专题04函数的定义域、值域的求法
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函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决.
（一）函数的定义域
1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.
2.①若的定义域为，则不等式的解集即为函数的定义域；
②若的定义域为，则函数在上的的值域即为函数的定义域．
：换元→→反比例函数模型：换元→→模型：同时除以分子→②的模型：分离常数→③的模型
共同点：让分式的分子变为常数
5.利用换元法:在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种：
①：此类问题通常以指对三角作为主要结构在求值域时可先确定的范围再求出函数的范围：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项所以可利用换元将解析式转为的形式然后求值域即可的函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.
（2）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式.
（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.
（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.
（2）二次函数（），给定区间.二次函数的图像为抛物线通常可进行配方确定函数的对称轴然后利用图像进行求解
（1）图像关于原点中心对称
（2）当，当
①解析式特点：的系数为
注：因为此类函数的值域与相关求的值时的系数为再去确定的值，并不能直接确定而是先要变形为再求得
③极值点坐标：
④定义域：
⑤自然定义域下的值域：
（5）函数：注意与对勾函数进行对比
①解析式特点：的系数为
②函数的零点：
③值域：
（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况可根据图像求得值域在自然定义域下的值域为
（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况可根据图像求得值域在自然定义域下的值域为
【2017设函数的定义域，函数的定义域为,则
（A）（1,2）（B）（C）（-2,1）（D）[-2,1)
【答案】D
【解析】试题分析：由得，由得，故，选D.
设函数，则函数的定义域为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】的定义域为,故,所以选B.
已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】有最小值
故选
设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是
A.（﹣∞，ln2﹣1）B.（﹣∞，ln2﹣1]
C.（1﹣ln2，+∞）D.[1﹣ln2，+∞）
【答案】C
令g′（x）＞0，解得：x＞2，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
故g（x）≥g（2）=1﹣ln2，故t＞1﹣ln2，故选C：．
点睛由于函数y＝f?x?的零点就是方程f?x?＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决
已知函数在闭区间上的值域为，则满足题意的有序实数对在坐标平面内所对应点组成图形为（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，∴可画出图象如图1所示．
；
故选：C．
本题考查了二次函数在给定区间上的值域问题，值域是确定的，而定义域是变动的，解题关键是分辨清楚最大值是在左端点取到还是在右端点取到，问题就迎刃而解了.的值域为B.C.D.
（2）函数的值域为B.C.D.
（3）函数的值域为.
【解析】（1）函数的定义域为，含有双根式所以很难依靠传统的换元解决问题但的导数较易分析出单调性所以考虑利用导数求出的单调区间从而求得最值
令即解不等式
【名师点睛】本题还可以利用换元解决，但利用的是三角换元：观察到被开方数的和为常数，所以想到，从而可设由可知所以原函数的值域转化为求的值域从而有由可求得，从而发现所以函数的解析式为为增函数时，所以当时的值域为后即可将函数转为二次函数求值域但不如观察单调性求解简便，为分式且含有根式求导则导函数较为复杂观察分子分母可知且关于单减且关于单增即单减所以为减函数由可知的值域为，则当均为增减函数且恒大于为增减函数的值域为（）
A.B.C.D.
（2）函数的值域为
解：由可得
函数的定义域为的取值只需让方程有解即可时不成立故舍去时
即：
综上所述：函数的值域为.
【名师点睛】①对于二次分式，若函数的定义域为，则可像取何值时方程有解然后利用二次方程根的判定得到关于的不等式从而求解这种方法也称为判别式法，而是一个限定区间例如那么如果也想按方程的思想处理那么要解决的问题转化为取何值时方程在有根对于二次方程就变为了根分布问题但因为只要方程有根就行会根的个数进行比较复杂的分类讨论或的形式考虑去分母得则的取值只要让方程有解即可观察左侧式子特点可想到俯角公式从而得到可知方程有解的条件为，解出的范围即为值域的定义域为
，即其中
【名师点睛】本题除了用方程思想，也可用数形结合进行解决，把分式视为连线斜率的问题从而将问题转化为定点与单位圆上点连线斜率的取值范围作图求解即可运用方程思想处理的局限性在于辅角公式与的取值相关，所以均能保证只要在中则必有解但如果本题对的范围有所限制则用方程的思想不易列出的不等式所以还是用数形结合比较方便设且，函数在的最大值是14，求的值．
【答案】
考点：二次函数的最值及指数函数的性质．
【方法点晴】本题主要考查了二次函数的最值及指数函数的性质，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、指数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想和转化与化归思想，本题的解得中根据指数函数的性质，分类讨论是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．
已知函数
(1)判断函数的奇偶性.
(2)求的值域.
【答案】(1)是奇函数2）
，，的值域为.
本题考查了利用定义证明函数奇偶性，利用分离常数求分式型函数的值域问题，考查了指数幂的运算性质，属于中档题.
已知是定义在上的奇函数.
1）若，求的值;
2）若是函数的一个零点，求函数在区间的值域.
【答案】（1）a=1，b=2；（2）[-7.5,-3].
【解析】试题分析：1）由奇函数定义域关于原点对称得(b-3)+(b-1)=0，解得b=2，再由可得
（2）由是函数的一个零点，得a=-2，进而得函数单调性，由单调性求值域即可.
试题解析：
（1）由f(x)为奇函数，则(b-3)+(b-1)=0，解得b=2，
点睛正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好三个问题：
（1）定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；
（2）f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式；
（3）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.
1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是()
A.yxB.y＝lgxC.y＝2xD.y＝
【答案】D
【解析】y＝10lgx＝x，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有D满足，故选D.
2．已知集合A=,B={y|y=},则A∩(RB)=()
A.[-3,5]B.(-3,1)
C.(-3,1]D.(-3,+∞)
【答案】C
【解析】由≤0，解得3
∵y=，
∴y>1．
∴B={y|y>1}．
∴RB={y|y≤1}．
∴A∩(RB)={x|3
点睛解决集合运算问题的方法
(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．
(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到．
(3)若给定的集合是点集，则可画出图象，采用数形结合法求解．
3．函数的定义域是()
A.(－3,0)B.(－3,0]
C.(－∞，－3)∪(0，＋∞)D.(－∞，－3)∪(－3,0)
【答案】A
点睛本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为02、偶次根式下大于等于03、对数函数的真数部分大于04、0的0次方无意义；5对于正切函数需满足等等，当同时出现时，取其交集.
4．已知集合，，若，则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由已知得，由，则，又，所以.故选A.
5．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】函数的定义域是，所以，
所以函数中有：，解得.
即函数的定义域是.
故选D.
6．已知函数的定义域是，则的定义域是）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】，则，则的定义域是，选A.
7．下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝，其中定义域与值域相同的函数的个数为()
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”.若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（）
A.B.C.D.
【答案】D
点睛本题以新定义为背景考查方程解的个数问题，利用变量分离的方法，把问题转化为两个图象的交点问题，通过换元的手段把问题归结为二次函数的图象与性质问题.
．若，则定义域__________．
【答案】
【解析】要使函数有意义，则，解得，故的定义域为，故答案为.
1．设函数的值域为，若，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为a,所以
．已知函数若，则的值域是____；若的值域是则实数的取值范围是____
【答案】
．已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间，若的保值区间是，则的值为__________.
【答案】1
【解析】∵函数的定义域为，若其值域也为
则称区间为的保值区间．
又∵的保值区间是
∴定义域为，值域也为
∵，
∴函数在上单调递减，在上单调递增．
∴在单调递增．
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