1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.理解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念,并能从运动的观点来认识这四种几何体的形成过程.2.掌握圆柱、圆锥、圆
台和球的轴截面的特征.3.掌握圆柱、圆锥、圆台和球及简单组合体的结构特征.4.能进行简单的有关圆柱、圆锥、圆台以及球的计算问题.1
231.圆柱、圆锥、圆台(1)概念:分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,将矩形、直
角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.其中用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截面与底面
之间的部分也叫做圆台.旋转轴叫做所围成的几何体的轴;在轴上的这条边(或它的长度)叫做几何体的高;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做几何
体的底面;不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做几何体的侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫做侧面的母线;我们常将圆柱的侧面称为圆柱面,
圆锥的侧面称为圆锥面.123(2)规定:圆柱和棱柱统称为柱体,圆锥和棱锥统称为锥体,圆台和棱台统称为台体.123【做一做1-1】
下列图形为圆柱体的是()解析：圆柱的上、下两个底面是相互平行并且完全相等的.答案：C123【做一做1-2】下列命题中正确的是(
)A.以直角三角形的一直角边为轴旋转一周所得的几何体是圆锥B.以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的几何体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台
都有两个底面D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径解析：以直角梯形垂直于底的腰为轴旋转一周所得的旋转
体才是圆台,所以选项B不正确;圆锥仅有一个底面,所以选项C不正确;圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长,所
以选项D不正确;很明显选项A正确.答案：A1232.球(1)概念:一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面,球面
围成的几何体叫做球.形成球的半圆的圆心叫球心;连接球面上一点和球心的线段叫球的半径;连接球面上两点且通过球心的线段叫球的直径.(2
)表示:用表示球心的字母表示.(3)球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大
圆,被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆.在球面上,两点之间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.事实上,
人们把这个弧长叫做两点的球面距离.123(4)圆柱、圆锥、圆台、球等几何体,都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几
何体,这类几何体叫做旋转体,这条直线叫做旋转体的轴.知识拓展1.从集合的角度理解球.在空间中,到定点的距离等于或小于定长的点的集
合,叫做球体(简称球).定点叫做球的球心;定长叫做球的半径;到定点距离等于定长的点的集合叫做球面.2.球面上两点间的球面距离,必须
是在球过此两点的大圆中求此两点所对应的劣弧的长度,不能在此两点的球的小圆中求.123【做一做2】有下列说法:①球的半径是连接球心
和球面上任意一点的线段;②球的直径是连接球面上两点的线段;③不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.其中正确说法的序号是.?解析：利
用球的结构特征判断:①正确;②不正确,因为直径必过球心;③正确.答案：①③1233.组合体(1)概念:由柱、锥、台、球等基本几何体
组合而成的几何体叫做组合体.(2)基本形式:有两种,一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体;另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而
成的简单组合体.名师点拨三种简单的组合体:多面体与多面体的组合;多面体与旋转体的组合;旋转体与旋转体的组合.常见的简单组合体及其
结构特征:(1)正方体的八个顶点在同一个球面上,此时正方体称为球的内接正方体,球是正方体的外接球,并且正方体的对角线是球的直径;(
2)一个球与正方体的所有棱相切,则正方体每个面上的对角线长等于球的直径;(3)一个球与正方体的所有面相切,则正方体的棱长等于球的直
径.123【做一做3-1】一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体为()A.一个圆锥 B.一个圆锥和一个圆柱C.两个圆
锥 D.一个圆锥和一个圆台答案：C123【做一做3-2】一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,则截面不可能是()解析：过球心
的任何截面都不可能是圆的内接正方形.答案：D512341.圆柱、圆锥、圆台的性质剖析：(1)对于圆柱的性质,要注意以下两点:一是轴
线垂直于圆柱的底面;二是三类截面的性质——平行于底面的截面是与底面全等的圆,轴截面是一个由上、下底面圆的直径和母线组成的矩形,平行
于轴线的截面是一个由上、下底面圆的弦和母线组成的矩形.(2)对于圆锥的性质,要注意以下两点:一是两类截面——平行于底面的截面是与底
面相似的圆,过圆锥的顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形;二是圆锥的母线l、高h和底面圆的半径R组成
一个直角三角形.有关圆锥的计算,一般归结为解这个直角三角形,往往会用到关系式l2=h2+R2.51234(3)对于圆台的性质,要注
意以下两点:一是圆台的母线共点,所以由任意两条母线确定的截面为等腰梯形,但是与上、下底面都相交的截面不一定是梯形;二是圆台的母线l
、高h和上底面圆的半径r、下底面圆的半径R组成一个直角梯形,且有l2=h2+(R-r)2,有关圆台的计算问题,常归结为解这个直角梯
形.512342.球的截面的性质剖析：(1)用任意一个平面去截球,得到的截面为圆面.设球心为O,截面圆的圆心为O'',球的半径为R,
截面圆的半径为r,球心到截面圆的距离为d,则①OO''⊥平面☉O'';②d=.(2)解决有关球的截面问
题的关键是寻找球的半径、截面圆的半径及球心到截面圆的距离OO''构成的直角三角形这一常用图形.(3)对于球的两个平行截面圆的问题要注
意这两个截面是在球心的同侧还是异侧,否则对问题的探求不全面.(4)有关球的计算,往往先作出大圆,从而化球为圆,再用平面几何的有关定
理求解.512343.地球的经纬线和经纬度剖析：(1)经线和经度.经线是地球表面上从北极到南极的半个大圆,在同一条经线上的点的经度
都相等,如图,圆O是赤道面,圆O''是纬线圈,点P的经度与点A的经度相等,如果经过点B的经线是本初子午线(即0°经线),那么点P的经
度等于∠AOB的度数,也等于∠PO''C的度数.51234(2)纬线和纬度.在地球上,赤道是一个大圆,它是0°纬线,其他的纬线都是小
圆,它们是由与赤道面平行的平面截地球所得到的.如图,圆O是赤道面,圆O''是纬线圈,若点P,A在同一条经线上,则点P的纬度等于∠PO
A的度数,也等于∠OPO''的度数.512344.教材中的“探索与研究”对圆柱、圆锥、圆台:(1)平行于底面的截面是什么样的图形?(
2)过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形?(3)研究圆柱、圆台和圆锥之间的关系.剖析：(1)平行于底面的截面,图形都是圆.(
2)过轴的截面,对于圆柱是矩形,对于圆锥是等腰三角形,对于圆台是等腰梯形.(3)圆柱的上底面变小,就变为圆台,当上底面变为一个点时
,它就变成了圆锥.圆台是由圆锥截得的,“还台为锥”不失为解决圆台问题的好办法.512345.教材中的“思考与讨论”在平面几何中,你
学习了直线与圆的位置关系,那么平面与球的位置关系如何?剖析：类比平面上直线与圆的位置关系,平面与球有以下几种位置关系:相离、相切、
相交,其中相离是平面与球无公共点,相切是平面与球有且只有一个公共点,相交则是平面与球有无数多个公共点.题型一题型二题型三题型四旋转
体的概念与结构特征【例1】(1)若把图①中的4个图形分别绕虚线旋转一周,能形成图②中的几何体,按顺序与1,2,3,4对应的几何
体分别是图②中的.题型一题型二题型三题型四(2)给出以下说法:①圆台中平行于底面的截面都是圆面;②圆柱的任意两条母线所在的直线是
平行的;③用一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台;④球是以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体;⑤球的半径是
球面上任意一点与球心的连线段;⑥圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线段是圆锥的母线.其中,正确的说法是.(填序号)?题型一题型二题
型三题型四解析：(1)第1个平面图形为半圆,绕其直径所在直线旋转一周,应形成一个球;第2个平面图形为矩形,绕其一边所在直线旋转一周
,应形成一个圆柱;第3个平面图形是上、下两个直角三角形,绕其直角边所在直线旋转一周,应形成上、下两个圆锥;第4个平面图形是一个直角
梯形,绕其较短的底边所在直线旋转一周,形成的是一个下部挖去一个小圆锥的圆柱.因此图形1,2,3,4对应的几何体分别是a,d,b,c
.题型一题型二题型三题型四(2)①正确.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面.②正确.由圆柱母线的定义知,圆柱的任意两条母线是平行的
.③错误.用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,用不平行于圆锥底面的平面截圆锥,则不能得到一个圆锥和一个圆台
.④正确.由球的定义易知该说法正确.⑤正确.由球的定义可知,球面上任意一点与球心的连线段都是半径.⑥正确.由圆锥母线的定义知,圆锥
顶点与底面圆周上任意一点的连线段都是母线.答案：(1)a,d,b,c(2)①②④⑤⑥题型一题型二题型三题型四反思判断一个平面图
形旋转一周所形成几何体的形状时,关键是明确轴的位置以及平面图形中各边与轴的位置关系.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】下列给
出的图形中,绕虚线旋转一周,能形成圆台的是()解析：利用旋转体的定义判断.答案：A题型一题型二题型三题型四简单旋转体中的计算问题
【例2】圆台的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径及两底面面积之和.分析
：由题目可获取以下主要信息:①已知圆台的母线长及母线与轴的夹角;②上、下底面圆的半径关系.本题利用圆台的轴截面不难求出.题型一题型
二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思解决圆柱、圆锥、圆台中有关量的计算问题时,关键是作出轴截面,通过轴截面,在矩形、三角形
、梯形中构造直角三角形,利用解直角三角形或勾股定理进行计算求解.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知某圆台一个底面的面积为
36π,母线长为5,圆台的高为2,则此圆台另一个底面圆的半径为()A.5 B.7 C.5或7 D.9解析：圆台的轴截面为一个等
腰梯形,如图,易知AD=5,DE=2,则AE=1.由题意可得一个底面圆的半径为6,故若CD=12,则可知另一个底面圆的半径为7;
若AB=12,则可知另一个底面圆的半径为5,故选C.答案：C题型一题型二题型三题型四【例3】用一个平面截一个半径为13cm的球
,得到一个面积为25πcm2的圆,试求球心到该截面圆圆心的距离.分析：根据球的截面的性质,球心与截面圆圆心的连线垂直于截面,据
此构造直角三角形,利用勾股定理求解.解设球的半径为Rcm,截面圆的半径为rcm,球心O到该截面圆圆心O1的距离为dcm,即所
求距离为12cm.题型一题型二题型三题型四反思解有关球的问题时,常用如下性质:(1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面,过球心
和截面圆的圆心的直线垂直于截圆.(2)若分别用R和r表示球的半径和截面圆的半径,用d表示球心到截面的距离,则R2=r2+d2.球的
有关计算问题,常归结为解直角三角形问题.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】在半径为13的球面上有A,B,C三点,AB=6,B
C=8,CA=10,则球心到平面ABC的距离为.?解析：∵AB2+BC2=CA2,∴∠ABC=90°.∴△ABC外接圆的圆心为
AC的中点,且半径为5.如图,BO1=5,且OO1⊥平面ABC,答案：12题型一题型二题型三题型四有关组合体的问题【例4】圆
锥底面半径为r,高为h,正方体ABCD-A1B1C1D1内接于此圆锥,求这个正方体的棱长.分析：与圆锥有关的问题主要通过轴截面来
讨论,而正方体只有唯一基本量——棱长,圆锥的轴截面在任何位置都相同,故过正方体的顶点作轴截面便于建立棱长与r,h之间的联系.题型一
题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思本题画出轴截面图形是解决问题的关键,从圆锥与正方体的结合入手,过正方体一组对棱的平
面截圆锥得到轴截面,从而将空间问题转化为平面问题.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:忽视球截面的位
置致错【例5】已知半径为10的球内有两个截面,其面积分别为36π和64π,求这两个截面之间的距离.题型一题型二题型三题型四错因
分析：错解中只考虑了两个截面在球心同侧的情况,事实上,两个截面还可以位于球心的异侧,因此,两个截面之间的距离有两种不同的结果.正
解设两个截面圆的圆心分别为O1,O2,半径分别为O1A,O2B.则有O1A=6,O2B=8,设球心为O.(1)当两截面位于球心O的
同侧时(如图①),图①图②题型一题型二题型三题型四(2)当两截面位于球心O的异侧时(如图②),所以两截面之间的距离为d=OO1
+OO2=8+6=14.综上(1)(2)可知,这两个截面之间的距离为2或14.123451下列几何体中是旋转体的是()①圆柱;②
六棱锥;③正方体;④球体;⑤四面体.A.①和⑤ B.①和② C.③和④ D.①和④答案：D123452对于圆柱、圆锥和圆台的底面,
下列说法正确的是()A.一定都是圆 B.可以是一个点C.是椭圆 D.是圆或椭圆解析：三种几何体的底面一定是圆,不可以是一个点或椭
圆.答案：A123453用一个平面去截以下几何体,所得截面一定是圆面的是()A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台答案：C123
454已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别是6π和8π,则这两个平行截面间的距离是.?解析：分情况讨论:①若这两个平行截面位
于球心的同侧,则可求得平行截面间的距离等于1;②若这两个平行截面位于球心异侧,则可求得平行截面间的距离等于7.答案：1或71234
55如图,圆锥底面圆的半径OA是6,轴截面的顶角∠ASB是直角,过两条母线的截面SCB截去底面圆周的,求截面面积.12345图①
图②解设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,如图,∠ASO=30°.在Rt△SA''O''中,=sin30°,所以SA''=2r,
在Rt△SAO中,=sin30°,所以SA=4r,所以SA-SA''=AA'',即4r-2r=2a,r=a,所以S=S1+S2=πr
2+π(2r)2=5πr2=5πa2,所以圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为5πa2.则有R2=r2+d2,于
是|OO1|=d=.又πr2=25π,∴r=5.于是d==12(cm).又OB=13,∴OO1==12.解过内接正方体的一组对棱作
圆锥的轴截面,如图.设圆锥内接正方体的棱长为x,则在轴截面中,正方体的对角面A1ACC1的一组邻边A1A和A1C1的长分别为x,x
.因为△VA1C1∽△VMN,所以.所以hx=2rh-2rx.所以x=,即圆锥内接正方体的棱长为.【变式训练4】若圆锥的轴截面是
一个面积为9的正三角形,则其内切球的半径为()A.4πB.6C.D.π解析：轴截面如图所示,设内切球的半径为R,正三角形SAB的边长为a,则a×a=a2=9,所以a=6.又S△SO''B+S△SO''A+S△AO''B=9,所以3××6×R=9.所以R=.故选C.答案：C错解如图,设两个截面圆的圆心分别为O1,O2,球的球心为O,由已知得O1A=6,O2B=8.则OO1==8,OO2==6.故两截面之间的距离d=O1O2=OO1-OO2=8-6=2.OO1==8,OO2==6,所以两截面之间距离d=OO1-OO2=8-6=2.OO1==8,OO2==6,解由题知,轴截面顶角∠ASB=90°,OA=6,所以SA=SB=SC=6.如图,连接OB,OC,作SD⊥BC于点D.因为弧BC的长为底面圆周长的,所以∠BOC=×360°=60°.所以OB=OC=BC=6.所以SD==3.所以S△SCB=×6×3=9.所以截面面积为9. |
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