第一章 立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.理解平面的抽象特征,并会表示平面.2.知道构成几何体的基本元素
,并能从运动的角度理解点、线、面、体之间的关系.3.了解简单几何体中点、线、面的位置关系.12341.几何体如果只考虑一个物体占有
空间部分的形状和大小,而不考虑其他因素,则这个空间部分叫做一个几何体.12342.构成空间几何体的基本元素(1)长方体由六个矩形(
包括它的内部)围成,围成长方体的各个矩形,叫做长方体的面;相邻两个面的公共边,叫做长方体的棱;棱和棱的公共点,叫做长方体的顶点.(
2)长方体有6个面,12条棱,8个顶点.(3)点、线、面是构成几何体的基本元素.【做一做1】正方体有个面,条棱,个顶点,且
它的棱长均.?答案：6128相等12343.空间点、线、面的特征(1)线有直线(段)和曲线(段)之分,面有平面(部分)和曲
面(部分)之分.平面是处处平直的面,而曲面不是处处平直的.(2)在立体几何中,平面是无限延展的,通常画一个平行四边形来表示一个平面
,并把它想象成无限延展的.平面一般用希腊字母α,β,γ,…来命名,还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名,如图中的平面α
、平面β、平面ABCD或平面AC等.1234名师点拨立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的.平面图形如三角形、正方形、
梯形等是有大小之分的;而立体几何中所说的平面是无大小、厚薄之分的,它类似于以前学过的直线,它可以无限延展,是不可度量的.1234(
3)在几何中,可以把线看成点运动的轨迹,如果点运动的方向始终不变,那么它的轨迹就是一条直线或线段;如果点运动的方向时刻在变化,则运
动的轨迹就是一条曲线或曲线的一段.(4)一条线运动的轨迹可以是一个面,面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体.(5)直线
平行移动,可以形成平面或曲面.固定射线的端点,让其绕着一个圆弧转动,可以形成锥面.知识拓展点运动成线,若把点看成元素,则直线和曲
线可以看作是点的集合,平面与曲面也可以看作是点的集合,这样从集合的角度来看,线、面就统一成点构成的“集合”了;线运动成面,因此线面
的关系就可以看作“集合”与“集合”的关系了.1234【做一做2-1】下列说法中错误的是()A.平面用一个希腊字母就可以表示B.
平面可用表示平面的平行四边形对角顶点的两个英文字母表示C.△ABC所在的平面不可以写成平面ABCD.一条直线和一个平面可能没有公共
点解析：三角形ABC所在的平面可表示为平面ABC.答案：C1234【做一做2-2】下列关于平面的说法正确的是()A.平行四边形
是一个平面B.平面是有大小的C.平面是无限延展的D.长方体的一个面是平面答案：C【做一做2-3】飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩
带”,用数学知识解释为.?答案：点动成线12344.长方体中的线面位置关系与距离(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1(如图)
中,主要有线线、线面、面面三种位置关系,如下表所示:12341234(2)点到平面的距离:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
线段AA1为点A到平面A1B1C1D1内的点所连线段中最短的一条,线段AA1的长称作点A到平面A1B1C1D1的距离.(3)平面与
平面的距离:当两个平面平行时,夹在两个平面间的垂线段的长叫做两个平面间的距离.1234【做一做3-1】下列说法:①将一个矩形沿竖
直方向平移一段距离可形成一个长方体;②长方体中相对的面都互相平行;③长方体两底面之间的棱相互平行且等长;④点运动的轨迹是线,线运动
的轨迹是面.其中正确的命题个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析：①不正确,当矩形水平放置时,沿竖直方向平移,才可得到一个
长方体,当不是水平放置时,沿竖直方向平移不能得到长方体;②③④正确,故选C.答案：C1234【做一做3-2】对长方体ABCD-A
1B1C1D1中的点、线、面的位置关系,给出下列说法,试对这些说法作出你的分析与评价.(1)直线AA1与直线CC1平行;(2)直线
AA1与平面C1D1DC相交;(3)直线AA1与平面A1B1C1D1垂直;(4)点A1与点B1到平面ABCD的距离相等.1234解
(1)正确,由于直线AA1与直线CC1同在平面AA1C1C内,且没有交点,因此直线AA1与直线CC1平行;(2)不正确,直线AA1
与平面C1D1DC没有交点,因此直线AA1与平面C1D1DC平行;(3)正确,直线AA1与平面A1B1C1D1内的两条相交直线A1
B1,A1D1都垂直,可以想象,当A1D1在平面A1B1C1D1内绕点A1旋转到任何位置时,都会和AA1垂直,因此直线AA1与平面
A1B1C1D1垂直;(4)正确,点A1到平面ABCD的距离为线段AA1的长,点B1到平面ABCD的距离为线段BB1的长,因此距离
相等.121.对平面的概念的理解剖析：(1)平面是绝对平的.(2)平面没有厚度,也可理解成其厚度为零.(3)平面是无限延展的.(4
)平面和点、直线一样,是我们以后研究空间图形的基本对象之一,也是空间图形的一个重要组成部分.(5)平面图形是有限的.如:三角形、平
行四边形等,用平行四边形表示平面,只是一种形式上的表示方法,绝对不能认为平行四边形就是平面.(6)平面是无限的.平面将无限的空间分
成两部分,如果想从平面的一侧到另一侧,必须穿过这个平面.12(7)平面可以看作是空间中点的集合,它当然是一个无限集.(8)用希腊字
母α,β,γ等表示平面时,在不引起混淆的情况下,“平面”二字可以省略不写;但用英文字母表示平面时,如平面AC,“平面”二字不可省略
,甚至在一些复杂的图形中为了区别起见,还要表示为平面ABCD.表示三角形所在的平面,一般将三个顶点的字母都写出来,如平面ABC、平
面ABD等.(9)在平面几何中,凡是后引的辅助线都画成虚线.在立体几何中则不然,凡是被平面遮住的线(简称暗线)都画成虚线或不画;凡
是不被遮住的线(简称明线,无论是题中原有的还是后引的辅助线)都画成实线.12名师点拨在立体几何中,我们通常画平行四边形来表示平面
,如图①,但是应注意:所画的平行四边形只是平面的一部分,但是表示整个平面.需要时,可以向四周延伸.如同画直线一样,画一条线段来表示
即可,需要时,可将线段向两方延伸.有时根据需要,我们也可画其他平面图形表示平面.例如用三角形表示,如图②;用多边形表示,如图③;用
椭圆表示,如图④.122.“点动成线、线动成面、面动成体”的含义剖析：点、线、面是构成几何体的基本元素,点是最小的元素,它没有大小
,是构成线的基本元素;而面可以看成由许多线组成,因为线是无限延伸的,没有长短,没有粗细之分,所以它构成的面就是无限延展的,且任一个
面都是由无数条线构成的.几何体是我们生活中接触到的物体的抽象概括,它不但有大小,也有固定的形状,每个面也具有一定的形状和大小,因此
几何体的每个面都是平面的一部分.在实际中,我们从运动变化的观点来看这些关系就形成了“点动成线、线动成面、面动成体”的意识.12归纳
总结1.点动成线:自然现象中流星划过夜空,给我们一种“点动成线”的视觉感受.几何中,可以把线看成是点运动的轨迹.如果点运动的方向始
终不变,那么它的轨迹是一条直线或线段,如果点运动的方向时刻在变化,那么运动的轨迹是一条曲线或曲线的一部分.2.线动成面:直线平行移
动,可以形成平面或曲面;直线绕定点转动,可以形成曲面.3.面动成体:面运动的轨迹(经过的空间部分)可形成一个几何体.如长方体,我们
可看作是水平放置的一个矩形在铅垂线方向上运动一段距离形成的几何体.面运动时,也可能不形成几何体.题型一题型二题型三题型四平面的概念
【例1】下列判断正确的是.(填序号)?①平面是无限延展的;②一个平面长为3cm,宽为4cm;③两个平面重叠在一起,比一个
平面厚;④通过改变直线的位置,可以把直线放在某个平面内.解析：利用平面所具有的特征进行判断.①④正确,②③不正确.答案：①④反思
平面是立体几何中一个不加定义的概念,一定要与平面图形区别开来,注意平面是无大小、无厚度的.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】
下列说法正确的是()A.生活中的几何体都是由平面组成的B.曲面都是有一定大小的C.直线是无限个点组成的,而线段是由有限个点组成的
D.许多平行直线也可以组成曲面解析：组成几何体的面既可以是平面,也可以是曲面;曲面也可以是无限延展的;直线和线段都是由无数个点组成
的.根据这些特点可以排除A,B,C.答案：D题型一题型二题型三题型四几何体的构成【例2】指出构成下列各几何体的基本元素.分析：
认真观察图形,联想实物,确定点、线、面的数量.解：(1)几何体有12个顶点,18条棱和8个面;(2)几何体有2条曲线,3个面(2个
平面和1个曲面).题型一题型二题型三题型四反思解决这类问题时,要正确理解概念,几何体中有些棱和面是被遮住看不见的,不能遗漏.题型
一题型二题型三题型四【变式训练2】分别指出下列各个几何体的顶点、棱、面的数量.解(1)中的几何体有1条曲线、1个顶点、2个面(1
个平面和1个曲面);(2)中的几何体有6个顶点、9条棱和5个面.题型一题型二题型三题型四几何体中基本元素的位置关系【例3】如图
,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,如果把它的12条棱延伸为直线,6个面延展为平面,那么在这12条直线与6个平面中,回答下列问
题:(1)与直线B1C1平行的平面有哪几个?(2)与直线B1C1垂直的平面有哪几个?(3)与平面BC1平行的平面有哪几个?(4)与
平面BC1垂直的平面有哪几个?题型一题型二题型三题型四分析：仔细观察图形,且根据线与面、面与面的位置关系进行判断.解(1)与直线B
1C1平行的平面有:平面AD1,平面AC.(2)与直线B1C1垂直的平面有:平面AB1,平面CD1.(3)与平面BC1平行的平面有
:平面AD1.(4)与平面BC1垂直的平面有:平面AB1,平面A1C1,平面CD1,平面AC.反思解决这类问题的关键是先识别好图
形,再结合有关概念和定义进行判断,这就需要大家平时注重对生活中常见物体的观察.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】在长方体AB
CD-A1B1C1D1的六个面中,与平面ABCD垂直的平面有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析：平面A1ABB1、平
面BCC1B1、平面CDD1C1、平面DAA1D1均与平面ABCD垂直.答案：D题型一题型二题型三题型四平面图形与空间几何体【例
4】能用12根火柴组成5个正方形吗?能组成6个正方形吗?分析：若将12根火柴组成5个正方形,放在同一平面内可以做到,但在同一平面
内组成6个正方形是不可能的,故可以结合一些几何体找原型.解能用12根火柴组成5个正方形,如图①所示,包括中间4个小正方形和外面1个
大正方形;联想正方体有12条棱,6个面都是正方形,故用12根火柴组成6个正方形的情况如图②所示.题型一题型二题型三题型四反思正方
体和长方体是生活中最常见的两种几何体,通过对它们的认识可以加深对几何体概念的理解.多观察它们的特点,学会分析一般几何体的特点,这就
要求我们在生活中多留心一些实物,加深对感官世界的认识.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】能够用6条长度相等的线段组成4个全等
的等边三角形吗?解在空间中可以用6条长度相等的线段组成4个全等的等边三角形(如图),其中△ABC,△ABD,△BCD,△ACD都
是等边三角形.12341已知下列四个结论:①铺得很平的一张白纸是一个平面;②平面是矩形或平行四边形的形状;③一个平面的面积可以等于
1m2.其中正确结论的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析：在立体几何中,平面是无限延展的,故①③错误;通常我们画一个
平行四边形或矩形来表示一个平面,但并不是说平面就是矩形或平行四边形,故②错.答案：A12342在正方体ABCD-A1B1C1D1中
,与对角线BD1既不相交又不平行的棱有()A.3条 B.4条C.6条 D.8条解析：在平面A1B1C1D1上的四条棱中有A1B1
,B1C1,在平面ABCD上的四条棱中有AD,CD,在平面A1B1C1D1与平面ABCD之间的四条棱中,有AA1,CC1,故与BD
1既不相交又不平行的棱共有6条.答案：C12343如图,平面α,β,γ可将空间分成()A.5部分 B.6部分 C.7部分 D
.8部分解析：平面α,β,γ是无限延展的,可画出此图的一个截面图,如图,可知将空间分成了6部分.答案：B12344在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断平面AB1D1和平面BC1D的位置关系.解因为平面AB1D1和平面BC1D不论怎样延展都是没有交点的,所以它们互相平行.位置关系举例符号表示线线平行AB与CD平行、A1A与C1C平行AB∥CD,A1A∥C1C相交A1D1与D1C1相交、C1C与CB相交不平行不相交A1A与BC既不平行也不相交、AD与B1B既不平行也不相交线面线在面内AD在平面ABCD内平行A1A与平面BCC1B1平行A1A∥平面BCC1B1垂直B1B与平面A1B1C1D1垂直B1B⊥平面A1B1C1D1面面平行平面ABCD与平面A1B1C1D1平行垂直平面ADD1A1与平面ABCD垂直 |
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