模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝()
A．2 B．3
C．4 D．6
【解析】a∥b，2×6－4x＝0，解得x＝3.
【答案】B
2．如果一扇形的弧长为2πcm，半径等于2cm，则扇形所对圆心角为()
A．2π B．π
C． D．
【解析】θ＝＝＝π.
【答案】B
3．设α是第二象限的角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝，则tanα＝()
A． B．
C．－ D．－
【解析】点P(x,4)在角α终边上，则有
cosα＝＝.
又x≠0，＝5，x＝3或－3.
又α是第二象限角，x＝－3，
tanα＝＝＝－.
【答案】D
4．已知＝2＋，则tan等于()
A．2＋ B．1
C．2－ D．
【解析】＝2＋，
tan＝＝＝2－.
【答案】C
5．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于()
A．4 B．2
C．8 D．8
【解析】由题意易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，|c|＝＝8.
【答案】D
6．已知cos＝m，则cosx＋cos＝()
A．2m B．±2m
C．m D．±m
【解析】cos＝m，
cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx
＝sin
＝cos
＝cos＝m.
【答案】C
7．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()
【导学号：00680081】
A． B．
C． D．π
【解析】由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2·cosθ－2|b|2＝0，cosθ＝.又0≤θ≤π，θ＝.
【答案】A
8．把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为()
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
【解析】将y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin；再将图象向右平移个单位，得到函数y＝sin＝sin，x＝－是其图象的一条对称轴方程．
【答案】A
9．若α，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于()
A． B．
C． D．
【解析】因为sin2α＋cos2α＝，
所以sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝.
又0<α<，
所以cosα＝，则有α＝，
所以tanα＝tan＝.
【答案】D
10．已知A，B均为钝角，且sinA＝，sinB＝，则A＋B＝()
A．π B．
C． D．－
【解析】A，B均为钝角，且sinA＝，sinB＝，
cosA＝－，cosB＝－，
tanA＝－，tanB＝－.
∵
∴tan(A＋B)＝
＝＝－1.
A＋B＝π.
【答案】A
11．曲线y＝Asinωx＋a(A>0，ω>0)在区间上截直线y＝2及y＝－1所得的弦长相等且不为0，则下列对A，a的描述正确的是()
A．a＝，A> B．a＝，A≤
C．a＝1，A≥1 D．a＝1，A≤1
【解析】由题意可知：a＝＝，
A＝>＝，故选A．
【答案】A
12．在ABC中，A，B，C为三个内角，f(B)＝4cosB·sin2＋cos2B－2cosB，若f(B)＝2，则角B为()
A． B．
C． D．
【解析】由已知f(B)＝4cosB×＋cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋cos2B－2cosB＝2cosBsinB＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝2sin.
f(B)＝2，2sin＝2，<2B＋<π，2B＋＝，B＝.
【答案】A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.
【解析】由题意知T＝2×＝2π，
ω＝＝1，
f(x)＝sin(x＋φ)．
0<φ<π，<＋φ<π.
又x＝是f(x)＝sin(x＋φ)图象的对称轴，
＋φ＝＋kπ，kZ，
φ＝＋kπ，0<φ<π，φ＝.
【答案】
14．已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－1)，若向量a与b的夹角为钝角，则x的取值范围为________．
【解析】当a∥b时，有1×(－1)－2x＝0，即x＝－，此时b＝－a，即a与b反向，
若向量a与b夹角为钝角，则有：
∴x<2且x≠－.
【答案】
15．函数y＝sin＋sin2x的最小正周期是________．
【解析】法一：y＝sin＋sin2x
＝2sincos
＝cos，
T＝＝π.
法二：y＝sincos2x－cossin2x＋sin2x
＝cos2x＋sin2x＝cos.
∴其最小正周期为T＝＝π.
【答案】π
16．在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB＝2，BC＝1，ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．
【解析】取，为一组基底，则＝－＝－，
＝＋＋＝－＋＋＝－B＋，
·＝·
＝||2－·＋||2
＝×4－×2×1×＋
＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中，i，j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，试分别确定实数m的值，使
(1)A，B，C三点共线；
(2).
【解】(1)利用＝λ可得i－2j＝λ(i＋mj)，
于是
得m＝－2.
(2)由得·＝0，
(i－2j)·(i＋mj)＝i2＋mi·j－2i·j－2mj2＝0，
1－2m＝0，解得m＝.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)设α是第四象限的角，且tanα＝－，求f(α)的值．
【解】(1)由cosx≠0，得x≠kπ＋，kZ.
故f(x)的定义域为.
(2)tanα＝－，且α是第四象限的角，
所以sinα＝－，cosα＝.
故f(α)＝
＝
＝
＝
＝2(cosα－sinα)＝.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin·cos－sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．
【解】(1)由题意得f(x)＝sinx－(1－cosx)＝sin－，所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.
当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值．
所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f＝－1－.
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x.
(1)若mn，求tanx的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
【解】(1)若mn，则m·n＝0.
由向量数量积的坐标公式得sinx－cosx＝0，
tanx＝1.
(2)m与n的夹角为，
m·n＝|m|·|n|cos，
即sinx－cosx＝，sin＝.
又x∈，x－，
x－＝，即x＝.
21．(本小题满分12分)已知A，B，C为ABC的三个内角，且A
【解】A
0，0<2A＋C<π.
sinB＝，cosB＝，
sin(A＋C)＝sin(π－B)＝，
cos(A＋C)＝－.
cos(2A＋C)＝－，
sin(2A＋C)＝，
sinA＝sin[(2A＋C)－(A＋C)]
＝×－×＝，
cos2A＝1－2sin2A＝.
22．(本小题满分12分)设f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．
【解】(1)f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2
＝2sin2x－(1－2sinxcosx)
＝(1－cos2x)＋sin2x－1
＝sin2x－cos2x＋－1
＝2sin＋－1，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(kZ)，
得kπ－≤x≤kπ＋(kZ)，
所以f(x)的单调递增区间是(kZ).
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin＋－1的图象，
再把得到的图象向左平移个单位，
得到y＝2sinx＋－1的图象，
即g(x)＝2sinx＋－1，
所以g＝2sin＋－1＝. |
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