三棱锥的外接球
1.与长方体有关的三棱锥
由长方体的四个不共面顶点构成的三棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球直径是长
方体的体对角线.
1）如图所示，几何体中PA、PB、PC两两互相垂直.
在三棱锥P-ABC中，自顶点P出发的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，设
PA=a,PB=b,PC=c，则这个三棱锥外接球的直径2R=a2+b2+c2.
2）如图所示，几何体中PC^底面ABC，BA^BC.
在三棱锥P-ABC中，PC^底面ABC，底面ABC是直角三角形且BA^BC，则三棱
锥的外接球直径是PA.（注：该三棱锥的四个侧面均为直角三角形.）
引申：由两个共斜边的直角三角形所构成的四面体的外接球直径是这条斜边.
如图，在四面体ABCD中，AB^AD，CB^CD，则四面体ABCD的外接球直径为BD.
3）如图所示，几何体中AB=CD,AC=BD,AD=BC.
在四面体ABCD中，三组对棱分别相等，设这三组对棱的长分别是a,b,c，则它的外接球
a2+b2+c2
的直径2R=.
2
2.利用球的几何性质求三棱锥外接球的半径
球的几何性质：如图，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.
222
即，设球的半径为R，截面圆的半径为r，d=|OO1|，则R=r+d.
借助于球的几何性质，我们可以解决已知高的三棱锥的外接球的半径.
如下左图，在三棱锥P-ABC中，PH^平面ABC，H为垂足，O1是DABC外接圆的
圆心，设O是三棱锥P-ABC外接球的球心，由球的几何性质知OO1∥PH，则PHO1O
是直角梯形（如下右图）.设PH=h，OP=R，OO1=d，过O作OQ^PH，垂足为Q，
则PQ=h-d，在DABC中求出外接圆半径r和O1H，可得到如下方程组：
ìR2=r2+d2
，由该方程组可求出与.
í222Rd
?R=O1H+(h-d)
注：当d>0时，O在O1上方；当d=0时，O与O1重合；当d<0时，O在O1下方. |
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