四、向量的模、方向角、投影两个向量的夹角：即间任意取值．规定它们的夹角可在0与?之OBAj向量的方向角：?、?、?
(0??对于非零向量?我们可以用它与三条坐标轴的夹角向量的方向余弦：因为向
量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，所以ax?||cos?；ay?||cosb；az?|
|cosg；上述cos?、cos?、cos?叫做向量的方向余弦．向量的模的坐标表示：向量的方
向余弦的坐标表示：当?0时，可得方向余弦的平方和：单位向量的表示：?{c
os?，cos?，cos?}．向量在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A?和B?
.称有向线段A?B?为定义的投影向量或射影向量.向量AB在轴u上B''BA''uA机动目录上页
下页返回结束称向量AB在轴u上的投影，记作向量的投影性质.定理(投影定理)设向量AB与轴u的夹角
为?则PrjuAB=|AB|·cos?B?BA?Au?B1??机动目录上页
下页返回结束解致的单位向量．过空间一个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们
都以O为原点且一般具有相同的长度单位．这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)．通常把x轴和y轴配置在水平
面上，而z轴则是铅垂线，它们的正向通常符合右手规则．这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系．点O叫做坐标原点(原点)．
一、向量的概念及线性运算二、空间直角坐标系三、利用坐标作向量的线性运算§6．1向量及其线性运算四、向量的模
、方向角及投影1、向量的概念：既有大小，又有方向的量叫做向量．在数学上，用一条有方向的线段(称为有向线段)来
表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．例如力、力矩、位移、速度、加速度等都是向量．
一、向量的概念及线性运算以M1为起点、M2为终点的有向线段所表示的向量，记作．向量的符号：
向量可用粗体字母表示，也可用上加箭头书写体字母表示，例如，b，i，j，k，F，M1M2由于一切向量的
共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量．自由向量：
因此，如果向量a和b的大小相等，且方向相同，则说向量a和b是相等的，记为a?b．相等的向量经过平移后
可以完全重合．向量的模：单位向量：模等于0的向量叫做零向量，记作0．零向量的起点与终点重
合，它的方向可以看作是任意的．模等于1的向量叫做单位向量．零向量：向量的大小叫做向量的模．
向量的平行：零向量认为是与任何向量都平行．两个非零向量如果它们的方向相同或相反，就称这两个向量
平行．向量a与b平行，记作a//b．2、向量的线性运算向量的加法：再以B为的和，记作a?b，即c?a
?b．设有两个向量a与b，任取一点A，作?a，起点，作=b
，那么向量?c称为向量a与b连接AC，bacaABbCbbaa注意求和过程：
再以B为的和，记作a?b，即c?a?b．设有两个向量a与b，任取一点A，作
?a，起点，作=b，那么向量?c称为向量a与b连接AC，ca
b向量的加减法向量的加法：这种作出两向量之和的方法叫三角形法则．平行四边形法则：AD为边作一平行四边形ABCD，以AB
、C连接对角线AC，当向量a与b不平行时，作?a，?b，
那么向量等于向量a与b的和a?b．bacaABbD负向量：向量的减法：设
a为一向量，与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量，记为?a．我们规定两个向量b与a的差为
b?a?b?(?a)．即把向量?a加到向量b上，便得b与a的差b?a．a-ab-a
bb?ab?aa三角不等式：由三角形两边之和大于第三边的原理，有|a?b|?|a|?
|b|及|a?b|?|a|?|b|，其中等号在b与a同向或反向时成立．a+babaa?
bb向量与数的乘法向量a与实数?的乘积记作?a，规定?a是一个向量，它的模|?a|?|?||a
|，它的方向当?>0时与a相同，当??0时，|?a|?0，即?a为零向量，当?<0时与a相反．
向量平行的充分必要条件：定理1设向量a?0，那么，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一
的实数?，使b??a．向量的单位化：设a?0，则向量是与a同方向的单位向量，记为
．于是a?|a|．解由于平行四边形的对角线互相平分，所以baABCD
M形对角线的交点．二、空间直角坐标系O过空间一个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一
般具有相同的长度单位．它们的正向通常符合右手规则．这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系．y轴(纵轴)z轴(
竖轴)(坐标)原点x轴(横轴)x1y1z1拇指方向四指转向右手规则三条坐标轴
中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面．x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面，另两个坐标面是yO
z面和zOx面.坐标面：OzyxOzyx三条坐标轴中的任意两条可以
确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面．x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面，另两个坐标面是yOz面和zOx面.
坐标面：Ozyx第一卦限卦限：三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限．
Ozyx第二卦限卦限：第三卦限Ozyx卦限：Ozyx第四卦
限卦限：Ozyx第五卦限卦限：Ozyx第六卦限卦限：Ozy
x第七卦限卦限：Ozyx第八卦限卦限：点的坐标：设M为空间一已知点．
过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，三个平面在x轴、y轴和z轴的交点依次为P、Q、R，在
x轴、y轴和z轴上的坐标依次为x、y、z，我们称这组数为点M的坐标，并把x、y、z分别称为点M的横坐标、纵坐标、
竖坐标．坐标为x、y、z的点M记为M(x，y，z)．OxyzPRxzyMQM1M
2=OM2?OM1=(x2i+y2j+z2k)?(x1i+y1j+z1k)=(x2
?x1)i+(y2?y1)j+(z2?z1)kzxyM1M2o机动目录上页
下页返回结束设M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)为空间两点．?
?ax?ay?az上式称为向量按基本单位向量的分解式．=(x2?x1)i
+(y2?y1)j+(z2?z1)k向量在三个坐标轴上的投影ax、ay、az叫做向量的坐标，
并记?{ax、ay、az}，此式叫做向量的坐标表示式．注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上
的投影(即向量的坐标)有本质的区别，向量在坐标轴上的投影是三个数ax，ay，az，而向量在坐标轴上的分向量是三个向量
d=|M1M2|=向径：以原点O为起点，向一个点M引向量，OxyzMr这个向量叫做
点M对于点O的向径，三、利用坐标作向量的线性运算：则?{ax?bx，ay?by，az?b
z}．?{ax-bx，ay-by，az-bz}．?{?ax，?ay，?az}．，利用向量的坐标判断两个向量的平行：则即于是过空间一个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位．这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)．通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线，它们的正向通常符合右手规则．这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系．点O叫做坐标原点(原点)． |
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