专题05函数的对称性、周期性及其应用
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高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.
（一）函数的对称性
1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称
2、轴对称的等价描述：
（1）关于轴对称时恰好就是偶函数关于轴对称的等式只需注意两点一是等式两侧前面的符号相同且括号内前面的符号相反二是的取值保证为所给对称轴即可例如关于轴对称或得到均可只是在求函数值方面一侧是更为方便是偶函数则进而可得到关于轴对称偶函数是指自变量取相反数函数值相等所以在中仅是括号中偶函数只是指其中的取相反数时函数值相等即要与以下的命题区分是偶函数则是偶函数中的占据整个括号所以是指括号内取相反数则函数值相等所以有是偶函数则关于轴对称而可视为平移了个单位方向由的符号决定所以关于对称关于中心对称时恰好就是函数关于中心对称的等式同样需注意两点一是等式两侧前面的符号均相反二是的取值保证为所给对称即可例如关于中心对称或得到均可在求函数值方面一侧是更为方便是函数则进而可得到关于中心对称函数是指自变量取相反数函数值相所以在中仅是括号中函数只是指其中的取相反数时函数值相即要与以下的命题区分是函数则是函数中的占据整个括号所以是指括号内取相反数则函数值相所以有是函数则关于中心对称而可视为平移了个单位方向由的符号决定所以关于对称的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期
2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等
3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期
4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数
5、函数周期性的判定：
（1）：可得为周期函数，其周期
（2）的周期
分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：
所以有：，即周期
注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期
（3）的周期
分析：
（4）（为常数）的周期
分析：，两式相减可得：
（5）（为常数）的周期
（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）
①若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期
分析：关于轴对称
关于轴对称
的周期为
②若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期
③若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期
7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值
（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”
（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）
（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴或对称中心则存在无数条对称轴其通式为关于轴对称
函数的周期为
关于轴对称【2017山东，文14】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当时,,则f(919)=.
【答案】
【解析】
【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法
①已知函数的奇偶性,求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
②已知函数的奇偶性求解析式
将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式．
③已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值
常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解．
④应用奇偶性画图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
对于函数，部分与的对应关系如表：
数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，
则的值为__________.
【答案】7564
周期数列是周期现象的应用，周期数列问题在高考中常出现．这类试题综合性强一般会融汇数列，数论，函数等知识解题，方法灵活多变，具有较高的技巧性．学生应进行相关的培训，才能在应付这些试题时有比较好的把握．
定义在R上的函数满足,且时,,则=
A.1B.C.D.
【答案】C
【解析】∵，则时，
∴
∵
∴，即
∵
∴
故选C
例4.定义在上的函数对任意都有则等于B.C.D.
【答案】D
【解析】由及所求可联想到周期性所以考虑所以是周期为，而由已知可得所以上的函数，则的值为B.C.D.
【答案】C
，而.
【名师点睛】（1）本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢，而数较大所以考虑判断函数周期性，从而也有其用处其含义是间隔为是定义在上的函数满足当时，则函数的最小值为B.C.D.
【答案】B
例7.已知定义域为的函数，且函数在区间上单调递增如果且则的值而可得，所以进而将装入了中所以由可得下一步需要转化可得关于中心对称所以有可得从而分析出关于中心对称代入到可得中心对称的函数对称区间单调性相同从而可作出草图而即的中点位于的左侧所以比距离更远结合图象便可分析出恒小于的符号，进而可；第三个是，既然是数形结合则题中条件也要尽可能转为图像特点而表现出中点的位置从而能够判断出距离中心对称点的远近
例8.已知定义域为的函数在上有和两个零点且与都是偶函数则在上的零点个数至少有B.C.D.
【答案】C
解：为偶函数关于轴对称为周期函数且将划分为关于轴对称
在中只含有个零点共组
在中含有零点共两个设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】，
∴函数图象的对称轴为，即，
∵在区间内方程有且只有4个不同的根，
∴函数和的图象在区间内仅有4个不同的公共点．
结合图象可得只需满足，解得．
∴实数的取值范围是．
已知函数零点个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
（1）直接法：通过解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的值（或范围）；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域的问题，并结合题意加以解决；
（3）数形结合法：先对函数解析式变形，化为两个函数的形式，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后根据两个图象的位置关系得到关于参数的不等式（组），
求得解集后可得范围，解题时要注意一些特殊点的相对位置．
如果的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”.给出下列命题：
①函数具有“性质”；
②若奇函数具有“性质”，且，则；
③若函数具有“性质”，图象关于点成中心对称，且在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增；
④若不恒为零的函数同时具有“性质”和“性质”，且函数对，都有成立，则函数是周期函数.
其中正确的是__________（写出所有正确命题的编号）．
【答案】①③④
【解析】∴函数具有“性质”；故①正确；②∵奇函数具有“性质”，且，是周期为4的函数，故②不正确；∵图象关于点成中心对称，且在上单调递减，∴图象也关于点成中心对称，且在上上单调递减，根据偶函数的对称得出：在上单调递增；故③正确；④∵若不恒为零的函数同时具有“性质”和“性质”，为偶函数，且周期为3，故④正确．
故答案为：①③④．
1．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则()
A.B.18C.D.2
【答案】C
2．已知定义在上的奇函数满足，且，则）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】,说明函数的周期为6，则，由函数为定义在上的奇函数，则又，则，则，选B.
3．定义在R上函数的图象关于直线x=?2对称，且函数是偶函数.若当x∈[0,1]时，，则函数在区间[?2018,2018]上零点的个数为()
A.2017B.2018C.4034D.4036
【答案】D
∴
故
∴函数是周期为2的偶函数
又当x∈[0,1]时，画出与图象如下图所示
由图象可知在每个周期内两函数的图象有两个交点，
所以函数在区间[?2018,2018]上零点的个数为2018?2=4036选D
【名师点睛】函数零点的应用是高考考查的热点，主要考查利用零点的个数或存在情况求参数的取值范围，难度较大．解题时常用的方法有以下几种：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形得到两个函数，并在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后利用数形结合求解．
4．函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数的取值集合是（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，且当时，，故当时，，所以函数的部分图象如图所示，有三个零点，即函数和函数的图象有三个交点，当直线与函数的图象在上相切时，即有2周期为4，所以实数的取值集合是.故选C.
本题考查函数的零点、函数的对称轴和周期性；本题的易错点是利用函数为偶函数正确得到函数的对称性，要注意判定奇偶性的自变量是，由为偶函数得到，而不是.
5．设是定义在上的偶函数，，都有，且当时，，若函数（）在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是（）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】由可得函数的图象关于对称，即
函数（）在区间内恰有三个不同零点，
∴函数和的图象在区间内有三个不同的公共点．
作出函数的图象如图所示
①当时函数为增函数，
结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则需满足在点A处的函数值小于2在点B处的函数值大于2
即解得
②当时函数为减函数，
对于已知函数零点个数（或方程根的个数）求参数的取值或范围时，一般转化为两函数的图象的公共点的个数的问题，利用数形结合的方法求解．
1）若分离参数后得到为参数）的形式，则作出函数的图象后根据直线和函数的图象的相对位置得到参数的取值范围
（2）若不能分离参数，则可由条件化为的形式在同一坐标系内画出函数和函数的图象，根据两图象的相对位置关系得到参数的取值范围
6．定义在上的奇函数满足是偶函数，且当时，则（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】是定义在上的奇函数，，函数是定义在上的偶函数，，，可得，则的周期是，，故选C.
7．已知函数的定义域为的奇函数，当时，，且，则（）
A.B.C.D.
【答案】B
8．已知定义在上的函数满足条件：①对任意的，都有；②对任意的且，都有；③函数的图象关于轴对称，则下列结论正确的是（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】∵对任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x)；
∴函数是4为周期的周期函数，
∵函数f(x+2)的关于y轴对称
∴函数函数f(x)的关于x=2对称，
∵对任意的,且,都有.
∴此时函数在[0,2]上为增函数，
则函数在[2,4]上为减函数，
则f(7)=f(3)，
f(6.5)=f(2,5)，
f(4.5)=f(0.5)=f(3.5)，
则f(3.5)
即f(4.5)
故选：C.
定义在上的偶函数满足，且在上单调递减，设,，，则,,的大小关系是）
A.B.C.D.
【答案】C
1已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由已知是定义在R上的奇函数，所以，又，所以的周期是2，且得是其中一条对称轴，又当时，，于是图象如图所示，
本题主要考查函数的零点问题，根据条件判断函数的周期性，对称性，以及利用方程和函数之间的关系进行转化是解决本题的关键．
1．函数在单调递增，且关于对称，若则的的取值范围是（
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】函数图像是由图像向左平移个单位后得到，故关于轴对称，且在上递减.故等价于，解得.
1已知定义在上的奇函数满足，且，则的值为（）
A.B.C.D.
【答案】A
，
又，
．选A．
函数的奇偶性、对称性和周期性是函数的三个重要性质，这三个性质具有紧密的联系，即已知其中的两个则可推出第三个性质，考查时常将这三个性质结合在一起，并结合函数的图象、零点等问题，这类问题的难度较大、具有一定的综合性
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