§6．5曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面曲面的方程、研究曲面的两个基本问题旋转曲面、旋转曲面的方程锥
面的方程球面的方程柱面、柱面的准线和母线柱面方程的特征四、常见的二次曲面一、曲面方程的概念在空间解析几
何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹．与三元方程F(x，y，z)?0F(x，y，z)?0有下述关系：(
1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x，y，z)?0；OxyzS在这样的意义下，如果曲面SM(x，
y，z)(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x，y，z)?0，那么，方程F(x，y，z)?0就叫做
曲面S的方程，而曲面S就叫做方程F(x，y，z)?0的图形．(x，y，z)OzxyM0RM
例1建立球心在点M0(x0，y0，z0)、半径为R的球面的方程．解设M(x，y，z)是球面上的
任一点，那么|M0M|?R．由于|M0M|所以?R，或(x?x0)2?
(y?y0)2?(z?z0)2?R2．这就是建立球心在点M0(x0，y0，z0)、半径为R的球面的方程．
特殊地，球心在原点O(0，0，0)、半径为R的球面的方程为x2?y2?z2?R2．例2
设有点A(1，2，3)和B(2，?1，4)，求线段AB的垂直平分面的方程．解由题意知道，所求的平面就是
与A和B等距离的点的几何轨迹．设M(x，y，z)为所求平面上的任一点，由于|AM|?|BM|，所以等
式两边平方，然后化简得2x?6y?2z?7?0．这就是线段AB的垂直平分面的方程．OzxyABM
解通过配方，原方程可以改写成(x?1)2?(y?2)2?z2?5．研究这方程所表示的曲面的形状．研究曲面的
两个基本问题：(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；(2)已知坐标x、y和z间
的一个方程时，例3方程x2?y2?z2?2x?4y?0表示怎样的曲面？这是一个球面方程，球心在点M
0(1，?2，0)、比较：球心在点M0(x0，y0，z0)、半径为R的球面的方程(x?x0)2?(y?y0)
2?(z?z0)2?R2．，一般地，设有三元二次方程Ax2?Ay2?Az2?Dx?E
y?Fz?G?0，这个方程的特点是缺xy，yz，zx各项，而且平方项系数相同，只要将方程经过配方就可以化成方程
(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2．的形式，它的图形就是一个球面．二、旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条定直线叫做旋转曲面的轴．设M1
(0，y1，z1)为曲线C上的任一点，设在yOz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为f(y，z)?0，把
这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面．它的方程可以求得如下：这时z?z1保持不变，且点M到z轴
的距离为f(y1，z1)?0．当曲线C绕z轴旋转时，点M1也绕z轴转到另一点M(x，y，z)，这就是所求
旋转曲面的方程．Ozxy|y1|那么有CM1(0,y1,z1)M便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面
的方程．同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为所以只要将方程z?ycot?中的y改成
例4试建立顶点在坐标原点O，旋转轴为z轴，半顶角为?的圆锥面的方程．解在yOz坐标面点，
直线L的方程为z?ycot?，因为旋转轴为z轴，就得到所要求的圆锥面的方程或其中a?cot?
．z2?a2(x2?y2)，Oxyza解绕x轴旋转所在的旋转曲面的方程为
例5将xOy坐标面上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．Oxyz这两
种曲面都叫做旋转双曲面．绕z轴旋转所在的旋转曲面的方程为Oxyz三、柱面例6方程x2?y
2?R2表示怎样的曲面？解方程x2?y2?R2在xOy面上表示圆心在原点O、半径为R的圆．
在空间直角坐标系中，这方程不含竖坐标z，即不论空间点的竖坐标z怎样，只要它的横坐标x和纵坐标y能满足这方程
，那么这些点就在这曲面上．因此，过xOy面上的圆x2?y2?R2，且平行于z轴的直线一定
在x2?y2?R2表示的曲面上．RRx2?y2?R2Oxyz所以这个曲面可以看成是由平行于z轴
的直线l沿xOy面上的圆x2?y2?R2移动而形成的．l柱面：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线
L形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线．OxyzCL母线准线其准线是xOy面
上的曲线C：F(x，y)?0．上面我们看到，不含z的方程x2?y2?R2在空间直角坐标系中表示圆柱面
，它的母线平行于z轴，它的准线是xOy面上的圆x2?y2?R2．一般地，只含x、y而缺z的方程F
(x，y)?0，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，它的准线是xOy面上的抛物线y2?2x，该柱面叫做抛
物柱面．又如，方程x?y?0表示母线平行于z轴的柱面，其准线是xOy面的直线x?y?0，所以它是过z轴的
平面．Oxyzx?y?0yOxzy2?2x例如，方程y2?2x表示母线平行于z轴的
柱面，类似地，只含x、z而缺y的方程G(x，z)?0和只含y、z而缺x的方程程H(y，z)?0分别表示母线平行
于y轴和x轴的柱面．例如，方程x?z?0表示母线平行于y轴的柱面，其准线是zOx面上的直线x?z?0．所以它是过y轴的平面．四、常见的二次曲面定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面（2）椭圆抛物面（3）马鞍面（4）单叶双曲面（5）圆锥面 |
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