§6．6空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影空间曲线的一般方程曲线关于坐标
面的投影柱面和投影曲线投影柱面和投影曲线的方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线．xy
zO两曲面的交线空间曲线可以看作两个曲面的交线．xyzO两平面的交线一、空间曲线的一般方程所
以应满足方程组设F(x，y，z)?0和G(x，y，z)?0是两个曲面方程，它们的交线为C．因为曲线
C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程，反过来，如果点M不在曲线C上，xyzO那么它不可能同时在
两个曲面上，所以它的坐标不满足此方程组．因此，曲线C可以用上述方程组来表示．上述方程组叫做空间曲线C的一般方程．
F(x,y,z)?0G(x,y,z)?0C解方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱
面，准线是xOy面上的圆，圆心在原点O，半行为1．方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面，由于它的准线
是zOx面上的直线，因此它是一个平面．方程组就表示上述平面与圆柱面的交线．xyzO例1表示上述
半球面与圆柱面的交线．解方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O，半径为a的上半球面．第二个方程表示母线
平行于z轴的圆柱面，它的准线是xOy面上的圆，方程组就xyzO例2二、空间曲线的参数方程
空间曲线C的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数：示，当给
定t?t1时，就得到C上的一个点(x1，y1，z1)；随着t的变动上述方程组叫做空间曲线的参数方程．便得曲线C上的全部
点．例3如果空间一点M在圆柱面x2?y2?a2上以角速度w绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行
于z轴的正方向上升(其中w、v都是常数)，那么点M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．xyzO经过时间t，动点
由A运动到M(x，y，z)．解取时间t为参数．设当t?0时，动点位于x轴上的一点A(a，0，0)处．
则x?acoswt，y?asinwt．z?vt．因此螺旋线的参数方程为MwtxyOM?w
tA螺旋线的参数方程的其它形式：令q=wt，则三、空间曲线在坐标面上的投影类似地可以定义
曲线C在其它坐标面上的投影．以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面，投影柱面
与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy面上的投影曲线，或简称投影．xyzO投影柱面投影曲线C
设空间曲线C的一般方程为则由此方程组消去变量z后所得的方程H(x，y)?0就是曲线C关于xOy面的投影柱面．
曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为：xyzOC讨论：1、曲线C关于yOz面和zO
x面的投影柱面的方程是什么？2、曲线C在yOz面和zOx面上的投影曲线的方程是什么？求它们的交线C在x
Oy面上的投影方程．例4已知两球面的方程为x2?y2?z2?1和x2?(y?1)2?(z?1
)2?1，两球面的交线C在xOy面上的投影方程为解两方程相减，得将z?1?y代入其中一个方程，得这
就是交线C关于xOy面的投影柱面方程．y?z?1．x2?2y2?2y?0．求它在xOy面上的投影．xyzO
例5关于xOy面的投影柱面，解由两方程消去z得到x2?y2?1．这是一个母线平行
于z轴的圆柱面，它恰好是半球面与锥面的交线C线C在xOy面上的投影曲线为因此交该圆在xOy面上所围的部分:x2?y
2?1．这是xOy面上的一个圆，于是所求立体在xOy面上的投影，就是x2?y2?1xyzO求它在xOy面上的投影．例5 |
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