第3讲圆锥曲线中的热点问题高考定位1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.真题感悟答案52.(2018·北京卷)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)解因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0).依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<1，又因为k≠0，故k<0或00.由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.解之得m＝－2k－1，此时Δ＝32(m＋1)>0，方程有解，∴当且仅当m>－1时，Δ>0，∴直线l的方程为y＝kx－2k－1，即y＋1＝k(x－2).所以l过定点(2，－1).考点整合1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解. 温馨提醒圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.2.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.3.存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.(3)得出结论.(2)当直线l的斜率为0时，λ＝|MA|·|MB|＝12.当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Δ＝64m2－48(m2＋4)>0，得m2>12，探究提高求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.【训练1】(2018·浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴.又a2＝b2＋c2，c2＝3，所以a2＝4，b2＝1，探究提高1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.即四边形ABNM的面积为定值2.(1)解设点P坐标为(x，y)，∴点Q坐标为(0，y).(2)证明当两直线的斜率都存在且不为0时，探究提高1.动直线l过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)2.动曲线C过定点问题.引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.【训练3】已知曲线C：y2＝4x，曲线M：(x－1)2＋y2＝4(x≥1)，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点.解设l：x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2).∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n.∴x1＋x2＝4m2＋2n，x1x2＝n2.∴直线l方程为x＝my＋2，∴直线l恒过定点(2，0).(2)∵直线l与曲线M：(x－1)2＋y2＝4(x≥1)相切，整理得4m2＝n2－2n－3(n≥3).①又点P坐标为(1，0)，＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝n2－4m2－2n＋1－4n＝n2－4m2－6n＋1＝4－4n.又y＝4－4n(n≥3)是减函数，∴当n＝3时，y＝4－4n取得最大值－8.解(1)在△ABC中，由余弦定理AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cosC＝(CA＋CB)2－3CA·CB＝4.消去y得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8>0，探究提高1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.2.求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)易知直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－4)，因为△AMF与△MFN的面积相等，所以|AM|＝|MN|，所以2x1＝x2＋4.③将④代入到⑤式，整理化简得36k2＝5.1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握： (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.2.圆锥曲线的范围问题的常见求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值.3.存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在.(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.1.(2018·浙江卷)已知点P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大.
解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.
由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值.
直线PA的方程为y－2＝(x－1).令x＝0，
由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝.
得点M的纵坐标为yM＝＋2＝＋2.
由＝λ，＝μ得λ＝1－yM，μ＝1－yN.
＝·＝·＝2.
同理得点N的纵坐标为yN＝＋2.
所以＋＝＋＝＋
所以＋＝2为定值.
3.(2017·全国卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上.
因此解得故C的方程为＋y2＝1.
又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，
k1＋k2＝＋＝＝－1，得m＝2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
∴(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.
将y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
则k1＋k2＝＋＝＋＝.
热点一圆锥曲线中的最值、范围
【例1】(2018·西安质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围.
由题得＋＝b2(b>0)，解得b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
解(1)原点到直线x＋y－1＝0的距离为，
又e2＝＝1－＝，得a＝2.
联立消去x得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.
所以y1y2＝.
综上可得：<λ≤12，即λ.
λ＝|MA|·|MB|＝|y1|·|y2|＝(m2＋1)|y1y2|＝＝12.
由m2>12，得0<<，所以<λ<12.
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.
(1)证明设P(x0，y0)，A，B.
因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程＝4·，
因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0).
(2)解由(1)可知
即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根.
所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，|y1－y2|＝2.
因此，△PAB面积的取值范围是.
所以y－4x0＝－4x－4x0＋4[4，5]，
因为x＋＝1(x0<0)，
热点二定点、定值问题
考法1圆锥曲线中的定值
【例2－1】(2018·烟台二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点为D，且直线OD的斜率为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过左焦点F斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，P为椭圆上一点，且满足OPMN，问：＋是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.
当MN为长轴时，OP为短半轴，则＋＝＋1＝，
则＋＝1，＋＝1，
又因为kAB＝，kOD＝－，代入上式得，a2＝4b2.
故椭圆的方程为＋y2＝1.
解(1)由题意可知c＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
两式相减并整理得，·＝－，即kAB·kOD＝－.
否则，可设直线l的方程为y＝k(x＋)，
(2)由题意可知，F(－，0)，
所以|MN|＝|x1－x1|＝＝，
根据对称性不妨令P，
则有x1＋x2＝－，x1x2＝，
设直线OP方程为y＝－x，联立
联立消y得，(1＋4k2)x2＋8k2x＋12k2－4＝0，
综上所述，＋为定值.
故＋＝＋＝＋＝，
所以|OP|＝＝.
又c＝＝.所以椭圆离心率e＝＝.
【训练2】已知椭圆C：＋＝1过点A(2，0)，B(0，1)两点.
令y＝0，得xN＝，从而|AN|＝2－xN＝2＋，
(1)解由题意知a＝2，b＝1.所以椭圆方程为＋y2＝1，
(2)证明设P点坐标为(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4，
由B点坐标(0，1)得直线PB方程为：y－1＝(x－0)，
所以S四边形ABNM＝|AN|·|BM|＝
由A点坐标(2，0)得直线PA方程为y－0＝(x－2)，
令x＝0，得yM＝，从而|BM|＝1－yM＝1＋，
＝＝＝2.
∵2·＝||2，2[(－－x)(－x)＋y2]＝x2，
考法2圆锥曲线中的定点问题
【例2－2】(2018·衡水中学质检)已知两点A(－，0)，B(，0)，动点P在y轴上的投影是Q，且2·＝||2.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过F(1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点.求证：直线E1E2恒过定点.
化简得点P的轨迹方程为＋＝1.
联立消去y得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
∴GH中点E1坐标为，
设lGH：y＝k(x－1)，G(x1，y1)，H(x2，y2)，lMN：y＝－(x－1)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则Δ>0恒成立.x1＋x2＝，且x1x2＝.
同理，MN中点E2坐标为，kE1E2＝，
当两直线的斜率分别为0和不存在时，E1E2的方程为y＝0，也过点，
∴lE1E2的方程为y＝，过点，
综上所述，E1E2过定点.
由得y2－4my－4n＝0.
(1)若·＝－4，求证：直线l恒过定点；
(2)若直线l与曲线M相切，求·(点P坐标为(1，0))的最大值.
∴由已知及，得·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)
(1)证明由·＝－4，得x1x2＋y1y2＝n2－4n＝－4，解得n＝2.
∴＝2，且n≥3，
故·的最大值为－8.
热点三圆锥曲线中的存在性问题
【例3】(2018·江南名校联考)设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，C为椭圆M上的点，且ACB＝，S△ABC＝.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设过椭圆M右焦点且斜率为k的动直线与椭圆M相交于E，F两点，探究在x轴上是否存在定点D，使得·为定值？若存在，试求出定值和点D的坐标；若不存在，请说明理由.
∴CA·CB＝，代入上式得CA＋CB＝2.
所以椭圆M的标准方程为＋y2＝1.
又S△ABC＝CA·CB·sinC＝CA·CB＝，
椭圆长轴2a＝2，焦距2c＝AB＝2.
(2)设直线方程y＝k(x－1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，联立
∴2x－4x0＋1＝2(x－2)，解得x0＝，
假设x轴上存在定点D(x0，0)，使得·为定值.
＝x1x2－x0(x1＋x2)＋x＋k2(x1－1)(x2－1)＝(1＋k2)x1x2－(x0＋k2)(x1＋x2)＋x＋k2
要使·为定值，则·的值与k无关，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∴·＝(x1－x0，y1)·(x2－x0，y2)＝x1x2－x0(x1＋x2)＋x＋y1y2
此时·＝－为定值，定点为.
＝
解(1)因为＝，所以a＝2c，b＝c，设椭圆方程＋＝1，
解得c2＝1，a2＝4，b2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.
【训练4】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P，F为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点A(4，0)的直线l与椭圆相交于M，N两点(点M在A，N两点之间)，是否存在直线l使△AMF与△MFN的面积相等？若存在，试求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
又点P在椭圆上，所以＋＝1，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，
由消去x2得x1＝.
由题意知Δ＝(32k2)2－4(3＋4k2)(64k2－12)>0，解得－
x1x2＝.
由消去y得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
故直线l的方程为y＝(x－4)或y＝－(x－4).
∴k＝±，经检验满足题设
将x2＝2x1－4代入，得x1(2x1－4)＝
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