结束差三角形的高,应先找Q点的坐标,即求出BD的直线方程.差什么找什么给出向量垂直关系,用数量积转化为线段相等.给出直线l的条件,应设出直线方程,与C的方程联立方程组.给什么用什么求轨迹方程,想到求轨迹方程的方法.求三角形面积的最值,想到表示出三角形面积的式子.求什么想什么“专题过关检测”见“专题检测(二十二)”(单击进入电子文档)[技法指导——迁移搭桥]
圆锥曲线解答题的常见类型是:第(1)小题通常是根据已知条件,求曲线方程或离心率,一般比较简单.第(2)小题往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等,这一小题综合性较强,可通过巧设“点”“线”,设而不求.在具体求解时,可将整个解题过程分成程序化的三步:
[典例](2018·)已知圆(x+)2+y2=16的圆心为M,点P是圆M上的动点,点N(,0),点G在线段MP上,且满足(+)(-).
(1)求点G的轨迹C的方程;
(2)过点T(4,0)作斜率不为0的直线l与轨迹C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D,连接BD交x轴于点,求ABQ面积的最大值.
[高考5个大题]题题研诀窍
第一步,联立两个方程,并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出;
[快审题]
[稳解题]
(1)因为(+)(-),
所以(+)·(-)=0,即2-2=0,
所以|GP|=|GN|,
所以|GM|+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=4>2=|MN|,
所以点G在以M,N为焦点,长轴长为4的椭圆上,设椭圆的方程为+=1(a>b>0),
则2a=4,2c=2,即a=2,c=,所以b2=a2-c2=1,
所以点G的轨迹C的方程为+y2=1.
(2)法一:依题意可设直线l:x=my+4.
由消去x,得(m2+4)y2+8my+12=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由Δ=64m2-4×12×(m2+4)=16(m2-12)>0,得m2>12.
且y1+y2=-,
y1y2=.
因为点A关于x轴的对称点为D,
所以D(x1,-y1),可设(x0,0),
所以kBD==,
所以BD所在直线的方程为y-y2=(x-my2-4).
令y=0,得x0=.将代入,得x0==1,
所以点的坐标为(1,0).
因为S△ABQ=|STBQ-STAQ|=|QT||y2-y1|==,令t=m2+4,结合得t>16,
所以SABQ==6
=6.当且仅当t=32,即m=±2时,(SABQ)max=.
所以ABQ面积的最大值为.
法二:依题意知直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x-4),
A(x1,y1),B(x2,y2),(x0,0).
由对称性知D(x1,-y1),
由消去y,
得(4k2+1)x2-32k2x+64k2-4=0.
由Δ=(-32k2)2-4(4k2+1)(64k2-4)>0,
得k2<,且x1+x2=,x1x2=.
=(x0-x2,-y2),=(x0-x1,y1)
由B,D,三点共线知,
故(x0-x2)y1+y2(x0-x1)=0,
即(x0-x2)·k(x1-4)+k(x2-4)(x0-x1)=0.
整理得x0=.将代入,得x0=1,所以点的坐标为(1,0).因为点(1,0)到直线l的距离为d=,
|AB|=·=,所以SABQ=|AB|·d=.
令t=4k2+1,则k2=,
结合①得1 所以SABQ==3
=3.
当且仅当=,即k=±时,(SABQ)max=.
所以ABQ面积的最大值为.
[题后悟道]
解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤
[针对训练]
已知F为椭圆C:+=1的右焦点,M为C上的任意一点.
(1)求|MF|的取值范围;
(2)P,N是C上异于M的两点,若直线PM与直线PN的斜率之积为-,证明:M,N两点的横坐标之和为常数.
解:(1)法一:依题意得a=2,b=,所以c==1,
所以椭圆C的右焦点F的坐标为(1,0).
设椭圆C上的任意一点M的坐标为(xM,yM),
则+=1,所以|MF|2=(xM-1)2+y=(xM-1)2+3-x=x-2xM+4=(xM-4)2.又-2≤xM≤2,所以1≤|MF|2≤9,
所以1≤|MF|≤3,所以|MF|的取值范围为[1,3].
法二:依题意得a=2,b=,所以c==1,
所以椭圆C的右焦点F的坐标为(1,0),
设椭圆C上的任意一点M的坐标为(2cosα,sinα),
则|MF|2=(2cosα-1)2+(sinα)2=(cosα-2)2,
又-1≤cosα≤1,所以1≤|MF|2≤9,
所以1≤|MF|≤3,
所以|MF|的取值范围为[1,3].
(2)法一:证明:设P,M,N三点的坐标分别为(xP,yP),(xM,yM),(xN,yN),
设直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,则直线PM的方程为y-yP=k1(x-xP),
联立消去y,
得(3+4k)x2-8k1(k1xP-yP)x+4kx-8k1xPyP+4y-12=0,由根与系数的关系可得xM+xP=,
所以xM=-xP=.
同理可得xN+xP=,
又k1·k2=-,
故xN+xP===,
则xN=-xP=-=-xM,从而xN+xM=0,
即M,N两点的横坐标之和为常数.
法二:证明:设P,M两点的坐标分别为(xP,yP),(xM,yM),线段PM,PN的中点分别为E,T,点E的坐标为(xE,yE),直线PM,PN,OE(O为坐标原点)的斜率分别为k1,k2,k3,
由方程组得=-,
所以·=-,所以·=-,
所以k1·k3=-,
又k1·k2=-,
所以k2=k3,
所以PNOE,
所以MN的中点在直线OE上,
同理可证MN的中点在直线OT上,
所以点O为线段MN的中点.
根据椭圆的对称性,得xM+xN=0,
所以M,N两点的横坐标之和为常数.
[总结升华]
解析几何部分知识点多,运算量大,能力要求高,综合性强,在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现,是考生“未考先怕”题型,不是怕解题无思路,而是怕解题过程中繁杂的运算.因此,在遵循“设—列—算”程序化运算的基础上,应突出解析几何“设”的重要性,以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾,突破不能避繁就简这一瓶颈.
第二步,用两个交点的同一类坐标的和与积,来表示题目中涉及的位置关系和数量关系;
第三步,求解转化而来的代数问题,并将结果回归到原几何问题中.
在求解时,要根据题目特征,恰当的设点、设线,选用恰当运算方法,合理地简化运算.
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