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2019高考数学逆袭“函数与导数”压轴大题的抢分策略
2019-04-09 | 阅:
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结束对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x))主元法对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数构造“形似”函数证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)-g(x)>0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x)(如本例)移项法[全国卷3年考情分析]
年份 全国卷 全国卷 全国卷 2018 利用导数研究函数的单调性、函数极值与不等式证明·T21 函数的单调性、不等式的证明、函数的零点问题·T21 导数在研究不等式及极值问题的应用·T21 2017 利用导数研究函数的单调性、函数的零点问题·T21 利用导数研究函数的单调性及极值、函数的零点、不等式的证明·T21 导数在研究函数单调性中的应用、不等式的放缩·T21 2016 利用导数解决函数的零点问题、不等式的证明·T21 利用导数判断函数的单调性、不等式证明及值域问题·T21 三角函数的导数运算、最值问题及不等式证明·T21
导数日益成为解决问题必不可少的工具,利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型,而导数与函数、不等式、方程等的交汇命题,是高考的热点和难点.
考法?策略(一)利用分类讨论思想探究函数的性质
[典例]设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a.
(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
[解](1)由f′(x)=lnx-2ax+2a,
可得g(x)=lnx-2ax+2a,x(0,+∞).
所以g′(x)=-2a=.
当a≤0,x(0,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;当a>0,x时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.
所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);
当a>0时,g(x)的单调增区间为,单调减区间为.(2)由(1)知,f′(1)=0.
当a≤0时,f′(x)单调递增,
所以当x(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
②当0<a<时,>1,由(1)知f′(x)在内单调递增,可得当x(0,1)时,f′(x)<0,当x时,f′(x)>0.
所以f(x)在(0,1)内单调递减,在内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
当a=时,=1,f′(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以当x(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.当a>时,0<<1,当x时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
所以f(x)在x=1处取极大值,符合题意.
综上可知,实数a的取值范围为.
[题后悟通]分类讨论思想解决有关函数性质问题的策略
[应用体验]
1.(2018·全国卷)已知函数f(x)=-x+alnx.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,
证明:
②若a>2,令f′(x)=0,
得x=或x=.
当x∪时,
f′(x)<0;
当x时,f′(x)>0.
所以f(x)在,上单调递减,在上单调递增.
考法?策略(二)利用转化与化归思想探究函数的零点问题
[典例]函数f(x)=ax+xlnx在x=1处取得极值.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若y=f(x)-m-1在定义域内有两个不同的零点,求实数m的取值范围.
(2)y=f(x)-m-1在(0,+∞)上有两个不同的零点,可转化为f(x)=m+1在(0,+∞)上有两个不同的根,也可转化为y=f(x)与y=m+1的图象有两个不同的交点,由(1)知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(1)=-1,
由题意得,m+1>-1,即m>-2,当0
当x>0且x→0时,f(x)→0;
当x→+∞时,显然f(x)→+∞.
如图,由图象可知,m+1<0,即m<-1,
由可得-2
故实数m的取值范围为(-2,-1).
[题后悟通]转化与化归思想解决函数零点问题的策略
[应用体验]
2.已知函数f(x)=的图象在x=e处的切线经过点(1,e),其中e=2.71828….
(1)求a的值;
(2)若函数g(x)=tf(x)-x在(1,e2]上有两个零点,求实数t的取值范围.
考法?策略(三)利用函数思想探究不等式问题
[典例]已知函数f(x)=lnx-a(x+1),a的图象在(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若存在x0>1,当x(1,x0)时,恒有f(x)-+2x+>k(x-1)成立,求k的取值范围.
[解](1)由已知可得f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=-a,f′(1)=1-a=0,a=1,
f′(x)=-1=,
令f′(x)>0,得0<x<1;令f′(x)<0,得x>1,
f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)由(1)知f(x)=lnx-x-1,不等式f(x)-+2x+>k(x-1)可化为lnx-+x->k(x-1),
令g(x)=lnx-+x--k(x-1),
则g′(x)=-x+1-k=.
令h(x)=-x2+(1-k)x+1,
则h(x)的对称轴为直线x=,
当≤1,即k≥-1时,易知h(x)在(1,+∞)上单调递减,
x∈(1,+∞)时,h(x)<h(1)=1-k,
若k≥1,则h(x)<0,g′(x)<0,g(x)在(1,+∞)上单调递减,
g(x)<g(1)=0,不符合题意.
[应用体验]
3.(2018·全国卷)已知函数f(x)=aex-lnx-1.
(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;
(2)证明:当a≥时,f(x)≥0.
(2)证明:当a≥时,f(x)≥-lnx-1.
设g(x)=-lnx-1,则g′(x)=-.
可知g′(x)在(0,+∞)上单调递增,且g′(1)=0,
所以当0
当x>1时,g′(x)>0.
所以x=1是g(x)的最小值点.
故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.
因此,当a≥时,f(x)≥0.
解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=--1+=-.
若a≤2,则f′(x)≤0,
当且仅当a=2,x=1时,f′(x)=0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.
(2)证明:由(1)知,当且仅当a>2时,f(x)存在两个极值点.
由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,
所以x1x2=1,不妨设x1
1.
由于=--1+a·
=-2+a·=-2+a·,所以
设函数g(x)=-x+2lnx,由(1)知,g(x)在(0,+∞)上单调递减.
又g(1)=0,从而当x(1,+∞)时,g(x)<0.
所以-x2+2lnx2<0,即
[解](1)由题意知,f′(x)=a+lnx+1(x>0),
f′(1)=a+1=0,解得a=-1,
当a=-1时,f(x)=-x+xlnx,
即f′(x)=lnx,令f′(x)>0,解得x>1;
令f′(x)<0,解得0
解:(1)由题意,得函数f(x)=的定义域为(0,1)(1,+∞).
因为f′(x)=,所以f′(e)=ae.
所以f(x)的图象在x=e处的切线方程为y-f(e)=f′(e)(x-e),
即y-ae2=ae(x-e),所以y=eax.
因为f(x)的图象在x=e处的切线经过点(1,e),所以a=1.
(2)函数g(x)=tf(x)-x在(1,e2]上有两个零点等价于函数h(x)=与y=t的图象在(1,e2]上有两个不同的交点.
因为h′(x)=,由h′(x)>0,得0<x<e且x≠1;
由h′(x)<0,得x>e.所以当x=e时,h(x)有极大值,即为最大值h(e)=.
又因为h=-e,h(e2)=,h(1)=0且>0>-e,所以实数t的取值范围为.
若-1≤k<1,则h(1)>0,存在x0>1,使得x(1,x0)时,h(x)>0,即g′(x)>0,
g(x)在(1,x0)上单调递增,
g(x)>g(1)=0恒成立,符合题意.
当>1,即k<-1时,易知存在x0>1,
使得h(x)在(1,x0)上单调递增,
h(x)>h(1)=1-k>0,g′(x)>0,
g(x)在(1,x0)上单调递增,
g(x)>g(1)=0恒成立,符合题意.
综上,k的取值范围是(-∞,1).
[题后悟通]函数思想解决不等式问题的策略解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=aex-.
由题设知,f′(2)=0,所以a=.
从而f(x)=ex-lnx-1,f′(x)=ex-.可知f′(x)在(0,+∞)上单调递增,又f′(2)=0,
所以当0
2时,f′(x)>0.
所以f(x)的单调递减区间为(0,2),
单调递增区间为(2,+∞).
难点自选专题四
“函数与导数”
解答题的热点题型有:
(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值;
(2)利用导数证明不等式或探讨方程根;
(3)利用导数求解参数的范围或值.
(1)何时讨论参数?
在求解中,若参数的取值影响所求结果,就要分类讨论.如本例(1)中由g′(x)=确定单调区间时,对a的取值要分类讨论.
(2)如何讨论参数?
解答此类问题的关键是如何分类,分类时要结合题目条件,对参数取值范围进行划分,进而研究其问题.如本例(2)中分类的依据是与1的大小比较.
(1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图.函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题.
(2)分离出参数,转化为a=g(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图.函数零点的个数问题即是直线y=a与函数y=g(x)图象交点的个数问题.只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可.如本例函数y=f(x)-m-1的零点问题即可转化为y=f(x)与y=m+1两图象的交点问题.
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