本讲整合立体几何专题一专题二专题三专题四专题五专题一三视图及其应用三视图在高考中几乎每年必考,一般以选择题、填空题的形式出现.考查方向主
要有两个:一是考查相关的识图,由直观图判断三视图或由三视图想象直观图;二是以三视图为载体,考查面积、体积等的计算.此类题目的解题关
键是准确理解和把握三视图,从中获取几何体结构特征以及基本量的相关信息.专题一专题二专题三专题四专题五应用1一个几何体的三视图如图,
则该几何体可以是()A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台解析：由主视图和左视图可知,该几何体不可能是圆柱,排除选项C;又由俯
视图可知,该几何体不可能是棱柱或棱台,排除选项A,B,故选D.答案：D专题一专题二专题三专题四专题五应用2将长方体截去一个四棱锥,
得到的几何体如图,则该几何体的左视图为()解析：几何体在侧投影面上的投影是一个矩形与它的一条对角线,据三视图的画图规则知,正确选
项为D.答案：D专题一专题二专题三专题四专题五应用3已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,左视图是一个面积为的矩
形,则该正方体的主视图的面积等于()解析：由题意可知该正方体的放置如图,左视图的方向垂直于平面BDD1B1,主视图的方向垂直于平
面A1C1CA,且主视图是长为,宽为1的矩形,故主视图的面积为,因此选D.答案：D专题一专题二专题三专题四专题五专题二表面
积、体积的计算问题几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题,如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问
题,都涉及表面积和体积的计算.这里应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系,特别是特殊的柱、锥、台,在计算中要注意其中矩形、梯
形及直角三角形等重要的平面图形的作用,对于圆柱、圆锥、圆台,要重视旋转轴所在的轴截面、底面圆的作用.专题一专题二专题三专题四专题五
应用1如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,动点E,F在棱A1B1上,动点P,Q分别在棱AD,CD上.若EF=1,A1
E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零),则四面体PEFQ的体积()A.与x,y,z都有关B.与x有关,与y,z无关C.与
y有关,与x,z无关D.与z有关,与x,y无关提示选取四面体的平面EFQ作为底,P到平面EFQ的距离为高.专题一专题二专题三专题四
专题五专题一专题二专题三专题四专题五应用2某一几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为()A.54 B.58 C.60 D.63
提示根据“长对正,高平齐,宽相等”还原几何体并结合三视图中的数据进行计算.解析：由三视图可知,该几何体是一个棱长为3的正方体截去一
个长、宽、高分别为1,1,3的长方体,所以该几何体的表面积S表=6×32+2×1×3-2×1×1=58.答案：B专题一专题二专题三
专题四专题五专题三空间中平行和垂直关系的判断与证明解决空间线面位置关系的判断问题常用以下方法:(1)根据空间线面垂直、平行关系的
判定定理和性质定理逐项判断来解决问题;(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理
来进行判断.(3)熟练掌握立体几何的三种语言——符号语言、文字语言以及图形语言的相互转换,是解决此类问题的关键.当证明空间中平行、
垂直关系时,主要通过线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理的应用,要特别注意它们之间的相互交替运用.专题一专题
二专题三专题四专题五应用1设l为直线,α,β是两个不同的平面,下面命题中正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,
l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l∥β专题一专题二专题三专题四专题五解析：如图,画出一个长方
体ABCD-A1B1C1D1.对于选项A,C1D1∥平面ABB1A1,C1D1∥平面ABCD,但平面ABB1A1与平面ABCD相交
;对于选项C,BB1⊥平面ABCD,BB1∥平面ADD1A1,但平面ABCD与平面ADD1A1相交;对于选项D,平面ABB1A1⊥
平面ABCD,CD∥平面ABB1A1,但CD?平面ABCD.故选B.答案：B专题一专题二专题三专题四专题五应用2如图,ABCD为正
方形,正方形ADEF所在平面与平面ABCD互相垂直,G,H是DF,FC的中点.求证:(1)GH∥平面CDE;(2)BC⊥平面CDE
.提示(1)证出GH∥CD即可;(2)证明BC与平面CDE中两条相交直线CD,ED垂直.专题一专题二专题三专题四专题五证明(1)因
为G,H分别是DF,FC的中点,所以在△FCD中,GH∥CD.因为CD?平面CDE,GH?平面CDE,所以GH∥平面CDE.(2)
平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD.因为ED⊥AD,AD?平面ABCD,所以ED⊥平面ABCD.又因为BC?平面ABCD,所以
ED⊥BC.因为BC⊥CD,CD∩DE=D,所以BC⊥平面CDE.专题一专题二专题三专题四专题五应用3如图,在立体图形A-BCD中
,各个面均是正三角形,G,F,M分别是BC,AB,AC的中点,过FG的平面与平面ACD相交于EH,求证:平面BMD⊥平面FGHE.
提示可以根据线线垂直证明线面垂直,进一步可以转化为面面垂直,反过来,面面垂直也可以转化为线面垂直,线线垂直.专题一专题二专题三专题
四专题五证明因为△ABC是正三角形,M为AC的中点,所以MB⊥AC,同理MD⊥AC.所以AC⊥平面BDM.又因为F,G分别为AB
,CB的中点,所以FG∥AC.所以FG⊥平面BDM.又FG?平面FGHE.所以平面MDB⊥平面FGHE.专题一专题二专题三专题四专
题五专题四球与其他几何体的切接问题球与规则几何体如正方体、长方体的切接问题一直是高考考查的重点和热点问题.本部分内容可以与三视图
结合命题,也可以和表面积、体积结合起来命题,一般以选择或填空题形式出现,难度上属于容易题.专题一专题二专题三专题四专题五?应用1一
个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为,底面周长为3,那么这个球的体积为
.?提示根据球外接于六棱柱,先求出球的半径,再代入球的体积公式求解.专题一专题二专题三专题四专题五应用2若所有棱长均为2的正三棱
柱内接于一个球,则该球的表面积为.?专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五应用3四个半径为R的球两两外切
,其中三个放在水平桌面上,第四个球放在这三个球之上,在这四个球的中央放一个小球,与这四个球相外切,则这个小球的半径为.?提示与球
有关的组合体主要是球与其他几何体的切接问题.这类问题要仔细观察、分析,弄清相关元素之间的位置关系和数量关系,选择最佳角度作出截面,
把空间问题平面化,进而在平面内加以求解.注意各部分组合之间的关系是解答此类问题的成功所在.专题一专题二专题三专题四专题五解析：以四
个大球的球心连线构成的四面体为正四面体,如图,过O4作O4H⊥平面O1O2O3于点H,小球球心O是正四面体的中心,所以O∈O4H.
分别连接O与四个顶点,它们的长度均为R+r(设r是小球半径),专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五应用4如
图,在三棱锥S-ABC中,SA=AB=AC=1,∠BAC=90°,SA⊥平面ABC,求三棱锥S-ABC的内切球的半径.提示求简单多
面体的内切球的半径常用的方法是作轴截面,把空间问题转化为多边形内切圆问题,如果简单多面体是不规则的,要作轴截面就很困难,因此这种方
法用起来很烦琐.我们可以利用另一种既简便又快速的方法——等体积法,即把多面体进行分割,且分割成以内切球球心为公共顶点的若干个棱锥,
这些棱锥的高都是内切球的半径,然后根据这些棱锥的体积之和等于多面体体积,从而求出半径.专题一专题二专题三专题四专题五解设内切球的球
心为O,球的半径为r,则VS-ABC=VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC+VO-ABC,又因为VO-SAB,VO-SAC,V
O-SBC,VO-ABC的高都是r,SA⊥平面ABC,所以VS-ABC=VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC+VO-ABC专题
一专题二专题三专题四专题五专题五展开与折叠问题1.把一个平面图形按某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系
上的变化,这就是折叠问题.在解决这类问题时,要求既会由平面图形想象出空间形体,又会准确地用空间图形表示出空间物体;既会观察、分析平
面图形中各点、线、面在折叠前后的相互关系,又会对图形进行转化.解决折叠问题,要注意折叠前后的变量与不变量,折叠前后同一半平面内的数
量关系与位置关系均不发生改变.2.常见的几何体中,除了球的表面无法展开在一个平面内,其余几何体的表面展开后,均为一个平面图形,由此
产生的表面展开图将空间问题化归为平面问题,转化过程中一般采用“化曲为直”“化折为直”的方法.专题一专题二专题三专题四专题五专题一专
题二专题三专题四专题五证明(1)∵E,F分别是BC,CD的中点,即E,F分别是BC,CD''的中点,∴EF为△D''BC的中位线.∴E
F∥D''B.又∵EF?平面AD''B,D''B?平面AD''B,∴EF∥平面AD''B.专题一专题二专题三专题四专题五∴DG⊥GC,即在四
棱锥D''-ABCG中,GC⊥D''G,GC⊥AG.∵AG∩D''G=G,∴GC⊥平面AD''G.又∵GC?平面CD''G,∴平面CD''G⊥
平面AD''G.专题一专题二专题三专题四专题五应用2如图,圆柱体的底面圆周长为24cm,高为5cm,BC为上底面的直径,一壁虎从
距圆柱的底端点A2cm的点E处沿着表面爬行到母线CD上距点C1cm的点F处,请你帮助壁虎确定其爬行的最短距离.提示将空间图形问
题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题基本的、常用的方法.在求空间图形表面两点间的最短距离时,常运用“展开”变换,化曲(折)为直
,从而把“折线拉成直线,曲面展成平面”,使问题得以巧妙解决.由于壁虎是沿着圆柱的表面爬行的,故需把圆柱侧面展开成平面图形,根据两点
之间线段最短求最短距离.专题一专题二专题三专题四专题五解将圆柱的侧面沿着AB剪开铺平,得展开图如图.过点E作CD的垂线EG,连接E
F,则壁虎爬行的最短距离为线段EF的长.根据题意知AE=2cm,CF=1cm,由AB=5cm,则FG=2cm,又因为EG=
AD为圆柱底面圆周长的一半,12345678910111(课标全国Ⅰ高考)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体
的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱1234567891011解析：由所给三视图可知该几
何体是一个三棱柱(如图).答案：B12345678910112(福建高考)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转
一周所得圆柱的侧面积等于()A.2π B.π C.2 D.1解析：根据题意,可得圆柱侧面展开图为矩形,长为2π×1=2π,宽为
1,故所求的侧面积S=2π×1=2π.故选A.答案：A12345678910113(辽宁高考)已知m,n表示两条不同直线,α表示
平面,下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n?α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m
∥α,m⊥n,则n⊥α解析：对A:m,n还可能异面、相交,故A不正确.对C:n还可能在平面α内,故C不正确.对D:n还可能在α内,
故D不正确.对B:由线面垂直的定义可知正确.答案：B123456789101112345678910115(江西高考)一几何体的直
观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是()答案：B123456789101112345678910117(浙江高考)设m,n是
两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.()A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n
⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α1234567891011解析：当m⊥n,n∥α时,可能有m⊥α,但也有可能m
∥α或m?α,故A选项错误;当m∥β,β⊥α时,可能有m⊥α,但也有可能m∥α或m?α,故选项B错误;当m⊥β,n⊥β,n⊥α时,
必有α∥β,从而m⊥α,故选项C正确;在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取m为B1C1,n为CC1,β为平面ABCD
,α为平面ADD1A1,这时满足m⊥n,n⊥β,β⊥α,但m⊥α不成立,故选项D错误.答案：C123456789101112345
678910119(山东高考)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为
.?123456789101110(辽宁高考)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DB
C=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(1)求证:EF⊥平面BCG;(2)求三棱锥D-BCG的体积.附:锥体的体积
公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高.1234567891011(1)证明由已知得△ABC≌△DBC,因此AC=DC.又G为AD
中点,所以CG⊥AD;同理BG⊥AD;因此AD⊥面BGC.又EF∥AD,所以EF⊥面BCG.(2)解在平面ABC内,作AO⊥CB,
交CB延长线于O.由平面ABC⊥平面BCD,知AO⊥面BDC.又G为AD中点,因此G到平面BDC距离h是AO长度的一半.12345
6789101111(北京高考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,
F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的
体积.1234567891011(1)证明在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,
所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,
BC的中点,所以FG∥AC,且FG=AC.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四边
形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG?平面ABE,C1F?平面ABE,所以C1F∥平面ABE.123456789
1011A.B.1C.D.答案：D解析：因为DC∥A1B1,EF=1,所以S△EFQ=×1×2(定值).四面体PEFQ中平面
EFQ上的高为P到面A1DCB1的距离:DP·sin45°=z.所以V四面体PEFQ=z=z.答案：解析：根据球外接于正六棱柱,
得球心与六棱柱上下底面中心连线的中点重合.由勾股定理,得R2=,解得R=1.所以球的体积为R3=.解析：根据对称性可知球心P在正三
棱柱上、下底面中心连线的中点处.如图,M是AC的中点,O2,O1分别是上、下底面的中心,P是O1O2的中点,则BM=,BO1=BM
=,答案：所以球半径BP=,故球的表面积为S=4π.答案：R正四面体的棱长均为2R,所以O1H=R,O4H=R.设OH=h,正四面
体被分割成四个体积全等的小正三棱锥,正四面体的每个面的面积设为S,则利用正四面体的体积等于四个小正三棱锥的体积和得V=·S·=4·
·S·h,求得h=R,所以O4O=R+r=O4H-OH=R-R=R,所以r=R.=r(S△SAB+S△SAC+S△SBC+S△AB
C)==×1×,所以r=.所以三棱锥S-ABC的内切球的半径为.应用1已知在梯形ABCD中,BC∥AD,BC=AD=1,CD=,G
,E,F分别是AD,BC,CD的中点,且CG=,沿直线CG将△CDG翻折成△CD''G.求证:(1)EF∥平面AD''B;(2)平面C
D''G⊥平面AD''G.(2)在梯形ABCD中,∵G是AD的中点,BC=AD=1,则AD=2,∴DG=1.又∵CD=,CG=,∴在△
DGC中,DG2+GC2=DC2,所以EG=12cm,利用勾股定理可求得EF==2(cm).即壁虎爬行的最短距离为2cm.解析
：依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径,可设球半径R,则2R==2,解得R=1,所以V=R3=.答案：D4(陕西高考)已知
底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A.B.4πC.2πD.解析：∵D是等边△ABC的边
BC的中点,∴AD⊥BC.又ABC-A1B1C1为正三棱柱,∴AD⊥平面BB1C1C.又四边形BB1C1C为矩形,∴×2×.又AD=2×,∴·AD==1.故选C.答案：C6(课标全国Ⅱ高考)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为()A.3B.C.1D.解析：由俯视图知该三棱锥的底面积S底=×2×,由左视图知该三棱锥的高h=.所以V三棱锥=S底×h==1,故选D.答案：D8(四川高考改编)某三棱锥的左视图、俯视图如图,则该三棱锥的体积是,其中S为底面面积,h为高()A.3B.2C.D.1解析：根据题意得底面正六边形面积为6,设六棱锥的高为h,则V=Sh,∴×6h=2,解得h=1.设侧面高为h'',则h2+()2=h''2,∴h''=2.∴正六棱锥的侧面积为6××2×2=12.答案：12在△AOB中,AO=AB·sin60°=,所以VD-BCG=VG-BCD=·S△DBC·h=·BD·BC·sin120°·.(3)解因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=.所以三棱锥E-ABC的体积V=S△ABC·AA1=×1×2=. |
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