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2018-2019学年度???学校1月月考卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
一、解答题
1．已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当且时，若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，分两种情况讨论，分别利用，求得的范围，从而可得结果；（2）讨论时，可得，利用，，且，只需，解得；当时，在，上单调递增，在上单调递减，可证明极大值，只有一个零点，不合题意，综合两种情况可得结果.
【详解】
（1）.
当时，由，得或；
由，得.
故在，上单调递增，在上单调递减.
（2）①当时，在上单调递增，在上单调递减，
则，
因为，，且，
所以，即.
②当时，在，上单调递增，在上单调递减，
在时取得极大值，且，
因为，所以，则，
所以在只有一个零点.
综上，的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点问题，属于难题.利用导数求函数的单调区间的一般步骤：1、求出；2、在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间；3、在定义域内，利用求得的范围，可得函数的减区间.
2．设函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求的零点个数；
（Ⅲ）证明：曲线没有经过原点的切线.
【答案】（Ⅰ）时，在内单调递增；时，，，在区间及内单调递增，在内单调递减；（Ⅱ）有且仅有一个零点；（Ⅲ）证明见解析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）本小题要求单调区间，可先求定义域为，再求出导数，研究的根的情况，从而得出的解集，得单调区间；（Ⅱ）函数的零点个数，可利用（Ⅰ）的单调性证明，如当时，在内单调递增，最多只有1个零点，如能说明函数有正有负，则一定有一个零点；当时，在及内单调递增，在内单调递减，是的根，要讨论的正负，从而确定零点个数；（Ⅲ）用反证，假设曲线在点处的切线经过原点，则有，化简得.下面只要证明此方程无解即可，可求函数的最小值，证得结论．
试题解析：（Ⅰ）的定义域为，.
令，得.
当，即时，，
∴在内单调递增.
当，即时，由解得，
，，且，
在区间及内，，在内，，
∴在区间及内单调递增，在内单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，在内单调递增，
∴最多只有一个零点.
又∵，∴当且时，；
当且时，，故有且仅有一个零点.
当时，∵在及内单调递增，在内单调递减，
且，
，
而，
（∵），
∴，由此知，
又∵当且时，，故在内有且仅有一个零点.
综上所述，当时，有且仅有一个零点.
（Ⅲ）假设曲线在点处的切线经过原点，
则有，即，
化简得：.（）
记，则，
令，解得.
当时，，当时，，
∴是的最小值，即当时，.
由此说明方程（）无解，∴曲线没有经过原点的切线.
考点：导数与单调性，函数的零点，导数的几何意义．
【名师点睛】1.导数法求函数单调区间的一般流程:
求定义域→求导数f''（x）→求f''（x）=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f''（x）在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性
当f（x）不含参数时,也可通过解不等式f''（x）>0（或f''（x）<0）直接得到单调递增（或递减）区间.
2．导数的几何意义
函数y=f（x）在x=x0处的导数f''（x0）的几何意义是曲线y=f（x）在x=x0处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-f（x0）=f''（x0）（x-x0）.
3．零点存在定理：函数在上有定义，若，则在上至少有一个零点．
3．已知函数，其中是自然数的底数，．
（1）当时，解不等式；
（2）若，试判断在上是否有最大或最小值，说明你的理由．
【答案】（1）；（2）在上有最小值，无最大值．
【解析】
试题分析：（1）由于，因此不等式可化为二次不等式，利用二次不等式的解的结论可得；（2）判断最大值和最小值，首先研究函数的单调性，即求出，考虑的解，如有解，判断这个解是否在上，从而确定函数在上的单调性，本题中判断解的情况可利用二次函数的性质，判断出导函数在内有一个零点，记为，再判断导函数的正负，有结论在在上，递减，在上，递增，从而在上有最小值，无最大值．
试题解析：（1）因为，所以不等式即为，
又因为，所以不等式可化为，
所以不等式的解集为．
（2），
令，
图象对称轴为．
因为，所以在内有零点，记为，
在上，递减，在上，递增，
在上有最小值，无最大值．
考点：用导数研究函数的最值．
4．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若对,都有,求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）且
【解析】
试题分析：（1）由函数求单调区间，（注意函数的定义域）可运用导数，先求导，再分别令求出解集为函数的增区间和减区间可得；
（2）由题为恒成立问题，使成立，可运用导数转化为最值问题而解决，即．
试题解析：（1）,由得由得
的单调递增区间为单调递减区间为．
（2）由（1）知,在区间单调递增,在区间单调递减,
,且．
实数的取值范围为且
考点：1．运用导数求函数的单调区间；2．恒成立问题与最值思想
5．已知函数（为常数）．
（Ⅰ）若函数在处的切线方程为，求；
（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．
【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)运用导数的几何意义建立方程求解；（Ⅱ）借助题设条件,运用导数的知识与分类整合的数学思想求解.
试题解析:
（Ⅰ），
，得，
由已知得切点为，所以，得，
所以．
（Ⅱ）当时，，
令，
，
（1）当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，
所以函数在上的最大值为，
（2）当时，令，得或．
①当，即时，函数在上为增函数，在上为减函数，
所以函数在上的最大值为，
由，得；
②当，即时，函数在上为增函数，在上为减函数，
所以函数在上的最大值为，
因为成立，
由，得；
所以；
③当，即时，函数在上为增函数，
所以函数在上的最大值为成立；
④当，即时，
在上为增函数，在上为减函数，
所以函数在上的最大值为，
因为成立，由，
得，而，所以；
⑤当，即时，函数在上为增函数，在上为减函数，
所以在上的最大值为，因为成立，
所以；
综上所述，实数的取值范围为．
考点：导数的知识与分类整合思想的运用．
【易错点晴】本题考查的是导数在研究函数的单调性和最值方面的运用的问题,这类问题的设置重在考查导数的工具作用.解答这类问题是,一要依据导数的几何意义,导函数在切点处的导函数值就切线的斜率;再一个就是切点既在切线上也在曲线上,这两点是解决曲线的切线这类问题所必须掌握的基本思路.本题的第二问设置的是不等式恒成立的前提下求参数的取值范围问题,求解时先将不等式进行转化,再构造函数,然后通过运用导数对函数最值的分类研究,最后求出参数的取值范围.
6．已知函数
（1）当，求的单调区间；
（2）讨论函数零点的个数．
【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）综上时，没有零点；或时，一个零点；时，两个零点．
【解析】
试题分析：（1）当，，解不等式可得函数的单调区间；（2）求导由得，分分别讨论函数的零点的个数即可．
试题解析：（1）当时，
解得，或解得
故所求增区间为和，减区间为
（2）有或
①当时，，有一个零点
当时，由得得
故其在内递减，在递增，故
若，即时，令有
另取，故有两上零点；
若即时，有一个零点；
若，即时，没有零点；
②当，有，又
不妨令
时，有时，有，故在增，在减
从面
又
故此时函数有一个零点；
综上时，没有零点；
或时，一个零点；
时，两个零点．
考点：1．导数与函数的单调性；2．函数与方程．
7．已知函数
（I）若，求函数的极值和单调区间；
（II）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（I）时，的极小值为1；单调递增区间为，单调递减区间为；（II）．
【解析】
试题分析：（I）首先求出导函数，然后令导数等于零，解方程，从而根据定义域列表讨论，求得函数的单调区间和极值；（II）首先根据题意将问题转化为在区间上的最小值小于0即可，从而首先求出导函数，然后分、研究函数在上的单调性，将的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值，进而求得的取值范围．
试题解析：（I）因为，
当，．
令，得．
又的定义域为，随的变化情况如下表：
所以时，的极小值为1．
的单调递增区间为，单调递减区间为．
（II）因为，且，
令，得到．
若在区间上存在一点，使得成立，
其充要条件是在区间上的最小值小于0即可．
（1）当时，对成立，
所以，在区间上单调递减，
故在区间上的最小值为，
由，得，即
（2）当时，
①若，则对成立，
所以在区间上单调递减，
所以，在区间上的最小值为，
显然，在区间上的最小值小于0不成立
②若，即时，则有
所以在区间上的最小值为，
由，
得，解得，即舍去；
当，即，即有在递增，
可得取得最小值，且为1，，不成立．
综上，由（1）（2）可知符合题意．
考点：1、函数极值与导数的关系；2、利用导数研究的函数的单调性；3、函数最值与导数的关系．
【方法点睛】运用导数求可导函数的极值的步骤：（1）先求函数的定义域，再求函数的导数；（2）求方程的根；（3）检查在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值．如果左右符号相同，则此根处不是极值点．
8．已知函数，其中为常数．
(Ⅰ)当时，求的极值；
(Ⅱ)若在区间上单调函数，求实数的取值范围；
(Ⅲ)过坐标原点可以作几条直线与曲线相切？请说明理由．
【答案】(Ⅰ)极小值为，无极大值；(Ⅱ)；(Ⅲ)只有一条，理由见解析．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)首先求出函数的定义域，然后求导得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；(Ⅱ)将问题转化为导函数或在区间上恒成立，由此求得的取值范围；(Ⅲ)设出切点，写出切线方程，由条件知切线过原点，代入关于的一个方程，从而只需研究此方程有几个解即可．
试题解析：(Ⅰ)当时，，定义与为
由得，由得
的增区间为，减区间为
当时，取得极小值为，无极大值
(Ⅱ)①当是增函数时，
在上恒成立，即在上恒成立，
在上恒成立．
在上是减函数，，
②当是减函数时，
在上恒成立，即在上恒成立
设，则解得
的取值范围为
(Ⅲ)设切点，则切线方程为.
∵过原点，化简得①.
设，则，
在区间内单调递增.又，
故方程①有唯一实根，从而满足条件的切线只有一条.
考点：1、函数极值与导数的关系；2、利用导数研究函数的单调性；3、导数的几何意义．
9．已知函数的图象经过点（1,4）,曲线在点处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．
（1）求实数的值；
（2）若函数在区间上单调递增,求的取值范围
【答案】（1）;（2）.
【解析】试题分析：（1）由题为求函数解析式中的值，可利用题中的条件过点（1,4）及处的切线斜率为建立关于的两个方程，解得；
（2）由（1）得出函数解析式，可先用导数求出函数的单增区间，再利用区间上
单调递增，即为函数的单增区间的子集，可求出的取值范围。
试题解析：（1）的图像过（1,4）；
又，则；
结合条件，得：，即：
解得：
（2）由于，则；令
解得：，又因为函数在区间上单调递增
则：，解得的取值范围为：
考点：（1）导数的几何意义及方程思想；（2）利用导数求函数的单调区间及子集思想。
10．已知函数．
（1）若，求函数的极值，并指出极大值还是极小值；
（2）若，求函数在上的最值；
（3）若，求证：在区间上，函数的图象在的图象下方．
【答案】（1）的极小值是，无极大值；（2），；（3）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）时,,求导,然后计算其单调区间；（2）时,,求导,然后计算其单调区间,从而得出最大最小值；（3）先求出,然后用到导数判断的单调性和最值.
试题解析：
（1）的定义域是，
当时，在上递减；
当时，在上递增，
的极小值是，无极大值．
（2）恒成立对，
在上递增，
，．
（3）证明：令（）
在上恒成立，
在区间上递减，
在区间上，函数的图象在的图象下方
考点：函数导数----单调区间与极值,最值．
【方法点晴】求极值的步骤：①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.
11．设函数．
（I）当时，求的单调区间；
（II）若当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（I）的单调递增区间为和的单调递减区间为；（II）．
【解析】
试题分析：（I）当时，,,由此求出的单调区间；（II）由于当时，恒成立,故,注意到,只需要判断的单调区间即可.
试题解析：
（I）当时，
的单调递增区间为和
的单调递减区间为
（II），
令，，
当时，，在上为增函数．
而，从而当时，，即恒成立．
若当时，令，得（用也对）
当时，，在上是减函数，
而，从而当时，，即，不成立
综上可得的取值范围为．
考点：函数导数----单调性与最值．
【方法点晴】不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．：．无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝．
12．设函数.
（1）求的单调区间和极值；
（2）设，当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）当时，函数的单调递增区间是，无极值，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，无极小值；（2）.
【解析】
试题分析：（1）首先对函数求导，并结合对实数的讨论，即可求得的单调区间和极值；（2）先对函数进行求导，并针对实数的不同取值证明的最小值大于或等于恒成立或者函数的值大于或等于不恒成立.
试题解析：（1）定义域为，.
（ⅰ）当时，对，，函数的单调递增区间是，无极值；
（ⅱ）当时，时，；当时，，所以的单调递增区间是，单调递减区间是.当时，取得极大值，无极小值.
（2）函数，.
（ⅰ）当时，由重要不等式知，
，在上递增，所以恒成立，符合题意.
（ⅱ）当时，因为，故，所以在上递增.又，存在，使得，从而函数在上递减，在上递增，又，所以不恒成立，不满足题意.
综上（ⅰ），（ⅱ）知实数的取值范围是
考点：1、导数在函数研究中的应用；2、单调区间，极值及极端不等式恒成立.
【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：（1）首先对函数求导，并结合对实数的讨论，即可求得的单调区间和极值；（2）先对函数进行求导，并针对实数的不同取值证明的最小值大于或等于恒成立或者函数的值大于或等于不恒成立,进而可求出恒成立时实数的取值范围.
13．已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）证明：函数的图象在直线的图象下方.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）求导，由求出即可；（2）“函数的图象在直线的下方”等价于，构造函数，，求导，研究函数的单调性与最值，证即可.
试题解析：对求导，得，，，
所以
（2）证明：“函数的图象在直线的下方”等价于即要证，所以只要证.，，趋于0时，，存在一个极值使得等价于所以
故函数的图象在直线的下方.2
考点：1.导数的运算法则；2.导数与函数的单调性、极值、最值；3.函数与不等式.
14．设函数，其中为实数.
（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；
（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.
【答案】（1）；（2）当或时，有个零点；当时，有个零点.
【解析】试题分析：（１）求导数，利用在上是单调减函数，转化为在上恒成立，利用在上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；（２）先确定的范围，再分类讨论，确定的单调性，从而可得的零点个数．
试题解析：（1）在上恒成立,则,故.,
若,则在上恒成立,此时,在上是单调增函数,
无最小值,不合；若,则在上是单调减函数,在上是单调增函数,
,满足.故的取值范围.
（2）在上恒成立,则,故.
①若,令得增区间为；令得减区间为,
当时,；当时,；当时,,
当且仅当时取等号.故:时,有个零点；当时,有个零点.
②若,则,易得有个零点；
③若,则在上恒成立,即：在上是单调增函数,
当时,；当时,.此时,有个零点.
综上所述：当或时,有个零点；故时,有个零点.
考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．
15．已知函数f(x)＝ax＋lnx(a＜0)．
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）设g(x)＝x2－2x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先求函数的导数，并求定义域内的极值点，并求和的解集，即为函数的单调递增和递减区间；
（Ⅱ）根据条件所给任意和存在性的关系，将问题转化为，所以根据（Ⅰ）的结果求函数，，根据建立不等式，求得的取值范围.
试题解析：解：（Ⅰ）＝．a＜0，＝0，x＝－.
在区间(0，－)上，＞0，在区间(－，＋∞)上，＜0，
所以,函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为
（Ⅱ）由已知，转化为．而，
由(Ⅰ)知，f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减，
故f(x)的极大值即为最大值，
f(－)＝－1＋ln()＝－1－ln(－a)，
所以2＞－1－ln(－a)，解得.
综上，a的取值范围是.
说明：各题如有其它解法可参照给
考点：1.导数与单调性；2.导数与最值.
16．讨论函数的单调性.
【答案】当时，在上是减函数，当时，在上是增函数.
【解析】
试题分析：根据函数奇偶性的定义可判断函数为奇函数,图像关于原点对称.所以可以只讨论在上的单调性.求导,讨论导数的正负,同时注意讨论,根据导数的正负可得函数的增减区间.
试题解析：的定义域为，函数是奇函数，只需讨论函数在上的单调性.
因为，
当时，，
所以当，所以函数在上是减函数；
当，所以函数在上是增函数；
又函数是奇函数，而奇函数的图形关于原点对称，从而可知
当时，在上是减函数，当时，在上是增函数.
考点：用导数研究函数的性质.
17．已知函数，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，恒成立，求实数a的范围．
【答案】（Ⅰ）（，a﹣1+）．（Ⅱ）（﹣∞，2]．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求了函数f（x）的定义域和导数，构造函数g（x）=x2+2（1﹣a）x+1，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）“当x＞0，且x≠1时，恒成立”，等价于“当x＞0，且x≠1时，恒成立”，构造函数h（x）=f（x）﹣a，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
设g（x）=x2+2（1﹣a）x+1，△=4a（a﹣2）
①当a≤0时，函数y=g（x）的对称轴为x=a﹣1，
所以当x＞0时，有g（x）＞g（0）＞0，
故f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当0＜a≤2时，由△=4a（a﹣2）≤0，得g（x）=x2+2（1﹣a）x+1≥0，
所以f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，
③当a＞2时，令g（x）=0得，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜x1或；令f′（x）＜0，解得x1＜x＜x2
所以f（x）的单调递增区间（0，）和（，+∞）；
f（x）的单调递减区间（，a﹣1+）．
（Ⅱ）“当x＞0，且x≠1时，恒成立”，
等价于“当x＞0，且x≠1时，（※）恒成立”，
设h（x）=f（x）﹣a，由（Ⅰ）知：
①当a≤2时，h（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x∈（0，1）时，h（x）＜h（1）=0，所以；
当x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）=0，所以；
所以，当a≤2时，※式成立．
②当a＞2时，h（x）在（x1，1）是减函数，
所以h（x）＞h（1）=0，※式不恒成立．
综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
18．已知函数f（x）=ax﹣ex（a∈R），g（x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）?x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex成立，求a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）答案见解析（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）f′（x）=a﹣ex，x∈R．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出；
（Ⅱ）由?x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex，即a≤．设h（x）=，则问题转化为a，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
解：（Ⅰ）∵f′（x）=a﹣ex，x∈R．
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减；
当a＞0时，令f′（x）=0得x=lna．
由f′（x）＞0得f（x）的单调递增区间为（﹣∞，lna）；
由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（lna，+∞）．
（Ⅱ）∵?x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex，则，即a≤．
设h（x）=，则问题转化为a，
由h′（x）=，令h′（x）=0，则x=．
当x在区间（0，+∞）内变化时，h′（x）、h（x）变化情况如下表：
由上表可知，当x=时，函数h（x）有极大值，即最大值为．
∴．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
19．已知函数f（x）=x2+alnx
（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+在[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．（Ⅱ）[0，+∞）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调递增区间与单调递减区间；
（Ⅱ）由题意得g''（x）=2x+﹣，分函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数与单调减函数讨论，即可确定实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）求导函数可得=（x＞0）
令f′（x）＞0，则﹣1＜x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；
令f′（x）＜0，则x＜﹣1或0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
∴函数的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．
（Ⅱ）由题意得g''（x）=2x+﹣，
①若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则2x+﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥﹣2x2在[1，+∞）上恒成立，
设Φ（x）=﹣2x2，∵Φ（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴Φ（x）≤Φ（1）=0，∴a≥0
②若函数g（x）为[1，+∞）上的单调减函数，则g''（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，不可能．
∴实数a的取值范围[0，+∞）
考点：利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．
20．（2015秋?鹰潭期末）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）是否存在a，使f（x）在（﹣2，3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．
【答案】（1）f（x）的递增区间是[lna，+∞）．（2）存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．
【解析】
试题分析：（1）先求出函数的导数，再讨论①若a≤0，②若a＞0的情况，从而求出单调区间；
（2）由f′（x）=ex﹣a≤0在（﹣2，3）上恒成立．从而a≥ex在x∈（﹣2，3）上恒成立，从而f（x）在（﹣2，3）上为减函数，得a≥e3．故存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．
解f′（x）=ex﹣a，
（1）若a≤0，则f′（x）=ex﹣a≥0，
即f（x）在R上递增，
若a＞0，ex﹣a≥0，∴ex≥a，x≥lna．
因此f（x）的递增区间是[lna，+∞）．
（2）由f′（x）=ex﹣a≤0在（﹣2，3）上恒成立．
∴a≥ex在x∈（﹣2，3）上恒成立．
又∵﹣2＜x＜3，∴e﹣2＜ex＜e3，只需a≥e3．
当a=e3时f′（x）=ex﹣e3在x∈（﹣2，3）上，f′（x）＜0，
即f（x）在（﹣2，3）上为减函数，
∴a≥e3．
故存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．
考点：利用导数研究函数的单调性．
21．设．
（1）对任意实数，恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
试题分析：（1）原函数求导，得，对任意实数，恒成立，则只需求出的最小值，当不大于该最小值即满足题意；（2）由于函数图象为三次曲线，当方程有且仅有一个实根时，函数图象与轴只有一个交点，则只需函数或即可．
试题解析：（1）解：，，
，恒成立，，又当时，，
，故
（2）解：由（1）知，，令得或；
由得或；得；
在和上为增函数，在上为减函数．
，．
有且仅有一个实根，或，
即或．
考点：1、恒成立问题；2、利用导数求函数极值．
【方法点晴】本题主要考查的是应用导数求函数极值的问题，对于（1）中对任意实数，恒成立，只需将问题转化为求取的最小值，之后当时，可解得的最大值．对于（2），函数为连续的三次函数，当函数图象与轴只有一个交点时，其极值应满足或，此时方程有且仅有一个实根，于是问题转化为求函数的极值问题．
二、填空题
22．已知函数的极大值点和极小值点都在区间内,则实数的取值范围是．
【答案】
【解析】
试题分析：.
考点：导数与极值．
23．设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.
（1）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；
（2）若?x>0，f(x)≥0成立，求a的取值范围．
【答案】（1）当a<0时，函数f(x)有一个极值点；当0≤a≤时，函数f(x)无极值点；当a>时，函数f(x)有两个极值点．（2）[0，1]．
【解析】
试题分析：（1）求出函数的定义域，应用导数来研究函数的极值.令考虑到a影响该二次函数的开口方向，所以要讨论三种情况.（2）恒成立可转化为在定义域R上的问题.
试题解析：（1）由题意知，函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
f′(x)＝＋a(2x－1)＝.
令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)．
(i)当a＝0时，g(x)＝1，
此时f′(x)>0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．
(ii)当a>0时，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)．①当0
f′(x)≥0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．
②当a>时，Δ>0，设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2(x1
因为x1＋x2＝－，所以x1<－，x2>－，由g(－1)＝1>0，可得－1
所以当x∈(－1，x1)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(x1，x2)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．因此，函数有两个极值点．
(iii)当a<0时，Δ>0，由g(－1)＝1>0，可得x1<－1.
当x∈(－1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．所以，函数有一个极值点．
综上所述，
当a<0时，函数f(x)有一个极值点；当0≤a≤时，函数f(x)无极值点；
当a>时，函数f(x)有两个极值点．
（2）由（1）知，①当0≤a≤时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(0)＝0，
所以x∈(0，＋∞)时，f(x)>0，符合题意．
②当
又f(0)＝0，所以x∈(0，＋∞)时，f(x)>0,符合题意．
③当a>1时，由g(0)<0，可得x2>0，所以x∈(0，x2)时，函数f(x)单调递减．因为f(0)＝0，
所以x∈(0，x2)时，f(x)<0，不合题意．
④当a<0时，设h(x)＝x－ln(x＋1)．因为x∈(0，＋∞)时，h′(x)＝1－＝>0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．因此当x∈(0，＋∞)时，h(x)>h(0)＝0，即ln(x＋1)
可得f(x)1－时，ax2＋(1－a)x<0，
此时f(x)<0，不合题意．
综上所述，a的取值范围是[0，1]．
考点：1、求函数的极值；2、恒成立问题．
【方法点晴】本题主要考查的是应用导数研究函数的单调性、极值、由不等式恒成立求解参数的取值范围等，属于难题.函数求导之后，是否为二次函数，开口方向如何这里都与a有直接的关系，所以本题要从a的正、负或零来展开讨论.
24．设函数若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为.
【答案】
【解析】
试题分析：设，，由题意，存在唯一的整数，使得函数的图象在函数图象的下方．，当时，，此时函数在该区间为减函数；当时，，此时函数在该区间为增函数，所以函数的最小值为，，函数过定点，所以满足或，解得：或．
考点：1.导数在函数中的应用；2.数形结合的思想方法．
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的性质及数形结合的方法，属于难题．首先把本题转化为存在唯一的整数，使得函数的图象在函数图象的下方．再利用导数确定函数的单调区间，结合图象，得到不等式组．解题时一定要注意结合函数的图象，否则很容易出现错误．
试卷第1页，总3页
试卷第1页，总3页
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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