第3讲分类讨论、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.即2q2－q－1＝0，探究提高1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a，因此，当底数a的大小不确定时，应分01两种情况讨论.2.利用等比数列的前n项和公式时，若公比q的大小不确定，应分q＝1和q≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式决定的.解析(1)当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2.因为Sn＝2an－2，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，两式相减得，an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，则数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，则S5－S4＝a5＝25＝32.(2)f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，所以a＝1.当－10，函数f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；当a>0时，由f′(x)＝0得x＝－lna，若x∈(－∞，－lna)，则f′(x)>0；当x∈(－lna，＋∞)，则f′(x)<0.所以函数f(x)在(－∞，－lna)上的单调递增，在(－lna，＋∞)上的单调递减.当x<0时，1－e2x>0，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增.当x>0时，1－e2x<0，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.故a的取值范围是[－1，＋∞).探究提高1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.【训练3】已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.当t≠0时，求f(x)的单调区间.解f′(x)＝12x2＋6tx－6t2.因为t≠0，所以分两种情况讨论：(2)由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cosθ，sinθ)，则a＋b＝(2＋cosθ，sinθ)，a－b＝(cosθ－2，sinθ).探究提高1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.解析(1)取特殊数列{an}，其中an＝n(n∈N).显然a1·a8＝81，都有f(x＋t)≤3ex，试求m的最大值.解∵当t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m]时，x＋t≥0，∴f(x＋t)≤3exex＋t≤ext≤1＋lnx－x.∴原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋lnx－x对任意x∈[1，m]恒成立.∴函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数，又x∈[1，m]，∴h(x)min＝h(m)＝1＋lnm－m.∴要使得对任意x∈[1，m]，t值恒存在，只需1＋lnm－m≥－1.∴满足条件的最大整数m的值为3.探究提高1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.解析设点P(x，y)，且A(－12，0)，B(0，6).又x2＋y2＝50，∴2x－y＋5≤0，则点P在直线2x－y＋5＝0上方的圆弧上(含交点)，即点P在上，解析(1)设y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，则f(t)是一次函数，当t∈[－2，2]时，f(t)>0恒成立，(2)g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t，3)上恒成立.则m＋4≥－1，即m≥－5；探究提高1.第(1)题是把关于x的函数转化为在[0，4]内关于t的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.2.第(2)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.【训练6】已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数.对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________.解析由题意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5，令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.对－1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，热点一分类讨论思想的应用
应用1由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论
【例1】(1)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
(2)在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝________.
由，得＝3，
解析(1)若a>1，有a2＝4，a－1＝m.解得a＝2，m＝.
若0
当q≠1时，由a3＝，S3＝，
此时g(x)＝－为减函数，不合题意.
(2)当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，S3＝3a1＝，显然成立.
所以q＝－或q＝1(舍去).
综上可知，a1＝或a1＝6.
当q＝－时，a1＝＝6，
答案(1)(2)或6
【训练1】(1)(2018·长沙一中质检)已知Sn为数列{an}的前n项和且Sn＝2an－2，则S5－S4的值为()
A.8B.10 C.16 D.32
(2)函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能取值的集合是________.
所以πa2＝2kπ＋(kZ).
所以a2＝2k＋(kZ)，k只能取0，此时a2＝，
因为－1
答案(1)D(2)
应用2由图形位置或形状引起的分类讨论
【例2】(1)已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝()
A.－B. C.0 D.－或0
(2)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1||F1F2|∶|PF2|＝43∶2，则曲线C的离心率等于________.
由图可知，若要使不等式组表平面区域是直角三角形，只有当直线kx－y＋1＝0与直线y轴或y＝2x垂直时才满足.结合图形可知斜率k的值为0或－.
解析(1)不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示.
|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；
答案(1)D(2)或
|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝.
又因为|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.综上知，＝或2.
【训练2】设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则的值为________.
解得|PF1|＝，|PF2|＝，所以＝.
答案或2
设g(x)＝－ex，则g′(x)＝.
(2)f(x)≤e2xa≥－ex，
令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝.
x (－t，＋∞) f′(x) ＋ － ＋ f(x)
①若t<0，则<－t.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以，f(x)的单调递增区间是，(－t，＋∞)；f(x)的单调递减区间是.
x (－∞，－t) f′(x) ＋ － ＋ f(x)
②若t>0，则－t<.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－t)，；f(x)的单调递减区间是.
热点二转化与化归思想
应用1特殊与一般的转化
【例4】(1)过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点.若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋等于()
A.2aB. C.4a D.
(2)(2017·浙江卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝＝2，(|a＋b|＋|a－b|)min＝＝4，
过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝，＋＝4a.
＝＋，令y＝＋，
答案(1)C(2)42
解析(1)抛物线y＝ax2(a>0)的标准方程为x2＝y(a>0)，焦点F.
令y＝|a＋b|＋|a－b|＝＋
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2.
则y2＝10＋2[16，20].
【训练4】(1)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么()
A.a1a8>a4a5B.a1a8
C.a1＋a8>a4＋a5D.a1a8＝a4a5
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝________.
(2)令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，且cosA＝cosC＝，代入所求式子，得＝＝.
答案(1)B(2)
令h(x)＝1＋lnx－x(1≤x≤m).h′(x)＝－1≤0，
∵h(3)＝ln3－2＝ln>ln＝－1，
h(4)＝ln4－3＝ln
【训练5】在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上.若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________.
联立解得x＝－5或x＝1，
答案[－5，1]
则·＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(12＋x)＋y(y－6)≤20，
结合图形知，－5≤x≤1.故点P横坐标的取值范围是[－5，1].
应用3正与反、主与次的转化
【例6】(1)设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在[－2，2]上变化时，y恒取正值，则x的取值范围是________.
(2)若对于任意t[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________.
则即
故实数x的取值范围是(8，＋∞).
解得log2x<－1或log2x>3，即08，
当x(t，3)时恒成立，m＋4≥－3t恒成立，
∴使函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的m的取值范围是.
答案(1)(8，＋∞)(2)
由得m＋4≤－3x，当x(t，3)时恒成立，则m＋4≤－9，即m≤－.
由得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x.
∴即解得－
答案
故当x时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0.
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