1,析
：因故所求角为450ADBCD1C1B1A1xzy变式2：平面ABC1D1的法向量，平面角为_
____则二面角AB—C1D1—DC的如图,已知m=(0,1,0),n=(0,1,1)分别是平面DCC1D1,析：因故
所求角为1350ADBCD1C1B1A1xzy变式3：平面ABC1D1的法向量，平面角为____
_则二面角AB—C1D1—EF的EFBACDA1D1C1B1(3).(2005年湖南)如图,正方体ABCD
—A1B1C1D1的棱长为1O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AC1D1的距离为A.B.C.
D.Oxzy析：建立如图所示的坐标系则易得平面AC1D1的法向量为故所求距离为BACDA1
D1C1B1如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心，则直线OA与平面ABC1D1
所成角Oxzy析：建立如图所示的坐标系,则易得平面AC1D1的法向量为故所求值为变式1：的余弦值为____
因BACDA1D1C1B1如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心，
则直线OA与平面ABC1D1所成角O析：建立如图所示的坐标系………变式1：的余弦值为____面AC1D1的法向量为
变式2：…………所成角的正弦值为_________变式3：…………所成角的正切值为_________BAC
DA1D1C1B1如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心，则点C1到直线OA
的距离为____Oxzy析：建立如图所示的坐标系,则故所求距离为变式4：=BACDA1D1C1
B1如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心，则点C1到直线OA的距离为____O
xzy变式4：|斜向量|×sin<斜向量,方向向量>|斜向量|min另法1:另法2:AP针对训练：1
.《新考案》P：103Ex1预习：复习与小结2.《新考案》P：106突破训练2
§100向量法求距离及夹角一、向量法求夹角：二、向量法求距离：2.3.1.2.3.1.：两点间
距离公式(,,)：()：斜向量在法向量上的投影长(斜向量)2－(斜向
量在方向向量上的投影长)2√建系写点算向量四套公式五转换运算关键法向量一设二乘三特值特殊易得验证法常用公式要
熟练文字范围图象斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角若直线与平面垂直规定夹角为900若
直线在平面内规定夹角为0过二面角的棱上任意一点,作垂直于棱的平面，分别与两个半平面相交得到两条射线,则这两条射线构成
的角称为二面角的平面角经过空间任意一点分别作两直线的平行线,这两条平行线所成的锐角(直角)称为这两条直线的夹角若这
两条直线的平行规定夹角为0线线角线面角面面角种类取值范围异面直线所成角常见的各类角的
取值范围两相交平面，二面角及二面角的平面角的关联：二面角两平面相交二面角的平面角三大夹角的求法直接法：间接
法：向量法：几何法：(定义法)(公式法)一找二证三计算线线角：线面角：面面角：平移法射影法三垂线法：垂截面
法：一垂二垂三连线??A三垂线定理法求面面角：A/一垂Om二垂三连线∠AOA/为所求角一垂二垂三
连线直接法：间接法：向量法：几何法：(定义法)(公式法)一找二证三计算线线角：线面角：面面角：平移法射影法
三垂线法：垂截面法：一垂二垂三连线截面与二面角的棱垂直三大夹角的求法??垂截面法求面面角：截面与二面角的
棱垂直……θ直接法：间接法：③三正弦定理①等角定理②面积射影定理④三余弦定理⑤斜线长定理⑥空间角平分线定理向量
法：几何法：(定义法)(公式法)一找二证三计算线线角：线面角：面面角：平移法射影法三垂线法：垂截面法：一垂
二垂三连线截面与二面角的棱垂直三大夹角的求法等角定理：参课本《必修Ⅱ》P:46如果两个角的两边分别对应平行,且方
向相同那么这两个角相等另一组边方向相反，那么这两个角互补推论1：如果两个角的两边分别对应平行，且方向相反那么这两个
角相等推论2：如果两个角的两边分别对应平行且一组边方向相同推论3：如果两个角的两边分别对应平行那么这两个角相等或互补
推论4：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行那么这两组直线所成的夹角相等等角定理说明了：①角的边具有自由平移性②
角的两边“可分可合”面积射影定理(公式)若平面α内一区域投影到平面β上,则其面积比是α和β所成二面角的平面角的余弦值
θ??SS′SS′如何区分S和S′：法1：正(余)弦函数的值域为[-1,1]法2：将二面角退化成直角三
角形……θ如图，OA为平面?的一条斜线，OC是OA在?上的射影OB是?内的一直线，则：AOBCαcos
∠AOB=cos?AOCcos∠BOC注1：公式的记忆:cosΘ斜=cosΘ竖cosΘ平注2：常见的推论:(1)
(2)(3)当Θ斜=900时，即为三垂线及其逆定理当cos∠AOB=cos?AOCcos∠BOC时，有面AOC⊥面B
OC?AOC是OA与?内任意直线所成角中的最小角将三角板放在桌面上……三余弦定理(公式)OBAC
OACB注1：公式的记忆:注2：常见的推论:三余弦定理(公式)注3：是空间余弦定理的特例:??5
NBAMCγ注1：记忆：sinΘ线面＝sinΘ线线sinΘ面面=Θ面面=Θ线面=Θ线线如图,二面角M
－AB－N的平面角为α，在平面ABM上有一条射线AC，它和平面ABN所成的角为β，它和棱AB所成角为γ.则sinγ=sinα·
sinβ注2：推导：“装入”长方体中，基本上是显然三正弦定理(公式)ACBO从平面外一点向这个平面所引的
垂线段和斜线段中（1）射影相等的两条斜线段相等射影较长的斜线段也较长（2）相等的斜线段的射影相等较
长的斜线段的射影也较长（3）垂线段比任何一条斜线段都短官方版山寨版斜线段等射影等，反之则不然斜线长定理角平分线定理：
定理1:角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等逆定理:到角两边距离相等的点的集合是该角的角平分线定理2：三角形一个角的平
分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例ABCD在△ABC中，AD平分∠BAC则BD：D
C=AB：AC定理1及其逆定理，推广到空间仍然成立空间角平分线定理：(自命名)(2)若一个角所在平面外一点到角的两边
距离相等,则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上(1)若过角的顶点的射线与该角的两边的夹角相等则这条射线在该
角所在平面内的射影是该角平分线CBOA若CE=CF则OC在平面AOB内的射影为∠AOB的平分线若∠COA=∠CO
B则OC在平面AOB内的射影为∠AOB的平分线FE可以理解成：角的平分线在铅直面内绕角的顶点旋转“遗传”了：角平分线
定理1及其逆定理的性质空间角平分线定理：(自命名)§100向量法求距离及夹角一、向量法求夹角：二、向量
法求距离：2.3.1.2.3.1.：两点间距离公式(,,)：(
)：斜向量在法向量上的投影长(斜向量)2－(斜向量在方向向量上的投影长)2√建系写点算向量四套公式五转换运算
关键法向量一设二乘三特值特殊易得验证法常用公式要熟练四套公式五转换坐标法——何时用说明①：三线垂直要证明
三线垂直较明显坐标易得关键点题中没有明确提到：三线垂直时一定要先证明：三线垂直理论上有，但实际上，受我省高考试
题特点的限制一般的、这种类情况，很少见说明②：三线垂直很明显点的坐标不好求说明③：三线垂直不明显建系目的难
达成以小题、及个别大题为主……坐标法的五大步骤建系写点算向量四套公式五转换运算关键法向量一设二乘三特值
特殊易得验证法常用公式要熟练第一步：建系：建立适当的空间右手直角坐标系③尽量将研究的对象放置到坐标轴或坐标面上①非
负性注1：要有必要的文字说明:建立如图所示的坐标系……注3：z轴正方向朝上，x轴逆时针旋转900要于y轴重合注2：越特殊
越好：②对称性注5：题中没有明确给出三线垂直时；注4：画坐标轴或箭头时，大小要适中，虚实要分明①要根据题意作出必要的证
明②构造法构造一组三线垂直③上述两法均不灵光时，考虑基底法或几何法公式法定义法方程法线段中点坐标公式三
角形重心坐标公式定比分点坐标公式点面距离的泛化第二步：写点(求出关键点的坐标)注1：题中有已知长度关系时，用已知反之
,要灵活选用“妨”;“不妨”;“半妨半不妨”一般的、不涉及：距离、面积、体积时就“不妨”；反之、就“妨”公式法定义法
方程法线段中点坐标公式三角形重心坐标公式定比分点坐标公式点面距离的泛化第二步：写点(求出关键点的坐标)注1：题中有已
知长度关系时，用已知注2：要灵活应用：割补法＋运动观，及各种方法反之,要灵活选用“妨”;“不妨”;“半妨半不妨”快捷准
确地求出关键点的坐标第三步：算向量<1>直线等价于方向向量<2>平面等价于法向量第二步：写点第一步：建系
1.直接法：2.三步法：3.验证法：4.截距法：一设二乘三特值特殊易得直接写感觉良好验证法
建系写点算向量四套公式五转换运算关键法向量一设二乘三特值特殊易得验证法常用公式要熟练截距倒数法向量
第三步：算向量第二步：写点第一步：建系第四步：套用公式；算出特征值第五步：将特征值转换成为所需结论
附1：“转换”定理：因平面等价于法向量,直线等价于方向向量,故线线平行向向平行线面平行向法垂直面面平行
法法平行线线垂直向向垂直线面垂直向法平行面面垂直法法垂直线线夹角向向角取正即为余弦值线面夹角向法角
取正即为正弦值面面夹角法法角非等即补看锐钝斜向量与法法乘同号相等异号补文字符号图象附2：向量法求夹角
两相交平面，二面角及二面角的平面角的关联：二面角两平面相交二面角的平面角线线角线面角面面角种
类取值范围异面直线所成角各种角的取值范围斜向量在法向量上的投影长|斜向量|×sin<斜向量,方向向量>
(斜向量)2－(斜向量在方向向量上的投影长)2√|斜向量|min两点间距离公式法1:法2:法3:APAP附3：向量法求距离：(1)长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为______BACDA1D1C1B1Exzy析：建立如图所示的坐标系则若答案是？故所求值为变式：长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE间的距离是___BACDA1D1C1B1Exzy析：建立如图所示的坐标系,则不妨取即设是异面直线BC1与AE的法向量，则故所求距离为 |
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